殊途同歸，多點(diǎn)開花*
——一道雙變?cè)钪殿}的多種思維角度

☉江蘇省宿遷中學(xué) 張滿成

在近年的高考題與模擬題中，經(jīng)常會(huì)碰到求解多變?cè)鷶?shù)式的最值或取值范圍問題，特別是雙變?cè)鷶?shù)式的最值或取值范圍問題.此類問題往往難度較大，思維方式多變，方法有時(shí)也多樣.下面我們結(jié)合一道雙變?cè)鷶?shù)式的取值范圍問題來加以實(shí)例剖析，從多維角度切入，達(dá)到殊途同歸的目的.

題目 已知a＞0，b＞0，且滿足a2-ab+b2=1，則a+2b的取值范圍是______.

涉及此類雙變?cè)鷶?shù)式在滿足限制條件下的取值范圍問題時(shí)，可以通過方程法、三角換元法、解三角形法、橢圓位置關(guān)系法以及基本不等式法等思維角度來處理，關(guān)鍵是要確定雙變?cè)鷶?shù)式的取值范圍的兩個(gè)端點(diǎn)以及考慮端點(diǎn)處是否可取得.

通過換元法t=a+2b，代入已知關(guān)系式，建立關(guān)于參數(shù)b的二次方程，結(jié)合對(duì)應(yīng)的二次方程有正解建立相應(yīng)的不等式組，進(jìn)而通過求解不等式組來達(dá)到確定雙變?cè)鷶?shù)式的取值范圍.這也是解決本題比較容易切入的方法，思維角度合理，但運(yùn)算比較煩瑣.1，進(jìn)而結(jié)合三角換元法進(jìn)行換元，并確定參數(shù)θ的取值范圍，代入雙變?cè)鷶?shù)式，通過三角函數(shù)的輔助角公式加以轉(zhuǎn)化，利用參數(shù)θ所取的值來確定兩端點(diǎn)處的代數(shù)式的值，進(jìn)而確定雙變?cè)鷶?shù)式的取值范圍.解決本題

通過對(duì)已知關(guān)系式進(jìn)行配方處的關(guān)鍵是確定參數(shù)θ的取值范圍，這也是解答本題容易出錯(cuò)的地方之一.

通過已知關(guān)系式a2-ab+b2=1，與解三角形中的余弦定理對(duì)應(yīng)的公式類似，引入1=c2，結(jié)合余弦定理確定角C的大小；通過正弦定理分別確定a，b的關(guān)于角A的三角關(guān)系式；通過三角恒等變換，結(jié)合三角函數(shù)的輔助角公式加以轉(zhuǎn)化，利用角A所取的值來確定兩端點(diǎn)處的代數(shù)式的值，進(jìn)而確定雙變?cè)鷶?shù)式的取值范圍.本解法的巧妙之處在于根據(jù)已知關(guān)系式聯(lián)系起余弦定理所對(duì)應(yīng)的公式，巧妙結(jié)合解三角形中的相關(guān)定理加以轉(zhuǎn)化與應(yīng)用.

通過引入?yún)?shù)x，y，假設(shè)a=x-y，b=x+y，結(jié)合已知關(guān)系式得到x、y滿足的關(guān)系式x2+3y2=1，從而把原問題轉(zhuǎn)化為求解目標(biāo)函數(shù)t=3x-y對(duì)于橢圓x2+3y2=1在平面區(qū)域的部分點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的代數(shù)式的取值范圍問題，結(jié)合端點(diǎn)處的取值，以及直線與橢圓的相切的位置關(guān)系來確定取值，進(jìn)而確定雙變?cè)鷶?shù)式的取值范圍.本解法的關(guān)鍵是通過引入?yún)?shù)，把問題轉(zhuǎn)化為直線與橢圓的位置關(guān)系問題，通過數(shù)形結(jié)合來處理，直觀有效，容易操作.

解法4：設(shè)a=x+y，b=x-y，

代入a2-ab+b2=1，整理可得x2+3y2=1，且t=a+2b=3xy，那么轉(zhuǎn)化為求解目標(biāo)函數(shù)t=3x-y對(duì)于橢圓x2+3y2=1在一象限與第四象限的角平分線所夾的x軸正半軸的部分區(qū)域）內(nèi)的部分點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的代數(shù)式的取值范圍問題，

圖1

當(dāng)直線t=3x-y與橢圓x2+3y2=1相切時(shí)，目標(biāo)函數(shù)t=3x-y取得最大值，此時(shí)把y=3x-t代入x2+3y2=1，整理有28x2-18tx+3t2-1=0，

通過引入?yún)?shù)t=a+2b，結(jié)合關(guān)系式的平方，并利用基本不等式加以轉(zhuǎn)化，從而確定參數(shù)t的比例關(guān)系式，進(jìn)而得到t2的取值，然后結(jié)合關(guān)系式并利用不等式的性質(zhì)加以確定最值，進(jìn)而確定雙變?cè)鷶?shù)式的取值范圍.本解法構(gòu)造巧妙，一般實(shí)際操作時(shí)比較難想到.

點(diǎn)評(píng)：解決此類涉及雙變?cè)鷶?shù)式在滿足限制條件下的取值范圍問題，關(guān)鍵是對(duì)雙變?cè)P(guān)系的轉(zhuǎn)化，可以采取引入?yún)?shù)來轉(zhuǎn)化求解角度，也可以通過雙變?cè)鷶?shù)式本身的關(guān)系式進(jìn)行轉(zhuǎn)化與應(yīng)用，還可以結(jié)合關(guān)系式的幾何意義加以數(shù)形結(jié)合分析等.求解時(shí)所采取的切入點(diǎn)不同，求解方法也不盡相同，關(guān)鍵是確定雙變?cè)鷶?shù)式的最值（最大值或最小值）、以及在端點(diǎn)處的值是否可以取得，這也是解決本題是否成功的關(guān)鍵點(diǎn)所在.

當(dāng)我們解完一道題以后，要不斷領(lǐng)悟反思，多角度切入進(jìn)行深度挖掘，從而達(dá)到觸類旁通、一題多解的效果.通過典型實(shí)例的一題多解，可以使得我們的解題思路更加開闊，數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握更加熟練，同時(shí)思維拓展，妙法頓生，提高解題速度，培養(yǎng)發(fā)散思維能力，有助于激發(fā)我們學(xué)習(xí)的主動(dòng)性、積極性和趣味性，從而全面提高我們的知識(shí)水平和思維能力.J