論流體壓力形式的統一性和內涵多樣化

聶千越 聶千翔

(⒈ 青島西海岸新區第一高級中學 266555；⒉ 山東省日照第一中學(東校) 276826)

物理學習中要面對許多復雜的公式推導與數值計算，難免讓人產生難懂之感.實際上，物理學是充滿美感的，統一美便是其美感的一個典型特征.“窺一斑而知全豹”，本文以重力場靜止流體和直線勻加速運動相對靜止流體為研究對象，研究流體壓力的分布的一般規律，探討流體壓力形式的統一性和物理參數內涵的多樣化.

一、重力場靜止流體的壓力

重力場是典型的質量力場，地球上的一切物質都處于重力場中.工程中的許多問題，諸如液體容器的受力、船舶浮力和浮力矩設計、液壓機械的受力等，都與重力場中靜止液體的力學行為有關.

圖1 重力場的靜止液體

重力場靜止流體單位質量力f=g.對于圖1所示的坐標系統，單位質量力的分量表達形式為

靜力學全微分方程為

dp=ρ(fxdx+fydy+fzdz)

(2)

將式(1)代入式(2)中，得到重力場靜止流體的壓力微分方程，即

dp=-ρgdz

(3)

對于不可壓縮流體，ρ為常數，自由液面承受外界大氣壓p0，所以邊界條件為p|>z=0=p0，對式(3)進行積分，可得

p=p0-ρgz

(4)

若用距離自由液面的深度h替代-z，壓力則有更一般的表達形式

p=p0+ρgh

(5)

二、直線勻加速運動相對靜止流體的壓力

根據達朗貝爾原理，質量為m的物體以加速度a運動時要受到與加速度反方向的慣性力作用，慣性力為-ma，并且慣性力與物體所受其他外力構成平衡力系.因此，對于重力場中以加速度a運動的流體，其單位質量力為

圖2 直線勻加速運動容器

f=-a+g

(6)

圖2所示容器以等加速度a沿升角β的斜面做直線運動.設液體密度為ρ，自由液面的壓力為p0，液體所受的

單位質量力為

fx=-ax+gx=-(gsinβ+a)

fy=-ay+gy=-gcosβ

fz=-az+gz=0

(7)

將式(7)代入式(2)中，可得容器中相對靜止流體的壓力全微分方程為

dp=-ρ(gsinβ+a)dx-ρgcosβdy

(8)

考慮邊界條件p|>x=0,y=0=p0，對式(8)積分，可得

p=p0-ρ(gsinβ+a)x-ρgcosβy

對于式(8)，若令dp=0，積分可得自由液面方程，即

將式(10)代入式(9)中，可得

p=p0+ρg(y0-y)cosβ

(11)

由圖2可知(y0-y)cosβ為研究點距離自由液面的豎直深度h，若令(y0-y)cosβ=h，則式(11)亦可寫成

p=p0+ρgh

(12)

通過計算和適當的變換，重力場靜止流體和直線勻加速運動相對靜止流體的壓力均可表達為p=p0+ρgh，但p0和h在不同場合其物理含義也有所不同.p0是自由液面的壓力，也就是外界的大氣壓力.深度h均指研究點到自由液面的豎直距離，但表達形式不同，具體公式文中已列出.