識(shí)圖，畫圖，用圖
——函數(shù)圖像教學(xué)的“吉祥三寶”

☉浙江省寧波市北侖中學(xué) 范東暉

函數(shù)是高中代數(shù)的主干知識(shí)，同時(shí)滲透于解析幾何、立體幾何等其他分支學(xué)科，可以說，函數(shù)是整個(gè)高中數(shù)學(xué)的精髓.而函數(shù)圖像作為函數(shù)的一種表示形式，是函數(shù)關(guān)系中最為直觀的表達(dá)形式，是函數(shù)定義的幾何形式，也是數(shù)形結(jié)合的基礎(chǔ)和依據(jù).筆者從教學(xué)中體會(huì)到，函數(shù)教學(xué)的關(guān)鍵是函數(shù)圖像的教學(xué)，“有圖有真相”，圖像在研究函數(shù)性質(zhì)、方程、不等式等問題中也具有十分重要的作用，教會(huì)學(xué)生識(shí)圖、畫圖以及用圖是圖像教學(xué)的“吉祥三寶”.下面筆者就這三方面談?wù)勛约涸诮虒W(xué)中的做法.

一、會(huì)識(shí)圖

識(shí)圖，通俗地講就是“看”圖，看函數(shù)圖像的整體性態(tài)，看圖像的變化趨勢(shì)，看圖像變化中的規(guī)律性和不變性.

（A）a＞0，b＞0，c＜0

（B）a＜0，b＞0，c＞0

（C）a＜0，b＞0，c＜0

（D）a＜0，b＜0，c＜0

圖1

對(duì)于函數(shù)圖像的整體性態(tài)的把握主要是根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，如函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、值域、定義域等；不變性主要是根據(jù)特殊點(diǎn)的函數(shù)值，采用排除的方法得出正確的選項(xiàng).本題主要是通過函數(shù)解析式判斷其定義域，并在圖形中判斷出來，另外，根據(jù)特殊點(diǎn)的位置能夠判斷a，b，c的正負(fù)關(guān)系.

例2 如圖2，長(zhǎng)方形ABCD的邊AB=2，BC=1，O是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P沿著邊BC，CD與DA運(yùn)動(dòng)，記∠BOP=x.將動(dòng)點(diǎn)P到A、B兩點(diǎn)距離之和表示為x的函數(shù)f（x），則y=f（x）的圖像大致為（）.

圖2

評(píng)注：本題需先求函數(shù)的解析式，然后結(jié)合所求的解析式來分析圖像的特點(diǎn).

俗話說：“外行看熱鬧，內(nèi)行看門道.”教師教學(xué)生“看”函數(shù)圖像，正確地識(shí)別和判斷函數(shù)的圖像，進(jìn)行定性分析和定量計(jì)算，通常可以從以下幾個(gè)“門道”入手：（1）由函數(shù)的定義域判斷圖像的左右位置，由函數(shù)的值域判斷圖像的上下位置；（2）由函數(shù)的奇偶性判斷圖像的對(duì)稱性；（3）由函數(shù)的單調(diào)性判斷圖像的變化趨勢(shì)；（4）由函數(shù)的周期性判斷圖像的“周而復(fù)始”；（5）由圖像的特殊點(diǎn)判斷圖像的相對(duì)位置.

二、會(huì)畫圖

“畫”圖即根據(jù)函數(shù)的解析式或列表等形式，將符合函數(shù)的點(diǎn)在直角坐標(biāo)系中表示出來.常見畫圖法有以下兩種.

1.描點(diǎn)法

利用描點(diǎn)法作圖的基本步驟：首先確定函數(shù)的定義域，化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，討論函數(shù)的性質(zhì)，其次是列表、描點(diǎn)、連線.列表時(shí)尤其注意零點(diǎn)、最大值點(diǎn)、最小值點(diǎn)、與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)及其他特殊點(diǎn)等.

從畫圖操作上講，要嚴(yán)守“列表—描點(diǎn)—連線“的步驟規(guī)范.教師在開始教學(xué)生學(xué)習(xí)作一些初等函數(shù)圖像時(shí)用的是描點(diǎn)法.當(dāng)掌握這些基本函數(shù)的圖像后，再遇到函數(shù)表達(dá)式是熟悉的初等函數(shù)時(shí)，可根據(jù)這些函數(shù)的特征直接作出.

2.圖像變換法

圖像變換法是指函數(shù)圖像可以由某個(gè)基本函數(shù)的圖像經(jīng)過平移、翻折、對(duì)稱、伸縮等變換手段得到.對(duì)不能直接找到熟悉函數(shù)的，要先變形，注意定義域?qū)瘮?shù)圖像的影響，并注意平移變換與伸縮變換的順序?qū)ψ儞Q單位及解析式的影響.此外，補(bǔ)充一些常見函數(shù)的作圖方法，如分段函數(shù)的作圖，奇偶函數(shù)的作圖，對(duì)稱性作圖，含絕對(duì)值函數(shù)的作圖，使學(xué)生對(duì)高中一些較常見的函數(shù)，能較快地作出其大致圖像.圖像可以看成是由函數(shù)y=

解析：因f（-x+1）=f［-（x-1）］，先將f（x）的圖像沿y軸對(duì)折得到f（-x）的圖像，再將所得圖像向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度就得到函數(shù)f（-x+1）的圖像，故選B.

本題常出現(xiàn)的錯(cuò)誤：先將f（x）的圖像沿y軸對(duì)折得到f（-x）的圖像，再將所得圖像向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度就得到函數(shù)f（-x+1）的圖像，從而選A.

錯(cuò)因分析：沒有掌握?qǐng)D像變換，圖像平移單位長(zhǎng)度是加在x上，而不是加在ωx上，本例因f（-x+1）=f［-（x-1）］，故先作對(duì)稱變換后，應(yīng)向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度.也就是此類問題應(yīng)先將所給函數(shù)化為f［ω（x+a）］形式，若先作伸縮變換，再作平移變換，特別要注意平移方向和平移單位.函數(shù)圖像變化的實(shí)質(zhì)是對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)的變換，因此也可以使用坐標(biāo)變換來研究函數(shù)圖像變化問題.要注意的是，若像本題這樣出現(xiàn)了函數(shù)變量符號(hào)的變化，則發(fā)生了對(duì)稱變化.

圖像變換包括平移變換、對(duì)稱變換、翻折變換、伸縮變換等.一般來講，平移變換，對(duì)稱變換不變其形只變其位（置），是一種全等變換，其他幾種變換既要變其形還要變其位.

三、會(huì)用圖

函數(shù)圖像形象地顯示了函數(shù)的性質(zhì)，為研究數(shù)量關(guān)系提供了“形”的直觀性，借助函數(shù)圖像來分析，數(shù)量關(guān)系和空間形式巧妙結(jié)合，探求解題途徑，使問題成功獲解.因此函數(shù)的圖像在函數(shù)、方程、不等式等問題中有著廣泛的應(yīng)用.

1.圖像用于函數(shù)問題

例5若函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)閧x|-3≤x≤8，x≠5}，值域?yàn)閧y|-1≤y≤2，y≠0}，則y=f（x）的圖像可能為（）.

例4 已知定義域?yàn)椋?，1］的函數(shù)f（x）圖像如圖3所示，則函數(shù)f（-x+1）的圖像可能是（）.是奇函數(shù)，圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以排除A和D；又當(dāng)x＞0時(shí)，x+1＞1，

圖3

解析：根據(jù)函數(shù)的概念，對(duì)于任意的一個(gè)x，只能有唯一確定的一個(gè)y的值與它對(duì)應(yīng)，故排除C，由定義域?yàn)閧x|-3≤x≤8，x≠5}，排除A，D，故選B.

2.圖像用于方程問題

方程f（x）=g（x）的根就是函數(shù)f（x）與g（x）圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，因此，可用函數(shù)的觀點(diǎn)和視角來分析方程根的求解與分布等相關(guān)問題.

例6已知函數(shù)f（x）=|x-2|+1，g（x）=kx，若f（x）=g（x）有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（ ）.

解析：因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=|x-2|+1，g（x）=kx的圖像有兩個(gè)公共點(diǎn)，如圖4所示，當(dāng)g（x）=kx介于y=

圖4

解析：由題意知，原問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)y1=f（x）與y2=1-g（x）交點(diǎn)個(gè)數(shù)以及函數(shù)y1=f（x）與y3=-1-g（x）交點(diǎn)個(gè)數(shù)之?dāng)?shù)y1=f（x）與y3=-1-g（x）有兩個(gè)交點(diǎn)，因此共有4個(gè)交點(diǎn).

對(duì)于一些對(duì)數(shù)型方程，如果不能直接求出其根，常常通過平移、對(duì)稱等變換，把它轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)圖像問題，再利用數(shù)形結(jié)合的方法，把求方程根的個(gè)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為求對(duì)應(yīng)函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題.

例8已知函數(shù)f（x）=|x2+3x|，x∈R.如果方程f（x）-a|x-1|=0恰有4個(gè)互異的實(shí)數(shù)根，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍為______.

解法1：f（x）-a|x-1|=0?|x2+3x|=a|x-1|，則a＞0.在同一坐標(biāo)系下作出函數(shù)y1=|x2+3x|與y2=a|x-1|的圖像.

圖?

圖?

當(dāng)y3=-a（x-1）與y4=-x2-3x相切時(shí)（如圖5），由判別式可得a=1，此時(shí)方程f（x）-a|x-1|=0恰有3個(gè)互異的實(shí)數(shù)根，則0＜a＜1時(shí)有4個(gè)互異的實(shí)數(shù)根.

當(dāng)直線y5=a（x-1）與函數(shù)y6=x2+3x相切時(shí)（如圖6），同理可得a=9，此時(shí)方程f（x）-a|x-1|=0恰有3個(gè)互異的實(shí)數(shù)根，則a＞9時(shí)有4個(gè)互異的實(shí)數(shù)根.

綜上可知，0＜a＜1或a＞9.

圖7

方程f（x）-a|x-1|=0恰有4個(gè)互異的實(shí)數(shù)根，等價(jià)于函圖像與直線y=a恰有4個(gè)互異的交點(diǎn).故0＜a＜1或a＞9.

對(duì)于含有參數(shù)的問題，有兩種基本的方法：一是分別作出一個(gè)已知函數(shù)與另一個(gè)含參數(shù)函數(shù)的圖像；二是進(jìn)行參變量分離，構(gòu)造一個(gè)新函數(shù)再做研究.

3.圖像用于不等式問題

不等式f（x）＞g（x）的解集對(duì)應(yīng)f（x）圖像在g（x）圖像上方的那一段對(duì)應(yīng)的x的取值范圍（圖像的交點(diǎn)坐標(biāo)可通過解方程組求得）.因此利用函數(shù)的圖像可以解決有關(guān)不等式問題.

例9 不等式（x-1）2＜logax在x∈（1，2）內(nèi)恒成立，實(shí)數(shù)a的取值范圍為（ ）.

圖8

解析：設(shè)f1（x）=（x-1）2，f2（x）=logax，要使當(dāng)x∈（1，2）時(shí)，不等式（x-1）2＜logax恒成立，只需在f1（x）=

（x-1）2在（1，2）上的圖像在f2（x）=logax圖像的下方即可.當(dāng)0＜a＜1時(shí)，顯然不成立；當(dāng)a＞1時(shí)，如圖8，要使x∈（1，2）時(shí)，f1（x）=（x-1）2的圖像在f2（x）=logax的圖像下方，只需f1（2）≤f2（2），即（2-1）2≤loga2，即loga2≥1，所以1＜a≤2，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是（1，2］.

解析：先畫出y=f（x）在［0，3）內(nèi)一個(gè)周期的圖像，再將這個(gè)周期的圖像向左平移3個(gè)單位得到函數(shù)在［-3，0）內(nèi)的圖像，最后將這段圖像向右平移3個(gè)單位取［3，4］內(nèi)的圖像，如圖9所示.函數(shù)y=f（x）-a在區(qū)間［-3，4］上有10個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于方程f（x）=a在區(qū)間［-3，4］上有10個(gè)不等實(shí)根，等價(jià)于直線y=a與函數(shù)y=f（x）的圖像在區(qū)間［-3，4］上有10個(gè)交點(diǎn)，由圖知，實(shí)數(shù)a

圖9

例11 設(shè)a，b∈Z，若對(duì)任意x≤0，都有（ax+2）（x2+2b）≤0，則a=______，b=_______.

解析：首先令x=0知，b≤0.其次構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，考慮過定點(diǎn)（0，2）的直線y1=ax+2，與開口向上的拋物線y2=x2+2b，結(jié)合兩個(gè)函數(shù)的圖像（此略），可知，滿足對(duì)任意x≤0a，b∈Z，故a=1，b=-2.

總之，在函數(shù)圖像的教學(xué)中，教師要緊緊抓住識(shí)圖、畫圖、用圖“三寶”.“寶劍鋒從磨礪出”，努力提高學(xué)生的識(shí)圖讀圖的能力，對(duì)基本初等函數(shù)要“胸有成圖”，會(huì)“依圖判性”，進(jìn)而達(dá)到對(duì)圖“能識(shí)會(huì)用”；同時(shí)注重?cái)?shù)形結(jié)合和函數(shù)思想的運(yùn)用，知圖選式、知式選圖、圖式結(jié)合，變形化歸，熟練地進(jìn)行圖像變換以及自覺地運(yùn)用圖像解題.