關于《數學分析》課程教學的幾點思考

安玉蓮

【摘 要】本文圍繞數學分析教學的難點分析，總結了數學分析教學中的一些思考和做法，探討數學分析課程的教學改革。

【關鍵詞】數學分析；教學方法；教學效果

【中圖分類號】G642 【文獻標識碼】A

【文章編號】2095-3089（2018）22-0022-01

數學分析是大學數學專業的一門重要基礎課，是進一步學習各類后續課程的關鍵。相對大學數學分析課程而言，中學的數學知識更多的具有直觀性，可操作性。但是數學分析課程，經過近三百多年的發展和完善，形成了一套嚴密、抽象、形式化，以及邏輯性很強的理論體系。因此，對大學一年級新生來說，學習數學分析課程通常會遇到很大的困難。不僅要由常量數學轉變為變量數學，后更重要的是靜態思維要轉變為動態思維。因此，教師應該如何教，才能使學生較好地掌握這門課程的知識、技巧、思想和方法，是大多數擔任數學分析課程教學的教師經常思考和關注的問題。本文總結近幾年的教學實踐經驗，給出了數學分析教學中需要注意的幾個問題。

一、深刻理解基本概念，熟練掌握數學語言

在數學分析教學中，概念多且較集中，深刻理解基本概念是學好這門課程的關鍵。數學分析中最重要的概念，莫過于極限。而連續、導數、定積分、級數等微積分學中關鍵的概念都是通過極限來定義的。可以說，數學分析的大廈建立在極限概念之上。因此，充分理解極限的本質是學好微積分的必要條件。概念教學過程中，應該遵循兩大原則，一是循序漸進的原則，通過各類實例引入，逐步由形象思維到抽象邏輯思維。例如極限的“ε一N”定義的學習，就是循序漸進最經典的體現。二是數形結合的原則，結合幾何以及物理學意義，揭示概念的本質屬性。比如導數的概念，結合切線斜率、瞬時速度等不同背景，理解其本質是函數的變化率。

其次，符號語言是數學語言的重要特征，它使數學思維過程更加簡明、準確。“ε一N”語言定義極限更是“人類思想的偉大勝利”。數學分析語言包括文字、符號和圖形。在數學分析教學中，要注意引導學生把文字語言轉化成數學符號和數學圖形，用數學符號、圖形來表達和思考問題。當學生能夠順利地使用數學符號語言描述一個新知識，就接近于掌握了。

二、重視計算能力和軟件運用能力的培養。

在注重推理的過程中，重視計算能力和軟件應用能力的培養。為了適應新形勢下教學的需要，與過去非常強調邏輯、證明相比，現在的數學分析教學過程中應強調軟件使用能力和計算能力。利用軟件進行教學，可是教學過程體現出解決問題的過程。比如，定積分概念中“分割、近似、求和、取極限”的過程，如果應用Matlab軟件進行教學，就顯得生動、明了。計算能力和數據處理能力的提高，更是目前數學專業學生需解決的短板問題。我們在教學過程中，采取了逐步課堂滲透和專題講座的辦法，使學生掌握軟件的用法。一方面，在課堂知識點學習過程中，演示軟件的用法，同時在練習冊中設計相關習題讓學生練習。另一方面，每學期舉辦2-3次專題講座，集中介紹Matlab軟件在數學分析各個知識模塊中的應用。進一步，為了促進學生主動學習軟件知識，我們修改了數學分析的過程化考核大綱，其中軟件學習占了成績的5%，通過設計機考試題，組織學生上機考試獲得成績。通過這幾方面的努力，學生的計算和軟件應用能力得到了有效的提高。

三、突出知識應用性

在學習過程中，重視應用性的體現，回歸數學為解決問題的本源。為此，除了知識引用盡量使用實力引入外，教學過程中，我們加入了大量的實際應用的教學舉例。如：講解級數得的概念，我們討論了藥物在身體內的濃度變化和殘留量；海岸線的測量等實際問題的模型；在講解導數定義、中值定理的時候，我們加入了平均速度、瞬時速度的測量、測不準原理的討論、邊際函數（成本、收入）的應用等。為了提高教學質量，突出應用案例的教學，一方面，我們正在將實例編纂整理，形成講義和書稿。另一方便，為了使師生重視應用，我們規定，每一次考試必須設計相應的應用題，且占比逐漸提高。通過幾個學期的實施，同學老師對這個形式都逐步理解和認同，由一開始的應用題得分很低，到現在大部分學生不再害怕應用題，得分比逐步提高。同時，越來越多的同學開始饒有興致的討論應用問題。后續考慮，在條件允許的情況下，組織學生研究應用案例，并將其作為教學需完成的項目納入數學分析這門課程的考核體系。

四、領會數學思想與方法

數學分析的內容蘊涵豐富的數學思想方法。目前，應用型潮流之下，似乎數學思想與方法的地位下降了。“夠用、會用”成為標準，似乎數學的思想方法可以不去追求了。然而，“沒有思想的數學等于廢了武功”，張莫宙老師指出：“微積分教學應該怎樣做呢？揭示數學的思想當然是第一位。”數學分析的內容蘊涵豐富的數學思想方法。這些思想方法，既是人類認識世界的結果，也是人類認識世界的工具。同時，微積分就是在應用過程中誕生與發展起來的，正是由于微積分的誕生，世界才進入了工業革命時代。脫離了思想方法而只談應用，就脫離了根本，就不可能真正用的對，用得好。不知根源的應用是走不遠，挖不深的。因此，我們在教學中，仍然強調基本思想方法的重要意義，盡可能揭示各種現象背后的數學本質。比如，級數的本質是無窮和。無窮和是否存在？存在的條件是什么？追根溯源，它是有限和的發展，根本上都要依賴于極限的定義。有了這個思想，級數的概念、收斂發散的依據都比較容易理解了。學習基本的數學分析思想方法是形成和發展數學分析能力的基礎。我們在教學中，緊緊抓住極限一基本定義，基本思想，就可以達到事半功倍的教學效果。

五、感受數學之美

在數學分析的教學過程中，經常和學生一起感受數學知識的博大精深和優美無暇。極限所反映的辯證思想，體現出數學的哲學之美。各種積分之間的轉換體現了世界的和諧之美。級數基礎上的分形圖形讓學生的心靈感受到前所未有的慨嘆，自然之鬼斧神工，高深莫測。復數的出現，看似奇異，但確實給數學分析帶來了另一重天地，復分析。使得人類對世界的認識，進一步加強。讓人不由地相信，數學就是宇宙的語言。在教學過程中，我們始終注意挖掘這些體現數學之美的素材，經常和學生一起分享和感受，久而久之，學生的心理也發生潛移默化的改變。 綜上所述，數學分析的教與學，都應該從上述幾個方面不斷地探索和改進。我們經過幾年的實踐，注意培養學生學習的興趣和能力，取得了明顯的進步。希望能夠借助教育改革的東風，讓數學分析這門基礎課程在培養學生方面提供更加有力的保障。

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資助項目：上海應用技術大學教學改革項目， 10110T171014.