對2018年江蘇高考數學卷第12題的多解探究

☉江蘇省宜興中學 陳 剛

高考中對于直線與圓的考查，一般以選擇題或填空題的形式為主，多為容易題或中檔題.但其問題背景各異，變化多端，知識板塊間的交匯也各式各樣，可以涉及集合、向量、線性規劃、圓錐曲線、坐標變換等內容，包括圓的方程的求解，與圓有關的最值、定值問題，位置關系的判斷，相關參數的求解等眾多的題型.2018年高考江蘇卷第12題把直線與圓，平面向量的數量積等知識加以交匯，通過巧妙設置，進而來確定相關點的橫坐標問題，既在代數中顯示幾何特征，又在幾何中蘊含代數思想，是一道不可多得的創新題.

例 （2018·江蘇·12）在平面直角坐標系xOy中，A為直線l：y=2x上在第一象限內的點，B（5，0），以AB為直徑的圓C與直線l交于另一個點D.若=0，則點A的橫坐標為______.

分析：本題主要涉及直線的方程，圓的相關性質，平面向量的數量積，點的坐標，關鍵在于考查數形結合思想，化歸與轉化思想，以及運算求解能力.如何結合題目條件，把題中的相關問題加以聯系與轉化，這是解決問題的切入點.可以從解析幾何思維、三角函數思維、平面幾何思維三個思維角度的幾種不同解法來分析與處理.

一、解析幾何思維

利用解析幾何思維來處理圓的相關問題，往往可以從直線與圓的位置關系、兩直線的位置關系、點到直線的距離公式等角度切入來達到巧妙轉化與應用的目的，從而得以求解解析幾何中的相關問題.件，舍去），

所以點A的橫坐標為3.

解得a=3或a=-1（不合條件，舍去）.

所以點A的橫坐標為3.

而圓C是以AB為直徑，則有∠ADB=90°，

所以點A的橫坐標為3.

二、三角函數思維

三角函數思維來處理圓的相關問題，往往借助直線的傾斜角，結合同角三角函數基本關系式、誘導公式、三角恒等變換公式等來達到巧妙轉化與應用的目的，從而得以求解解析幾何中的相關問題.

三、平面幾何思維

利用平面幾何思維來處理圓的相關問題，往往要借助平面幾何中的相關知識，包括圓冪定理、三角形的相關性質與判定等來達到巧妙轉化與應用的目的，從而得以求解解析幾何中的相關問題.

而AC=DC，則知∠DAC=45°，而圓C是以AB為直徑，則有∠ADB=90°.

設OD=m（m＞0），由于直線l：y=2x，結合直線的斜率

通過從多個不同角度來處理，巧妙把該題的底蘊充分挖掘出來，從多角度出發，多方面求解，真正體現對數學知識的融會貫通，充分展現知識的交匯與綜合，達到提升能力，拓展應用的目的.進而真正達到在學中“悟”，在“悟”中不斷提升解題技能.正如我國著名數學家蘇步青先生說過：“學習數學要多做習題，邊做邊思索，先知其然，然后知其所以然.”J