多角度巧妙轉化，求解數量積最值
——一道模擬題的多解

☉江蘇省宜興市第二高級中學 孫 立

美國著名數學家哈爾莫斯曾說過：問題是數學的心臟.對學生來說，各類考試題無疑是最熟悉的“問題”.如何提升學生的解題能力，是每位老師思考的重要課題.經過理論和教學實踐證明，一題多解是提高解題能力的有效途徑.在呈現不同解法的同時，暴露思維過程，從而解題能力得以拓展與提升.

題目 如圖1，已知AC=2，B為AC的中點，分別以AB，AC為直徑在AC同側作半圓，M，N分別為兩半圓上的動點（不含端點A，B，C），且BM⊥BN，則的最大值為______.

圖1

分析：平面向量的數量積問題一直是高考、各類模擬題中的常見題型，涉及數量積的求解、最值的確定、參數的求值等問題，且往往難度較大.從哪些角度切入，如何正確破解此類問題，是處理此類問題的重點所在.

解法1：如圖2，以點B為坐標原點，線段AC所在的直線為x軸，線段AC的中垂線為y軸建立平面直角坐標系，可得A（-1，0），C（1，0）.

圖2

角度2：通過建立平面直角坐標系，設出直線BN的斜率為k（k＞0），結合相應直線與圓的方程的聯立，確定對應的點N、M的坐標，結合平面向量的坐標運算來處理轉化對應的數量積，結合涉二次函數的取值范圍問題來確定對應的最值即可.

解法2：如圖2，以點B為坐標原點，線段AC所在的直線為x軸，線段AC的中垂線為y軸建立平面直角坐標系，可得A（-1，0），C（1，0），

半圓AC的方程為x2+y2=1（y≥0），半圓AB的方程為

角度4：設出

圖3

角度6：結合條件，以BC為直徑在AC的同側畫出對應的輔助半圓，這樣通過把向量轉化為一起，并設BD=t（0＜t＜1），結合平面向量的數量積的應用轉化為含t的關系式，結合涉及t的二次函數在限定區間上的取值范圍問題來確定對應的最值即可.

看似簡單的一道平面向量問題，其實認真分析，仔細探究，可以從不同角度展開來解決，也可以通過不同方式加以拓展深入，真正達到“認真解答一個題，拓廣解決一類題，變式深化一片題，思維能力一起高”的目的.其實，通過“一題多解”可以將這些主干知識進行“串聯”，同時“并聯”起數學思想方法和核心素養，開拓學生的解題視野，有效促進學生思維品質的改善和創新發展能力的提升，使學生體驗到數學的樂趣，收獲成功的喜悅，增強學習數學的興趣和信心.F