一道解三角形模擬題的多角度思維

☉江蘇省口岸中學 葉阿平

實際應用問題一直是新課標高考，特別是江蘇高考中的一大亮點，通過解三角形中的實際問題的設置，來考查數學模型與解三角形的綜合應用問題，可以很好考查學生的數學解題能力.同時在實際應用問題中，如下幾類工具在解決問題中時很常見：導數，不等式，解三角形，二次函數的圖像與性質等.在解決此類問題中，通過捕捉有用的信息，并進行對比、聯想，從一題多解等形式進行練習，這對培養我們思維的廣闊性無疑是有益的.下面就對一道解三角形的多解試題加以剖析.

題目 如圖1，經過村莊A有

兩條夾角為60°的公路AB，AC，根據規劃擬在兩條公路之間的區域內建一工廠P，分別在兩條公路邊上建兩個倉庫M、N（異于村莊A），要求PM=PN=MN=2（單位：千米）.如何設計，使得工廠產生的噪聲對居民的影響最?。垂S與村莊的距離最遠）？12，即AP取得最大值

圖1

答：設計∠AMN為60°時，工廠產生的噪聲對居民的影響最小.

圖2

在△PMD中，因為PM=2，所以PD=2sinθ，MD=2cosθ，

在△AMN中，∠ANM=∠PMD=θ，

方法三：設AM=x，AN=y，∠AMN=α.

在△AMN中，因為MN=2，∠MAN=60°，

所以MN2=AM2+AN2-2AM·AN·cos∠MAN，

即x2+y2-2xycos60°=x2+y2-xy=4.

答：設計AM=AN=2km時，工廠產生的噪聲對居民的影響最小.

方法四：以AB所在的直線為x軸，A為坐標原點，建立直角坐標系，

答：設計AM=AN=2km時，工廠產生的噪聲對居民的影響最小.

方法五：由運動的相對性，可使△PMN不動，點A在運動，

由于∠MAN=60°，所以點A在以MN為弦的一段圓?。▋灮。┥?，

設圓弧所在的圓的圓心為F，半徑為R，

圖3

由圖形的幾何性質知，AP的最大值為PF+R.

答：設計AM=AN=2km時，工廠產生的噪聲對居民的影響最小.

方法六：以AB所在的直線為x軸，A為坐標原點，建立直角坐P（x0，y0）.

因為MN=2，所以（x1-x2）2+

圖4

所以4+2x1x2≥4x1x2，即x1x2≤2，

答：設計AM=AN=2km時，工廠產生的噪聲對居民的影響最小.

總評：本文通過對一道解三形問題的展示，分別利用三角函數法、構造直角三角形法、基本不等式法、坐標法、幾何法、變換法等不同的思維方式來分析與求解，真正達到一題多思維、一題多知識點、一題多能力的目的.

通過一題多解，我們體會到：這樣的問題可以使我們的解題思路開闊，妙法頓生，提高了解題速度，培養了發散思維能力，有助于激發我們學習的主動性、積極性、趣味性，也有助于全面提高我們的知識水平和思維廣闊性.J