多角度巧妙轉(zhuǎn)化，求解數(shù)量積最值
——一道模擬題的多解

☉江蘇省宜興市第二高級(jí)中學(xué) 孫 立

美國(guó)著名數(shù)學(xué)家哈爾莫斯曾說(shuō)過(guò)：?jiǎn)栴}是數(shù)學(xué)的心臟.對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)，各類考試題無(wú)疑是最熟悉的“問題”.如何提升學(xué)生的解題能力，是每位老師思考的重要課題.經(jīng)過(guò)理論和教學(xué)實(shí)踐證明，一題多解是提高解題能力的有效途徑.在呈現(xiàn)不同解法的同時(shí)，暴露思維過(guò)程，從而解題能力得以拓展與提升.

題目 如圖1，已知AC=2，B為AC的中點(diǎn)，分別以AB，AC為直徑在AC同側(cè)作半圓，M，N分別為兩半圓上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)A，B，C），且BM⊥BN，則的最大值為______.

圖1

分析：平面向量的數(shù)量積問題一直是高考、各類模擬題中的常見題型，涉及數(shù)量積的求解、最值的確定、參數(shù)的求值等問題，且往往難度較大.從哪些角度切入，如何正確破解此類問題，是處理此類問題的重點(diǎn)所在.

解法1：如圖2，以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，線段AC所在的直線為x軸，線段AC的中垂線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，可得A（-1，0），C（1，0）.

圖2

角度2：通過(guò)建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)出直線BN的斜率為k（k＞0），結(jié)合相應(yīng)直線與圓的方程的聯(lián)立，確定對(duì)應(yīng)的點(diǎn)N、M的坐標(biāo)，結(jié)合平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算來(lái)處理轉(zhuǎn)化對(duì)應(yīng)的數(shù)量積，結(jié)合涉二次函數(shù)的取值范圍問題來(lái)確定對(duì)應(yīng)的最值即可.

解法2：如圖2，以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，線段AC所在的直線為x軸，線段AC的中垂線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，可得A（-1，0），C（1，0），

半圓AC的方程為x2+y2=1（y≥0），半圓AB的方程為

角度4：設(shè)出

圖3

角度6：結(jié)合條件，以BC為直徑在AC的同側(cè)畫出對(duì)應(yīng)的輔助半圓，這樣通過(guò)把向量轉(zhuǎn)化為一起，并設(shè)BD=t（0＜t＜1），結(jié)合平面向量的數(shù)量積的應(yīng)用轉(zhuǎn)化為含t的關(guān)系式，結(jié)合涉及t的二次函數(shù)在限定區(qū)間上的取值范圍問題來(lái)確定對(duì)應(yīng)的最值即可.

看似簡(jiǎn)單的一道平面向量問題，其實(shí)認(rèn)真分析，仔細(xì)探究，可以從不同角度展開來(lái)解決，也可以通過(guò)不同方式加以拓展深入，真正達(dá)到“認(rèn)真解答一個(gè)題，拓廣解決一類題，變式深化一片題，思維能力一起高”的目的.其實(shí)，通過(guò)“一題多解”可以將這些主干知識(shí)進(jìn)行“串聯(lián)”，同時(shí)“并聯(lián)”起數(shù)學(xué)思想方法和核心素養(yǎng)，開拓學(xué)生的解題視野，有效促進(jìn)學(xué)生思維品質(zhì)的改善和創(chuàng)新發(fā)展能力的提升，使學(xué)生體驗(yàn)到數(shù)學(xué)的樂趣，收獲成功的喜悅，增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和信心.F