一道雙變量問題的三種解法及應用

孫 健

（鞍山市第一中學數學組，遼寧 鞍山）

在解決函數導數部分的問題時，我們經常遇到雙變量的問題，由于兩個變量都在變動，學生經常在解題時束手無策。因此筆者從一道題典型的雙變量問題切入，給出雙變量問題的三個不同的解題方法，希望能對同學們有所啟發。

法一：分離變量

考慮函數g（x）=x0lnx-x，則g（x1）=g（x2）

若x1＜x2≤x0，而g（x）在（-∞，x0］單調遞增，g（x1）＜g（x2）與g（x1）=g（x2）矛盾，

同理x0≤x1＜x2亦與g（x1）=g（x2）矛盾

所以x1＜x0＜x2

說明：此法利用已知條件關于x1，x2兩個變量對稱形式，將兩個變量分離到等式兩側，進而將已知條件轉化為g（x）在x1，x2處的函數值相等，并通過研究g（x）性質找到x1，x0，x2之間的大小關系。

法二：用變量組合式做變量

考慮函數g（t）=lnt-t+1

類似可證x2-x0＞0

說明：比較兩數大小關系時做差和做商是常見的方法，此方法直接做差，并找到做差后式子中符號固定的部分后重點考慮不易確定符號的部分，通過對數的運算法，則巧妙地將兩個變量的商作為新的變量構造出一個單變量的函數。此法也可以利用做商的方式處理，這里留給讀者思考，不再贅述。

法三：一個看做自變量，一個看做常數

考慮函數g（x）=x1（lnx-lnx1）-（x-x1）

而x1＜x2，故g（x2）=x1（lnx2-lnx1）-（x2-x1）＜g（x1）=0

說明：此方法做差的想法與法二類似，不同的是在處理分子時將x2作為自變量，將x1看做常數構造出函數g（x），這種處理方法源自數學分析中多元微積分中的偏導數方法,以大學觀點處理高中導數題目自有欲窮千里目，更上一層樓的感覺。

以上三種解法是雙變量問題中較為典型的處理技巧，下面我們對以上方法加以應用，并體會對不同類型的題目如何選取適當的方法。

應用：

（1）已知f（x）滿足f（x）+f′（x）＞0，?x∈R，比較f（2）與大小。

解：f（2）與大小關系等價于e2·f（2）與f（0）大小關系，而利用函數單調性比較大小是一種常規方法，若可以將兩式轉變為同一個函數在不同點處函數值則問題可解。注意到e2·f（2）與f（0）兩式在形式上相差函數符號f前面的一個常數e0，e2·f（2）與f（0）大小關系等價于e2·f（2）與e0·f（0）大小關系，兩式分別為g（2）與g（0）。

考慮，g（x）=ex·f（x），g′（x）=ex·（f（x）+f′（x））＞0，g（x）單調遞增，故

（2）已知函數f（x）=（a+1）lnx+ax2+1

設a≤-2證明：對任意

解：不妨設x2≤x1，則或f（x1）-f（x2）≤4（x2-x1）

?g（x）=f（x）+4x單調遞減或h（x）=f（x）-4x單調遞增

點評：以上練習題中，運用法一分離變量轉化為函數單調性問題求解，希望本文中解決雙變量問題三個方法能給讀者帶來啟發。