導數在高中數學解題中的應用探析

李奕琳

（廣東省汕頭市第一中學，廣東 汕頭）

導數是微積分的基礎概念，當一個函數存在導數時，稱這個函數可以求導或者可以微分.學生對于導數的熟練使用可以有效解決函數類有關習題，特別是包含解曲線方程式一類的習題，導數的應用會起到明顯作用.因此學生如果將導數的知識點熟練掌握，對于解答高中后期的習題將起到事半功倍的效果.

一、應用導數解決切線問題

近年來，導數的幾何意義經常與解析幾何聯系起來，考察學生的綜合能力，經常出現在選擇題及大題第一問上.導數的幾何意義即函數y=f（x）在某一點M（x0，y0）一處的導數f′（x0），就是過這一點M的切線的斜率，導數的幾何意義經常體現在求切線的斜率問題上.函數在數學試卷中占比相對較大，利用導數解決相關問題，可以使習題簡化，容易得出答案.

二、應用導數解決函數性質問題

高中函數經常需要研究函數性質，其中包括函數的定義域、單調性、最值、奇偶性等等.畫圖像也是解決函數問題最直觀的方法，但是隨著高中函數學習的逐漸深入，很多復雜函數的圖像不能很容易地被畫出來，這個時候畫圖象的方法就不適用了.當導數引入進函數解題中，可以發現函數的單調區間、最值等可以被簡單的計算出來.導數被廣泛應用與函數習題中，應用導數可以很快速地求得函數的極大值與極小值，可以畫出一個函數圖象，得出函數的單調區間，學習這些知識時學生需要掌握的基礎知識，也是考試的重點內容.

例如：已知函數f（x）=6x2+8x+4，求單調區間以及最小值.這道題是最基礎的求函數極值和單調區間的問題，利用導數解題如下：

解：可得f′（x）=12x+8，

在這道題中可以看出來，利用導數解決這類問題可以更加方便的得出答案，如果使用其他方法，這道題的解題步驟就會變得復雜繁瑣，容易出錯，還不能很好地看出單調性.利用導數解這種類型的問題有比較明顯的解題步驟，首先求出這個函數的導數，使這個導數等于零，求得函數的極值.然后令導數小于零，得出函數遞減區間，令導數大于零，得到函數遞增區間[1].

三、應用導數解決不等式問題

在不等式類習題中，同樣需要應用到函數特性，利用導數可以得出函數的性質，從而解答不等式問題.更多的時候需要構造一個函數，引入導數方法，借助函數特性，求得極值，從而解決不等式問題.

設F（x）=g（x）-f（x），x∈（1，+∞）

因x∈（1，+∞），得F′（x）＞0

而f（1）＜g（1），

所以在此區間上F（x）單調遞增，所以f（x）＜g（x）.

這道題是函數的證明題，使用導數解答能夠將不容易證明的不等式習題變得簡單易懂，能夠有效地解決不等式問題.傳統的不等式問題需要運用到分析法、綜合法、比較法等多種手法，這些手法遠不如使用導數解答簡單方便.要想使用導數解答不等式，需要根據題目構建函數，將不等式類證明題目轉化為函數最值和單調區間的問題上去，將問題簡單化進行解答.

四、應用導數解決實際問題

當前，數學知識的應用價值被充分發掘，其中，導數知識不僅可以用于解決數學領域相關切線方程、不等式等問題，還能對一些實際應用問題進行有效解決，產生巨大的社會價值.運用導數探究利潤最大、效率最高、費用最省等問題，往往能夠獲得最佳的可行方案.

例如：某生產企業設計生產一個容器，容器為對稱結構，中間為圓柱形、圓柱兩端分別為兩個半球形（圓柱的高為l，半球結構的截面半徑為r，且l≥2r），要求容器的容積為（80/3）π立方米.不考慮容器厚度，該容器的生產費用僅與其表面積有關，已知容器圓柱部分的生產費用為3千元/平方米，而半球結構的生產費用為 x 千元/平方米（x＞3）.求：該容器的生產費用 y最小時，r的值.

應用導數求解這一問題，首先要利用已知條件得出y與r的函數表達式，并確定該函數的定義域；對函數求導后，明確函數的變化規律，即在不同定義域的單調性，最終即可得到最佳設計方案[2].

綜上所述，探究導數在高中數學解題中的應用，對培養學生的解題能力具有重要意義.通過相關實例分析，能夠明確導數在各類題目當中的應用思路，從而便于學生掌握相關導數知識中蘊含的豐富的數學思想，幫助學生養成良好的解題習慣，綜合提升學生解決各類數學問題時的效率與正確率.