導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用探析

李奕琳

（廣東省汕頭市第一中學(xué)，廣東 汕頭）

導(dǎo)數(shù)是微積分的基礎(chǔ)概念，當(dāng)一個(gè)函數(shù)存在導(dǎo)數(shù)時(shí)，稱這個(gè)函數(shù)可以求導(dǎo)或者可以微分.學(xué)生對(duì)于導(dǎo)數(shù)的熟練使用可以有效解決函數(shù)類有關(guān)習(xí)題，特別是包含解曲線方程式一類的習(xí)題，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用會(huì)起到明顯作用.因此學(xué)生如果將導(dǎo)數(shù)的知識(shí)點(diǎn)熟練掌握，對(duì)于解答高中后期的習(xí)題將起到事半功倍的效果.

一、應(yīng)用導(dǎo)數(shù)解決切線問(wèn)題

近年來(lái)，導(dǎo)數(shù)的幾何意義經(jīng)常與解析幾何聯(lián)系起來(lái)，考察學(xué)生的綜合能力，經(jīng)常出現(xiàn)在選擇題及大題第一問(wèn)上.導(dǎo)數(shù)的幾何意義即函數(shù)y=f（x）在某一點(diǎn)M（x0，y0）一處的導(dǎo)數(shù)f′（x0），就是過(guò)這一點(diǎn)M的切線的斜率，導(dǎo)數(shù)的幾何意義經(jīng)常體現(xiàn)在求切線的斜率問(wèn)題上.函數(shù)在數(shù)學(xué)試卷中占比相對(duì)較大，利用導(dǎo)數(shù)解決相關(guān)問(wèn)題，可以使習(xí)題簡(jiǎn)化，容易得出答案.

二、應(yīng)用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)性質(zhì)問(wèn)題

高中函數(shù)經(jīng)常需要研究函數(shù)性質(zhì)，其中包括函數(shù)的定義域、單調(diào)性、最值、奇偶性等等.畫圖像也是解決函數(shù)問(wèn)題最直觀的方法，但是隨著高中函數(shù)學(xué)習(xí)的逐漸深入，很多復(fù)雜函數(shù)的圖像不能很容易地被畫出來(lái)，這個(gè)時(shí)候畫圖象的方法就不適用了.當(dāng)導(dǎo)數(shù)引入進(jìn)函數(shù)解題中，可以發(fā)現(xiàn)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、最值等可以被簡(jiǎn)單的計(jì)算出來(lái).導(dǎo)數(shù)被廣泛應(yīng)用與函數(shù)習(xí)題中，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)可以很快速地求得函數(shù)的極大值與極小值，可以畫出一個(gè)函數(shù)圖象，得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，學(xué)習(xí)這些知識(shí)時(shí)學(xué)生需要掌握的基礎(chǔ)知識(shí)，也是考試的重點(diǎn)內(nèi)容.

例如：已知函數(shù)f（x）=6x2+8x+4，求單調(diào)區(qū)間以及最小值.這道題是最基礎(chǔ)的求函數(shù)極值和單調(diào)區(qū)間的問(wèn)題，利用導(dǎo)數(shù)解題如下：

解：可得f′（x）=12x+8，

在這道題中可以看出來(lái)，利用導(dǎo)數(shù)解決這類問(wèn)題可以更加方便的得出答案，如果使用其他方法，這道題的解題步驟就會(huì)變得復(fù)雜繁瑣，容易出錯(cuò)，還不能很好地看出單調(diào)性.利用導(dǎo)數(shù)解這種類型的問(wèn)題有比較明顯的解題步驟，首先求出這個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，使這個(gè)導(dǎo)數(shù)等于零，求得函數(shù)的極值.然后令導(dǎo)數(shù)小于零，得出函數(shù)遞減區(qū)間，令導(dǎo)數(shù)大于零，得到函數(shù)遞增區(qū)間[1].

三、應(yīng)用導(dǎo)數(shù)解決不等式問(wèn)題

在不等式類習(xí)題中，同樣需要應(yīng)用到函數(shù)特性，利用導(dǎo)數(shù)可以得出函數(shù)的性質(zhì)，從而解答不等式問(wèn)題.更多的時(shí)候需要構(gòu)造一個(gè)函數(shù)，引入導(dǎo)數(shù)方法，借助函數(shù)特性，求得極值，從而解決不等式問(wèn)題.

設(shè)F（x）=g（x）-f（x），x∈（1，+∞）

因x∈（1，+∞），得F′（x）＞0

而f（1）＜g（1），

所以在此區(qū)間上F（x）單調(diào)遞增，所以f（x）＜g（x）.

這道題是函數(shù)的證明題，使用導(dǎo)數(shù)解答能夠?qū)⒉蝗菀鬃C明的不等式習(xí)題變得簡(jiǎn)單易懂，能夠有效地解決不等式問(wèn)題.傳統(tǒng)的不等式問(wèn)題需要運(yùn)用到分析法、綜合法、比較法等多種手法，這些手法遠(yuǎn)不如使用導(dǎo)數(shù)解答簡(jiǎn)單方便.要想使用導(dǎo)數(shù)解答不等式，需要根據(jù)題目構(gòu)建函數(shù)，將不等式類證明題目轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值和單調(diào)區(qū)間的問(wèn)題上去，將問(wèn)題簡(jiǎn)單化進(jìn)行解答.

四、應(yīng)用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題

當(dāng)前，數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用價(jià)值被充分發(fā)掘，其中，導(dǎo)數(shù)知識(shí)不僅可以用于解決數(shù)學(xué)領(lǐng)域相關(guān)切線方程、不等式等問(wèn)題，還能對(duì)一些實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題進(jìn)行有效解決，產(chǎn)生巨大的社會(huì)價(jià)值.運(yùn)用導(dǎo)數(shù)探究利潤(rùn)最大、效率最高、費(fèi)用最省等問(wèn)題，往往能夠獲得最佳的可行方案.

例如：某生產(chǎn)企業(yè)設(shè)計(jì)生產(chǎn)一個(gè)容器，容器為對(duì)稱結(jié)構(gòu)，中間為圓柱形、圓柱兩端分別為兩個(gè)半球形（圓柱的高為l，半球結(jié)構(gòu)的截面半徑為r，且l≥2r），要求容器的容積為（80/3）π立方米.不考慮容器厚度，該容器的生產(chǎn)費(fèi)用僅與其表面積有關(guān)，已知容器圓柱部分的生產(chǎn)費(fèi)用為3千元/平方米，而半球結(jié)構(gòu)的生產(chǎn)費(fèi)用為 x 千元/平方米（x＞3）.求：該容器的生產(chǎn)費(fèi)用 y最小時(shí)，r的值.

應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求解這一問(wèn)題，首先要利用已知條件得出y與r的函數(shù)表達(dá)式，并確定該函數(shù)的定義域；對(duì)函數(shù)求導(dǎo)后，明確函數(shù)的變化規(guī)律，即在不同定義域的單調(diào)性，最終即可得到最佳設(shè)計(jì)方案[2].

綜上所述，探究導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的解題能力具有重要意義.通過(guò)相關(guān)實(shí)例分析，能夠明確導(dǎo)數(shù)在各類題目當(dāng)中的應(yīng)用思路，從而便于學(xué)生掌握相關(guān)導(dǎo)數(shù)知識(shí)中蘊(yùn)含的豐富的數(shù)學(xué)思想，幫助學(xué)生養(yǎng)成良好的解題習(xí)慣，綜合提升學(xué)生解決各類數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)的效率與正確率.