立足數學問題模型，突破構造法解題教學難點

☉廣東省廣州市第六中學 璩 斌

一、高中數學中的構造法

直接列舉出滿足條件的數學對象或反例，構造結論的肯定和否定或間接構造某種對應關系，使問題根據需要進行轉化的方法稱之為構造法.簡單的說，構造法就是將題目中的條件與結論進行數學結構構造，從而將未知量轉化為已知量的一種數學方法.應用構造法，必須要通過認真的審題確定數學題目給出的條件和需要求得的結論，并且要分析出它們之間存在的相互關系或者是特點、性質等基本內容，然后利用直觀的圖形或者是通過數形結合的方式來解決數學問題.本文對高中數學構造法教學進行一些探究，以期提供一定的參考.

二、突破在高中數學構造法解題中的教學難點

（一）立足函數問題模型的構造法

構造法在函數問題中的應用，主要是通過一定的方式，設計并構造一個與有待解答的問題相關的函數模型，并對其進行觀察分析，借助函數本身性質如單調性或利用運算結果，解決原問題的方法，下面舉例說明如何在教學過程中構造函數模型來解題.

例1 已知-1＜a＜1，-1＜b＜1，-1＜c＜1，求證：ab+bc+ca+1＞0.

分析：此題有三個可以輪換的變量，可以構造以一個變量為主元的一次函數，利用其值域來解決問題.

證明：構造一次型函數f（a）=a（b+c）+bc+1，對應一條直線.

因為f（1）=b+c+bc+1=（b+1）（c+1）＞0且f（-1）=-b-c+bc+1=（b-1）（c-1）＞0，所以當-1＜a＜1時，f（a）＞0，故ab+bc+ca+1＞0.

例2 已知x，y，z∈R，求證x2+4y2+9z2≥4xy+6zx-12yz.

分析：此題變量較多，并且各項都是二次的，難以突破，但如果尋找一個主元，并以其為自變量構造一個二次函數模型，情況就簡單了.

證明：要證明原不等式，只要證明x2-（4y+6z）x+4y2+9z2+12yz≥0.

不妨以x為主元構造二次函數f（x）=x2-（4y+6z）x+4y2+9z2+12yz，此函數開口向上，其判別式Δ=（4y+6z）2-4（4y2+9z2+12yz）=0，故由其圖像可知，f（x）≥0，即x2-（4y+6z）x+4y2+9z2+12yx≥0成立.

例3 已知a，b，c為實數，且a+b+c＞0，ab+bc+ca＞0，abc＞0，求證：a＞0，b＞0，c＞0.

分析：此題若進行常規的分類討論則比較麻煩，而若把a，b，c當成根，其結構為三次方的韋達定理，所以可以構造三次函數來解題.

證明：構造函數f（x）=（x-a）（x-b）（x-c），則f（x）=0有三個根a，b，c.

又f（x）=x3-（a+b+c）x2+（ab+bc+ca）x-abc，

若x≤0，則f（x）＜0，這說明f（x）=0不可能有小于或等于0的根，故a，b，c均大于0.

例4 已知（3x+y）2017+x2017+4x+y=0，求4x+y的值.

分析：本題有兩個變量且是高次（奇次）函數，所以可構造一個2017次奇函數.

解：構造函數f（x）=x2017+x，因為f′（x）=2017x2016+1＞0，且f（-x）=-f（x），所以f（x）是奇函數且單調遞增.

又因為（3x+y）2017+x2017+4x+y=0?（3x+y）2017+（3x+y）=-x2017-x，所以f（3x+y）=f（-x）.

因為f（x）是單調函數，所以4x+y=0.

讓學生在掌握基本方法的基礎上進行函數構造，提高解題效率.首先，我們要對題目的已知條件進行分析，學生應當熟練地掌握構造法在這類題目中的應用，在考場上才能夠快速、準確地解決問題.

（二）立足方程問題模型的構造法

方程是高中數學的重要內容，也是高考、競賽中必然會涉及的考點，函數與方程之間有著十分密切的聯系，因此構造法在方程問題的解決過程中有著天然的優勢.一般情況下，在涉及方程知識的題目中會將數量關系、數學結構特性等作為已知量，構造法在其中所起到的作用就是利用方程假設的思想，結合已知條件構造等量方程式，通過方程的等量關系、恒等變形等來解決問題.

將構造法與方程結合得到的構造方程能夠在代數結論證明、平面幾何問題、解析幾何問題、數列問題等得到廣泛的應用.在實際教學過程中，教師要將這種解題思想進行不斷的滲透、反復的練習，讓學生熟練地掌握構造方程方法的應用.

（三）立足幾何問題模型的構造法

利用圖形進行數學問題的解題是高中數學的重要解題方式，圖形能夠將復雜的數學問題進行具體的表現，讓數學問題更加直觀地展現在我們面前.構造法與圖形解題的相互結合能夠促使問題解答更加簡化，這要求學生對圖形的基本結構和性質非常了解.下面以幾種常見圖形進行構造舉例如下：

1.構造點到直線的距離

圖1

解：如圖1，在直線2x+y=1上的線段AB內找點P（x，y）到y軸和原點的距離之和的最小值，另求原點O（0，0）關AB于P，交y軸于D點，由對稱性可知，x+的最小值

2.構造三角形

圖2

分析：本題若按常規方法去證明這個二元二次的根式不等式則非常麻煩，可以運用余弦定理構造三角形來證.

3.構造長方體

例8 已知四面體A-BCD中三組對棱分別相等，且長為2，，，求四面體A-BCD的外接球的半徑.

圖3

分析：由四面體A-BCD中三組對棱分別相等，而矩形的兩條對角線是相等的，所以可構造長方體.

分析：本題單純從數的角度考慮，不易找到解題的切入點.長方體的體對角線與過同一個頂點的三條棱所成角的余弦的平方和是常數，根據題目的結構特征，構造長方體，探求思路，可以證明結果.

圖4

4.構造圓錐曲線

例10 （構造圓）如圖5，在平面直角坐標系中，在y軸的正

半軸上（除原點外），給定兩點A、B.試在x軸上求點C，使∠ACB取得最大值.

分析：因A、B是定點，C是動點，可設C點坐標，利用線線夾角公式，但是運算繁雜.經過A、B作圓切x軸于點C.則∠ACB取得最大值，因圓角大于任一圓外角（即∠ACB＞∠ADB），設A（0，a），B（0，b），由切割線定理知，

圖5

例11（構造雙曲線）已知△ABC，AM為BC邊上的中線（點M在BC邊上）且滿足AM=AB-AC，BC=4，求△ABC面積的最大值.

分析：將等式的兩邊分解為兩個軌跡的公共點，構造雙曲線，利用雙曲線的定義和方程簡化運算.

圖6

解：如圖6，設AM=2a，則A點是以B，C為焦點的雙曲線圓x2+y2=4a2的交點（其中進而等號成立.

例12 （構造橢圓）在△ABC中，AB+AC＞2BC，求證：∠B-∠C＞2∠A.

分析：把AB+AC=2BC看成是以E，C為焦點的橢圓，則AB+AC＞2BC表示的點在橢圓外，可構造橢圓來解決.

證明：如圖7，以B，C為焦點，2BC為長軸長構造橢圓，由△ABC的頂點A在橢圓外部，因此∠A＜∠BA1C≤

圖?

圖?

所以本題就構造成y=x2的點到A（3，2），B（0，1）的距離之差的最大值問題，如圖8，顯然可得|PA|-|PB|≤|AB|=

三、思考與建議

高中數學的學習涉及多個方面的知識，這些知識聯系密切，因此學生會遇到類型多樣、靈活多變的題目，但是數學解題的方法和思路是相對固定的，其中構造法的應用不僅能夠提高解題效率，而且還能夠有效地鍛煉思維.構造模型處理不僅減少了計算量而且為這類問題找到了幾何解釋使得對這類問題的認識更深入、更全面，可見構造法解題重在“構造”，這促使我們要熟悉幾何、代數、三角基礎知識的本質的結構特征，并能加以靈活運用，除本文分析的構造函數、構造方程和構造圖形之外，構造法在向量、立體幾何、三角函數等方面的解題中也能發揮重要作用，教師要引導學生進行不斷的練習，熟練地掌握構造法在不同類型題目解題過程中的應用.