一道雙變量問題的三種解法及應(yīng)用

孫 健

（鞍山市第一中學(xué)數(shù)學(xué)組，遼寧 鞍山）

在解決函數(shù)導(dǎo)數(shù)部分的問題時，我們經(jīng)常遇到雙變量的問題，由于兩個變量都在變動，學(xué)生經(jīng)常在解題時束手無策。因此筆者從一道題典型的雙變量問題切入，給出雙變量問題的三個不同的解題方法，希望能對同學(xué)們有所啟發(fā)。

法一：分離變量

考慮函數(shù)g（x）=x0lnx-x，則g（x1）=g（x2）

若x1＜x2≤x0，而g（x）在（-∞，x0］單調(diào)遞增，g（x1）＜g（x2）與g（x1）=g（x2）矛盾，

同理x0≤x1＜x2亦與g（x1）=g（x2）矛盾

所以x1＜x0＜x2

說明：此法利用已知條件關(guān)于x1，x2兩個變量對稱形式，將兩個變量分離到等式兩側(cè)，進(jìn)而將已知條件轉(zhuǎn)化為g（x）在x1，x2處的函數(shù)值相等，并通過研究g（x）性質(zhì)找到x1，x0，x2之間的大小關(guān)系。

法二：用變量組合式做變量

考慮函數(shù)g（t）=lnt-t+1

類似可證x2-x0＞0

說明：比較兩數(shù)大小關(guān)系時做差和做商是常見的方法，此方法直接做差，并找到做差后式子中符號固定的部分后重點考慮不易確定符號的部分，通過對數(shù)的運(yùn)算法，則巧妙地將兩個變量的商作為新的變量構(gòu)造出一個單變量的函數(shù)。此法也可以利用做商的方式處理，這里留給讀者思考，不再贅述。

法三：一個看做自變量，一個看做常數(shù)

考慮函數(shù)g（x）=x1（lnx-lnx1）-（x-x1）

而x1＜x2，故g（x2）=x1（lnx2-lnx1）-（x2-x1）＜g（x1）=0

說明：此方法做差的想法與法二類似，不同的是在處理分子時將x2作為自變量，將x1看做常數(shù)構(gòu)造出函數(shù)g（x），這種處理方法源自數(shù)學(xué)分析中多元微積分中的偏導(dǎo)數(shù)方法,以大學(xué)觀點處理高中導(dǎo)數(shù)題目自有欲窮千里目，更上一層樓的感覺。

以上三種解法是雙變量問題中較為典型的處理技巧，下面我們對以上方法加以應(yīng)用，并體會對不同類型的題目如何選取適當(dāng)?shù)姆椒ā?/p>

應(yīng)用：

（1）已知f（x）滿足f（x）+f′（x）＞0，?x∈R，比較f（2）與大小。

解：f（2）與大小關(guān)系等價于e2·f（2）與f（0）大小關(guān)系，而利用函數(shù)單調(diào)性比較大小是一種常規(guī)方法，若可以將兩式轉(zhuǎn)變?yōu)橥粋€函數(shù)在不同點處函數(shù)值則問題可解。注意到e2·f（2）與f（0）兩式在形式上相差函數(shù)符號f前面的一個常數(shù)e0，e2·f（2）與f（0）大小關(guān)系等價于e2·f（2）與e0·f（0）大小關(guān)系，兩式分別為g（2）與g（0）。

考慮，g（x）=ex·f（x），g′（x）=ex·（f（x）+f′（x））＞0，g（x）單調(diào)遞增，故

（2）已知函數(shù)f（x）=（a+1）lnx+ax2+1

設(shè)a≤-2證明：對任意

解：不妨設(shè)x2≤x1，則或f（x1）-f（x2）≤4（x2-x1）

?g（x）=f（x）+4x單調(diào)遞減或h（x）=f（x）-4x單調(diào)遞增

點評：以上練習(xí)題中，運(yùn)用法一分離變量轉(zhuǎn)化為函數(shù)單調(diào)性問題求解，希望本文中解決雙變量問題三個方法能給讀者帶來啟發(fā)。