高中數(shù)學(xué)超越函數(shù)解題技巧

☉河北省衡水第一中學(xué) 陳亦凡

超越函數(shù)，指的是變量之間的關(guān)系不能用有限次加、減、乘、除、乘方、開(kāi)方運(yùn)算表示的函數(shù).具體而言，是一類(lèi)不滿(mǎn)足任何以多項(xiàng)式作系數(shù)的多項(xiàng)式方程的函數(shù).針對(duì)于高中數(shù)學(xué)模塊，可細(xì)化為在一個(gè)表達(dá)式中含有指數(shù)、對(duì)數(shù)、冪、三角函數(shù)中兩者或兩者以上類(lèi)型的函數(shù).非數(shù)值分析法可解的超越函數(shù)僅有f（x）=lnx-x+1，f（x）=x-ex+1等，大部分超越函數(shù)直觀(guān)上是不可解的.但經(jīng)過(guò)認(rèn)真梳理分析，部分“不可解”的超越函數(shù)可以采用恰當(dāng)?shù)姆椒ǎ擅畹孬@得答案.

一、對(duì)稱(chēng)性在超越函數(shù)中的應(yīng)用

部分函數(shù)本身的解雖然無(wú)法求出，但其組合運(yùn)算可通過(guò)函數(shù)對(duì)稱(chēng)性來(lái)破解.

因?yàn)間（x）為奇函數(shù)，所以g（x）max+g（x）min=0.

所以M+m=［g（x）max+1］+［g（x）min+1］=g（x）max+g（x）min+2=2.

雖然函數(shù)本身的最值解無(wú)法找到，但因其由奇函數(shù)上移得到，故可通過(guò)奇函數(shù)的性質(zhì)快速解題.

二、超越函數(shù)的單調(diào)性在解題中的應(yīng)用

超越函數(shù)往往和未知參變量相結(jié)合，討論超越函數(shù)單調(diào)性要分類(lèi)討論參變量取值，不用詳細(xì)描述函數(shù)圖像.

例2（2016年石家莊二中高二期末試卷）已知f（x）=lnx-ax2+（2-a）x（x＞0），求f（x）的極值.

對(duì)a進(jìn)行分情況討論：

當(dāng)a≤0時(shí)，在定義域內(nèi)f′（x）＞0恒成立，f（x）單調(diào)遞增，無(wú)極值.

含參超越函數(shù)的單調(diào)性判斷，是高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)部分考察的重點(diǎn)，是進(jìn)一步解決函數(shù)恒成立等問(wèn)題的基礎(chǔ).

三、代換思想在超越函數(shù)中的應(yīng)用

對(duì)于超越函數(shù)推導(dǎo)出的方程，無(wú)需求出具體的根x0，可用代換思想轉(zhuǎn)換為關(guān)于x0的非超越方程，再繼續(xù)求解.

則a（x02-2x0+2）=0，其中判別式Δ=-4＜0，方程無(wú)解.

所以，f（x）不能與x軸相切.

通過(guò)上述解題過(guò)程，不難發(fā)現(xiàn)雖然無(wú)法求出①、②成立時(shí)具體根x0，但用代換思想將其轉(zhuǎn)換為關(guān)于a和x0的非超越方程，問(wèn)題就變得可解了.

四、構(gòu)造函數(shù)思想在超越函數(shù)中的應(yīng)用

基于超越函數(shù)導(dǎo)函數(shù)構(gòu)建出一個(gè)超越函數(shù)，利用題中相關(guān)條件確定新構(gòu)建超越函數(shù)的值域，從而確定原函數(shù)的單調(diào)性，同時(shí)結(jié)合原函數(shù)的特殊點(diǎn)值，便可巧妙地獲取答案.

解析：f（x1+x2）-f（x1-x2）＞-2x2

?f（x1+x2）-f（x1-x2）＞-（x1+x2）+（x1-x2）

?f（x1+x2）+（x1+x2）＞f（x1-x2）+（x1-x2）恒成立.

令g（x）=f（x）+x，x∈R，

依題意g（x1+x2）＞g（x1-x2），

所以g（x）在R上單調(diào)遞增.

設(shè)h（x）=g′（x）=xex-ax+1在R上的最小值非負(fù)，

h（1）=e-a+1≥0?a≤e+1，

假設(shè)a=3，則h（x）=xex-3x+1.

1.當(dāng)x＞0時(shí)，h（x）≥x（x+1）-3x+1=x2-2x+1=（x-1）2≥0，成立.

2.當(dāng)x=0時(shí)，h（x）=1，成立.

3.當(dāng)x＜0時(shí)，h（x）=xex-3x+1＞x-3x+1=-2x+1＞0，成立.

所以a=3.

上例中，我們通過(guò)構(gòu)造新函數(shù)，將多元變量型超越函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元變量超越函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求解.

五、參變分離思想在超越函數(shù)中的應(yīng)用

參變分離的核心思想是設(shè)而不求，通過(guò)對(duì)超越函數(shù)導(dǎo)函數(shù)和x軸交點(diǎn)的研究，將超越函數(shù)的極值轉(zhuǎn)變?yōu)槠胀ê瘮?shù)，通過(guò)縮小與x軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)的范圍，求出相應(yīng)的極值，此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵點(diǎn)是對(duì)縮小范圍限定條件的準(zhǔn)確把握，以使在此范圍內(nèi)，有且只有一個(gè)極值滿(mǎn)足條件.我們對(duì)例4中g(shù)（x）在R上單調(diào)遞增利用參變分離技巧進(jìn)行分析求解.

分離參數(shù)一般要求針對(duì)的未知數(shù)取值分情況討論，本質(zhì)上是構(gòu)造一個(gè)參數(shù)關(guān)于未知數(shù)的新函數(shù)求解.

六、“定一議一”和數(shù)形結(jié)合思想在多超越函數(shù)中的應(yīng)用

對(duì)于更為復(fù)雜的多超越函數(shù)而言，我們往往將其中一個(gè)函數(shù)看作簡(jiǎn)單函數(shù)或常函數(shù)，從而將其轉(zhuǎn)變?yōu)閱我怀胶瘮?shù)的問(wèn)題，并畫(huà)出圖像，結(jié)合此超越函數(shù)和轉(zhuǎn)換后的簡(jiǎn)單函數(shù)或常函數(shù)，利用題干中對(duì)交點(diǎn)的要求進(jìn)行平移操作，求出取值范圍.

因?yàn)閒（x）=g（x0）在（0，e）上總有兩個(gè)不相等的實(shí)根，所以f（x）在（0，e）上不單調(diào)，

由例2知a＞0，且需滿(mǎn)足下列條件

針對(duì)多變量問(wèn)題，一般定一議一，從易到難，逐步討論，數(shù)形結(jié)合判斷所需滿(mǎn)足的條件.

綜上，超越函數(shù)并不是無(wú)從下手.關(guān)鍵在于明晰函數(shù)特點(diǎn)與所努力目標(biāo)，充分合理利用函數(shù)性質(zhì)、圖像、導(dǎo)數(shù)的意義，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蠼?