高中數學解題中的反證法應用初探

宋 澤

(遼寧省莊河市高級中學高二(11)班 116400)

一、高中數學解題中的反證法在數列問題中的應用

高中數學涉及到的知識繁多而且復雜，我們在解題的過程中經常會遇到一些直接解答時困難或無法得到結果的情況.此時，反證法能快速的解除我們的困擾.在解決與數列有關的問題時，我們就經常應用到反證法.

例如下面題目：已知有一等比數列{an}，其公比是q，前n項和表示為Sn.求證數列{Sn}不是等比數列.題目中給出的問題是否定性命題，正面解答或證明不易實現.我們可以采用反證法的途徑：假設數列{Sn}是等比數列，即：若數列{Sn}是等比數列，則有S22=S1S3,由題意得a12(1+q)2=a1·a1(1+q+q2).{an}是等比數列，故a1≠0，上式可以簡化為(1+q)2=1+q+q2，整理得q=0.這與原題中q≠0相矛盾，故而原假設不成立，即數列{Sn}不是等比數列.反證法的應用大大節省了我們解題的時間，而且也提高了答案的準確率，使得我們學習數學的效率大大提高.因此，在日常解題的過程中，我們萬萬不可被傳統的解題思路束縛住頭腦，要充分地發散思路，綜合運用已學的知識，從反面更加全面地了解問題，爭取用最短的時間得到最完美、最正確的答案.同時我們也要善于總結，類似于上題題干中存在：“不”、“不是”、“不存在”等字眼時，可以考慮從反證法的角度入手，即假設有、存在，從而推導出矛盾.

二、高中數學解題中的反證法在命題證明題中的應用

1.反證法在證明“唯一性”命題時的應用

數學是一門涉及多種概念、性質、公式、定義的學科，在學習的過程中，我們會面臨著命題的證明問題.很多命題是無法進行正面直接地證明的，因此，需要運用反證法從反面進行證明.比如：證明一個圓只有一個圓心.如果從正面直接對這個問題進行論證，我們會無從下手，因此，我們采用反證法來證明這個命題，可以先假設一個圓有兩個圓心，然后得出與已知結論矛盾的結論，最后得到原命題正確這一結論.具體解題過程：假定一個圓有兩個圓心A和O，在圓內作弦CD，取中點E，連接OE，AE，這樣過直線CD上一點E同時有兩條直線OE、AE⊥CD，與經過一點有且只有一條直線垂直于已知直線的基本性質矛盾，所以，“一個圓只有一個圓心”這一結論成立.

2.反證法在證明必然性命題時的應用

在證明必然性命題時，可以將題中給出的結論轉變為命題，再將原來的肯定命題化為否定命題，通過嚴謹的論證推出該否定命題是錯誤的，由此得到原命題正確的結論，進而證明了原題的結論.例如：已知a，b，c均為正整數，且滿足a2+b2=c2，又知a為質數，求證：b與c兩數必為一奇一偶.證明：假設b和c同為奇數或同為偶數，由a2+b2=c2得(c+b)(c-b)=a2,根據奇偶數性質可以得知c-b和c+b同為偶數，那么a2必為偶數，所以a也為偶數，而且原題中給出了“a是質數”，所以a=2,則有(c+b)(c-b)=4，所以

3.反證法在證明無限性命題時的應用

三、高中數學解題中的反證法在不等式中的應用

在不等式的學習過程中，我們會面臨著不等式的證明問題，當遇到普通的不等式問題時，我們可以用“分析法”、“綜合法”、“比較法”這三種通法解決問題，但是有一些比較極端的問題，用這三種方法無法得解，這就需要我們用反證法從反面進行問題的解決.

例如：已知a+b+c>0，ab+bc+ac>0，abc>0，求證：a>0，b>0，c>0.面對這樣的問題，我們就需要用反證法解決.證明：假設原題中的結論不成立，即假設a，b，c不都是正數，由abc>0可知，這三個數中必有兩個為負數，一個為正數，不妨設a<0，b<0，c>0，由a+b+c>0，可得c>-(a+b)，又∵a+b<0，∴c(a+b)<-(a+b)(a+b).兩邊同時加上ab，則c(a+b)+ab<-(a+b)(a+b)+ab，即ab+bc+ca<-a2-ab-b2.∵a2>0，ab>0，b2>0，∴-a2-ab-b2<0，∴ab+bc+ca<0.這與已知ab+bc+ac>0相矛盾，故假設不成立.所以a>0，b>0，c>0成立.運用反證法，一個原本復雜難解的問題就迎刃而解了.由此可見，將反證法巧妙地應用到解題過程中去，能夠大大縮短解題時間，提高解題的效率.

數學知識的覆蓋面非常廣泛，許多問題也復雜繁瑣，需要我們發散思維，充分運用以前所學的知識，采用多種方法進行解決.在長期的學習過程中，我們不難發現，在進行不同類型問題的解決時，反證法簡單、易懂，尤其在進行不同類型證明題的證明時，反證法能夠增強我們的邏輯思維、提升我們的創造思維，因此，我們要不斷地總結規律，爭取在解決問題時，將反證法更好地運用到解題過程中去.