立體幾何法證明橢圓的光學性質

【摘要】首先證明了圓柱體的斜截面是一個橢圓，然后通過用立體幾何的方法研究了橢圓的一條重要的光學性質，相比于之前的純幾何法、解析幾何法等，證明方法更加的簡潔明了，從而使得橢圓的光學性質在更廣闊的的領域得以運用。

【關鍵詞】立體幾何法 橢圓 光學性質

【中圖分類號】O123.2 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2018）14-0037-01

前言

眾所周知，用一個不平行于圓柱體底面的平面去截圓柱體，得到的截面是一個橢圓。如圖1所示。此外，圓柱體還有一個重要的幾何性質，在橢圓中，假設F，S分別是橢圓的左焦點和右焦點，MPN為橢圓的一條切線，且P為切點，連接PF，PS，則有∠MPF=∠NPS，這就是橢圓的光學性質，如圖2所示：

橢圓的光學性質對科學生產產生了重要的影響，比如橢圓鏡面用來制作電影放映機的聚光燈等，因此研究橢圓的這條性質具有著重要的意義。橢圓的這條性質前人已經給出過了一些證明的方法，如純幾何法，解析幾何法，甚至包括光學物理等方法，本文從一個新的角度出發，提出了一種新的方法來研究橢圓的這條性質，那就是用立體幾何的方法來研究橢圓這個平面幾何的性質問題。

說明為了作圖的方便，以下的作圖用兩條平行線來表示圓柱體。

一、橢圓的光學性質

首先，我們來探究一下，為什么圓柱的斜截面是一個橢圓。首先根據橢圓的定義，平面上到兩個定點的距離之和（此和要大于兩定點的距離）為一個常數的點的軌跡是一個橢圓。下面我們就利用定義來證明圓柱體的斜截面是一個橢圓。

例1 用一個不平行于圓柱體底面的平面去截一個圓柱體，將得到一個截面，然后在圓柱體的內部放進去兩個球，并且這兩個球剛剛好能放進圓柱體內部（球的截面與圓柱體上底面等大），下球與此截面相切于F，上球與截面相切于S，求證此截面是一個橢圓。

證明如圖3所示，任取截面上一點P，過P點作兩球的切線PA，PB，切點為A，B，連接PF，PS。

因為下球與截面相切，切點為F，又因為P在截面上

所以PF為下球的切線

因為PA也是下球的切線

所以PF=PA

同理可得PS=PB

故PS+PF=PA+PB（定值）

根據橢圓的定義可得，此截面是一個橢圓，例1得證。

例2 如圖4，MPN為橢圓切線，PQ垂直于底面，XQY為過點Q的底面的切線。證明：兩條切線在同一平面內。

證明過點P作與圓柱體相切的平面α，顯然過Q點作與圓柱體相切的平面與α重合，且XQY在α上。由于橢圓面與α的交線必為橢圓切線（因為橢圓與α相切于點P，故在α內過點P的直線與橢圓只有一交點P，而兩平面交線在橢圓面上，故此交線為切線），所以MPN在α上，故例2得證。

例3 如圖5，證明，∠MPF=∠NPS（橢圓的光學性質）。

證明既然兩切線有交點，故設M為交點，同理，上球部分交點為N。

因為M在橢圓面上，F為橢圓面與球的切點，

所以MF為下球的切線。

所以：MF=MA

又：MP=MP，PF=PA

所以：ΔPFM≌ΔPAM

所以：∠MPF=∠APM

同理：∠SPN=∠BPN

∠APM=∠BPN（對頂角相等）

故：∠MPF=∠NPS，例3得證。

二、結語

從立體幾何的角度去分析解決平面幾何的問題，是一種比較新穎的方法，此外相對于平面幾何、解析幾何的證明方法，這種方法思路清晰、證明過程簡潔明了。同時，這也就提供了一個解決平面幾何問題的方法，在解決平面幾何問題時，如果從平面幾何的角度出發難以入手時，不妨試試構造空間幾何體來解決。

參考文獻：

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[2]楊蒼洲.利用圓錐曲線的光學性質求一類最值[J].中學生數學，2011（19）：40-41.

[3]張洪杰.圓錐曲線光學性質的證明與應用[J].河北理科教學研究，2001（4）：9-10.

作者簡介：

齊靜（1990-），女，碩士研究生，河南南陽人，助教，高校專職教師。