抓住精彩“意外” 開展探究創新
——關于拋物線的焦點弦性質案例

范雪飛

(浙江省永嘉第二高級中學 325100)

新課程強調培養學生的探究創新精神，我們老師覺得手上沒有什么素材，再說這種精神的東西往往很空泛，不知從哪里入手.其實我們的學生在這方面給了我們很多素材，上課的時候很多學生有很好的想法，關鍵是我們教師該如何抓住這一瞬間的精彩，能夠讓學生的探究創新進行下去.看老師“給力不給力”.通過指導學生積極探究的方式，引導他們親歷知識的產生和發展過程，形成自身的認知結構，體驗發現和創造的歷程.

本案例以拋物線焦點弦性質為題材，說一說自己的看法.

案例描述如圖1，AB是拋物線y2=2px(p>0)的一條經過焦點F的弦，AB與兩坐標軸不垂直，已知M(-1,0),∠AMF=∠BMF，則p的值為( ).

圖1

問題背景分析作為授課的切入點，考慮本題的難度，若以解答題的形式要求從正面解決，是操之過急的，而且會給學生帶來一定的心理受挫感，削弱學習的積極性.而對于選擇題，除了從正面解決之外，還有猜想、代入檢驗等方法，易于得到答案.

果然，出示題目幾分中后，有兩位同桌就開始相互討論起來，還用稿紙相互交流，看起來是有想法了.我走到邊上，未等我開口，生①就主動和我交流起來.

生①：老師，是選C吧？

師：你是選哪個呢(問生②)？

生②：我也覺得是C.

同時查閱生②正在寫的稿紙，是未完成的檢驗過程，基本思路整理如下：

師：看來你倆是猜想的，答案是選C.

給了一個贊許的答復后，回身一邊察看其余學生的情況，一邊想著開題講解可以由生②分析引入了，“算計”著他應該差不多檢驗完畢，便竊喜著跺回講臺.

師：看來，大家都有了心儀的選項.生②同學，請你來談談，你選哪個？

生②：C.

師：那你是怎么選出來的？

生②：猜的.

師：答案是C.不過猜想也得有一定道理，不能隨意的.你是怎么猜出來的？

生②：因為從這個圖形看，點M和F是對稱的.

師：哦，所以你就認為焦點F坐標為(1，0)，從而p=2了.那有檢驗過嗎？

生②：差不多，還沒做完.

在這樣的對話中，組內其他同學已經知道生②是怎樣得到答案，有些也笑了，估計是覺得生②同學的解題方法太草率.因此，我將他的稿紙內容投影到屏幕上，師生一起來研究他的檢驗：

(續上面的檢驗步驟)

肯定生②的猜想后，再回過頭來分析整個過程，在引導下共同總結得到以下兩個要點：

(1)∵∠AMF=∠BMF，∴kMA+kMB=0.

(2)鑒于在拋物線上取點A的任意性，結論與直線AB的斜率無關.

師：但在檢驗的基礎上，以上兩點只是猜想，對本題來講我們仍未給予正確的解答過程.從大體上看來，既然題目與直線AB的斜率沒有關聯，就可以大膽地設斜率為k.而由∠AMF=∠BMF得到的等式kMA+kMB=0也可以僅被p表示，從而得到關于p的方程，最終解出p的值是多少.

師生共同分析，教師主導，給出解答過程.

意外通過上面的計算，我們已經確認此結論是與直線的斜率無關的.這時有同學就說了：“這是一個與直線斜率沒有關系，只有和所選取的點有關系，那么對于一個拋物線來講，特殊點M與任意焦點弦的端點形成的角度是否就一定相等呢？”

我一下子就愣住了，這個問題是我沒有思考的，但是我感覺這應該是一個定值于是我就引導他們探索：請同學們就以y2=4x為例再做一次大膽的檢驗證明.已知：拋物線y2=4x，F是拋物線的焦點，AB是拋物線的焦點弦，M是拋物線準線與x軸的交點，則∠AMF=∠BMF.

給予學生思考時間，生③的證明過程：

生④：AB沒有斜率的情況漏了.

師：對，那你認為斜率不存在的時候結論還成立嗎？

生④：成立的.這時圖象是對稱的.

師：非常好！這里并沒有講直線AB不垂直于x軸，所以同學們要注意，平時解題要謹慎，要做到不重不漏.因此，我們可以發現∠AMF=∠BMF這個結論成立確實和直線AB的斜率是沒有關系的，只要AB是拋物線的焦點弦，M是拋物線準線與x軸的交點，則一定有∠AMF=∠BMF.

猜想1 已知拋物線y2=2px(p>0)，F是拋物線的焦點，AB是拋物線的焦點弦，M是拋物線準線與x軸的交點，則∠AMF=∠BMF.

教師歸納師生共同回顧上述猜想探究的過程，變換條件到結論成立的成功過渡，有一個不小的收獲.讓學生經歷了從變換條件到結論成立的探究過程，從直線是拋物線焦點弦這一特殊性質出發，“再創造”出關于此類拋物線焦點弦性質的全過程.這一過程讓學生真實地體驗到了“探究——創新”學習的快樂，值得認真總結，值得高興一番.

猜想2 已知拋物線y2=2px(p>0)，F是拋物線的焦點，M是拋物線準線與x軸的交點，AB是一條與拋物線上下半支都有交點的直線，交點是A，B，若∠AMF=∠BMF，則AB過拋物線的焦點.

已知拋物線y2=4x，F是拋物線的焦點，M是拋物線準線與x軸的交點，AB是一條與x軸不垂直的直線，且與拋物線上下半支都有交點，交點是A，B.若∠AMF=∠BMF，求證AB過拋物線的焦點.

同學們很快仿照上面的過程給出了結論：

證明：設直線AB方程為y=k(x-a)，拋物線y2=4x，點A(x1,y1),B(x2，y2) .

兩式聯立，化得k2x2-(2ak2+4)x+a2k2=0,

由∠AMF=∠BMF,知kMA+kMB=0,

代入2x1x2+(1-a)(x1+x2)-2a=0.

去分母，化簡后可得a=1.

所以直線AB過拋物線的焦點F(1，0).

教師歸納由前面的猜想得到結論我們發現它和三個條件有關，即AB是過拋物線焦點的直線；點M是拋物線準線與x軸的交點；∠AMF=∠BMF.是不是只要這三個條件里滿足其中兩個，另一個就成立呢？于是有了下面的猜想：

猜想3 已知拋物線y2=2px(p≥0)，F是拋物線的焦點，AB是拋物線的焦點弦，點M是x軸負半軸上的點，若∠AMF=∠BMF，則點M是拋物線準線與x軸的交點.

已知：拋物線y2=4x，F是拋物線的焦點，AB是拋物線的焦點弦，點M是x軸負方向上的點，若∠AMF=∠BMF，求證：M是拋物線準線與x軸的交點.

證明：設直線AB方程為y=k(x-1)，點A(x1,y1),B(x2,y2)，點M的坐標為(a,0).

得：k2x2-(2k2+4)x+k2=0,

∵∠AMF=∠BMF，所以kAM=-kBM,

又∵x1>a,x2>a?y1(x2-a)+y2(x1-a)=0,

即2kx1x2-k(x1+x2)-ak(x1+x2)+2ak=0.

當k=0時，結論顯然成立.

當k≠0時，上式可化為

k[2x1x2-(1+a)(x1+x2)+2a]=0,

即2k2-(1+a)(2k2+4)+2ak2=0,

得4a+4=0，a=-1.

即M點是拋物線準線與x軸的交點.

案例分析在研究過程中發現直線AB的斜率k與運算無關，與三個條件有關，即AB是過拋物線焦點的直線；點M是拋物線準線與x軸的交點；∠AMF=∠BMF.只要滿足了其中兩個另外一個可以推導出來.通過這三個條件的互相轉化形成條件和結論.在“探究——創新”過程中培養學生的數學思維和創新意識.在圓錐曲線教學中，尤其是鼓勵學生由特殊到一般的直覺猜想.對圓錐曲線的相關問題，應鼓勵學生根據方程形式、圖形特征進行直覺猜想；通過對特殊情景的研究引發從特殊到一般的歸納思想.并在此基礎上，從不同的角度進行邏輯探索，以此達到從各個側面、不同層次上提高學生數學素養的目的.

如何能做到“給力”探索創新，這就對我們教師提出了新的要求需要教師在更高的理論水平下抓住學生的“意外”能及時的加以拓展延伸.真正做到“給力”的教師關鍵的是課后的工作，通過本案例筆者談談自己的幾點看法：

案例反思1真正的數學課堂應該是師生之間的一種對話交流

巴西教育家保羅.弗萊雷說：沒有對話，就沒有交流，也就沒有真正的教育.新課程要求教學是平等的、民主的，要構建起共同探討的學習環境；新課程還指出教師應是學生親密的伙伴，對學生在學習過程中的表現應該給予充分的理解與尊重.因此在課堂上，教師要注意傾聽，理順學生的思維過程，解決學生學習中的的疑難問題，注意引導發現問題，引導學生合作探究.

案例反思2不要快節奏的上課，慢慢又何妨

而新課程背景下要求教師要培養學生自己找“路”的能力，讓學生做“司機”，而不是“乘客”.教師做一個“指路人”，在學生迷路時，給予指點、點撥.學和行走的過程中，路邊的風景，正是學生找到回路的標志.讓我們記住關于教育的一句世界名言——告訴我，我會忘記；分析給我聽，我可能會記住；如果讓我參與，我會真正的理解.

案例反思3積極鼓勵學生自主探究發現，給學生的“意外”以肯定

在探究解題方案和解法時，每一位學生都在積極思考、參與探究，課堂的學習氛圍是民主的、開放的、和諧的，對問題的分析大家都是爭先恐后的.教師要用自己情感激發學生的情感，用自己的智慧啟迪學生的智慧，用自己的思維引導學生的思維.課堂教學是動態的雙向交流，其中成功的愉悅、艱辛的探索給每位學生帶來一種激情，鼓勵著學生去探究知識的發生、發展過程，體驗解題過程中的各種感悟.

案例反思4教師要提高研究題目的意識、增強研究題目的能力，對“意外”有較強的控制和突破能力.

課堂中要有高效的抓“意外”的能力，做“給力”的教師就要在平時要培養自己研究試題的能力.教師在長期的教學時間中，形成了自己獨特的經驗性思維.教師不要忘記時刻努力提高自己的專業能力，不要讓經驗淹沒了自己研究試題的熱情，不要讓資料淡化了自己研究試題的意識.

培養學生的創新意識不是一朝一夕就可以培養出來的，這是一個長期而復雜的系統工程.教師應當在平時的教學中，把習題的開發作為“探究——創新” 教學的切入點，為學生學會創新提供適宜的平臺，在“探究——創新”做“給力”的教師教學過程中，深入探究，體驗再創，力求出新，創新意識才可能在學生的頭腦中扎根，才有可能培養出具有創新精神和創新能力的一代新人.