學科素養背景下抽象思維創新的認識與培養

鄧勝興, 霍燕坤

(1.廣東省湛江市第十中學 524001；2.廣東省湛江市嶺南師范學院基礎教育研究所 524048 )

一、數學抽象思維的內涵

高中三年是數學思維發展的重要時期，沒有思維參與學習活動的教學是無效或低效的.長期由應試教育影響，部分教師采取短、平，快的教學方式，教學過程采取告知和灌輸式，學生被動接授，忽視數學知識的形成過程，學生只能記題型，找套路，在繁瑣的解題訓練之中，苦不堪言，對數學產生了厭煩，阻礙了數學思維的發展，弱化了數學教育應有的價值，加重了學生的負擔.

數學抽象思維是以空間圖形和數量關系的具體背景為基礎，舍去事物的一切物理屬性，抽象出內在本質的屬性和特征的思維活動過程.核心素養的培養就是著眼學生的未來發展和推動社會發展的能力培養，在數學教學過程中，根據學生的認知結構和抽象概括能力等情況，有意識地進行抽象思維培養的滲透，尋求抽象思維創新培養的有效策略與方法是每個數學工作者義不容辭的責任.

二、學科背景下抽象思維創新培養的認識

數學抽象創新能力為思維的發展不斷注入新的活力，加深對數學本質的理解和個體數學知識信息的生成，在培養現代公民素養方面是不可或缺的.數學抽象思維的創新培養就是通過數學分析、抽象和概括思維活動，獨立思考，嚴謹細致求證，理解數學知識的內涵和本質，構建知識體系，并能巧用知識處理數學問題，具備創新發展的能力和終生發展的思維品格，成為創新學習的主人.

1.抽象思維創新培養應關注層次性

抽象思維創新培養遵循由易到難、層次遞進，不斷完善的發展順序.因此，在教學過程中，根據學生的認知情況，精心設計適合學生思維發展的教學內容，為學生抽象思維發展搭建腳手架，一步一個臺階，適時點撥和指引，引導學生主動參與討論和進行思維碰撞，才能保證思維不斷向縱深處發展.

2.抽象思維創新培養應關注生成性

波利亞說：“學習任何知識的最佳途徑都是由自己去發現，因為這種發現理解是最深刻，也最容易掌握其內在規律、性質和聯系.”遺憾的是，為了騰出時間進行高考復習，兩年授完所有課程，剩下一年進行總復習，教師為了趕進度，講授得多，學生被動接授，參與得少，對知識點理解不深、不透，一到考試則無從下手，畏懼數學.數學知識是數學核心素養成長的沃土，知識的生成需要時間思考和體會，因此，在抽象思維的培養過程中，教師要放慢腳步，讓學生有充足的時間對知識的理解和運用，通過自主學習和豐富數學抽象活動，積累相關抽象思維能力有關知識，提高學生數學抽象概括能力，使教與學能夠相互貫通.

3.抽象思維創新培養應關注系統性

數學抽象教學關注的是思維和知識的體系完整.學生的認知發展是逐步有層次上升的，但在這個期間是反復的、變化的.進行抽象思維創新培養，講究的是動靜結合，學生個體與班級交流互動有機聯系.由于每個學生的知識儲備和思維方式的差異，看待問題也有不同的看法，甚至表現為思路紊亂，陳述前后矛盾，知識相互割裂、相互孤立，缺乏條理性和整體性等.教師若能從學科的整體性，系統性考慮，穿針引線，將零散、雜亂的知識形成一個有機整體，實現點、線、面的結合，就會提高學生的概括能力和駕馭知識的能力.

三、學科素養背景下抽象思維創新培養的策略

數學是科學的皇冠，現代科技創新離不開數學.抽象思維在中學生的發展階段起主導地位，數學抽象思維的創新培養需要以生為本，循序漸進，通過問題的情境化，洞察錯因，有的放矢，構造模型，整體考慮，深化理解，提升素養.

1.在函數的單調性概念中進行抽象教學，層層深入，注重生成

數學概念反映的是數學本質和特征.理解數學，就必須掌握數學概念.

在概念教學中，教師應緊緊圍繞核心知識，借助舊知，創設問題情境，引導學生對已知的信息和研究對象進行多方位、多維度的考慮，循序漸進，層層深入地進行探索和總結，歸納，得出正確的結論，形成概念.

例1 下圖是某城市2016年某天24小時內的氣溫變化情況，從這張氣溫變化圖獲取相關數學信息.

師：請描述這一天氣溫隨時間增大的變化情況？

生：零時至4時，氣溫逐漸下降，4時至14時氣溫逐漸升高，18時后開始逐漸下降.

師：畫出y=x2的圖象，結合圖象說出函數y=x2在區間(0,+∞)上函數值y隨自變量x的逐漸增大怎樣變化？在區間(-∞,0)上，函數值y隨自變量x的逐漸增大又怎樣變化？

生：y=x2在(0,+∞)上隨自變量x的逐漸增大，函數值y也增大；在(-∞,0)上隨自變量x的逐漸增大，函數值y反而減小.

師：請結合y=x2的圖象給函數的增減性下定義.

生：由y=x2圖象可以得出：y=x2在(-∞,0)上函數值y隨自變量x的增大而減小，故稱y=x2在(-∞,0)為減函數；類似地，y=x2在(0，+∞)上y隨x的增大而增大，故稱y=x2在(0,+∞)為增函數.

師：請同學們完成下表并比較f(-1),f(2),f(3),f(4)的大小.

x-1234…f(x)=x2

生：f(-1)

師：由f(-1)

生：不能.

師：為什么？

生：由y=x2圖象可知，y=x2在(-∞,0)遞減，y=x2在遞(0,+∞)增，因此在(-1，4)不是遞增函數.

師：如果函數y=f(x)在(a,b)是減函數，在(b,c)是減函數，則在(a,c)上是減函數嗎？

生：是減函數.

(有許多學生表情表現出困惑)

師：從上面的回答得到，說明函數的增減性，可以由圖象直觀得到，數學講求的是嚴謹性，判斷函數的單調性需要從函數的單調性定義加以論證，下面我們如何證明y=x2在(0,+∞)是遞增.

生：從上面可知，只要在區間(0,+∞)上，任取兩個自變量x1、x2，當x1

師：如何證明f(x1)

因為0

掌握數學，從理解數學概念開始.本節教學圍繞函數單調性定義這個中心目標，設計步步深入，引導學生自主探究，逐步學會運用邏輯思維解決數學實際問題，用數學的語言來描述社會生活，發展他們的創新意識.

2.在基本不等式中進行抽象教學，創設問題情境，強化應用意識

數學與生活相互交融、相互影響.為了培養學生的抽象性思維，教師應結合學生的認知結構和教學內容為他們創造不同的問題情境，讓他們積極融入有趣的數學課堂中.

例2 結合學生的生活實際，創設問題情境，抽象出基本不等式的定理和推論.

問題(2)某藥店有一個兩臂長度各不相等的天平，藥店老板稱量物體時，將物品放在左、右兩個托盤中各稱一遍，隨后再把稱量結果相加后除以2就是物體的實際重量.同學們，你們認為這種方法正確嗎？

師：問題(1)中兩種促銷活動哪些會更實惠些？

師：若a=b，兩種關系如何？

生3 ∵(a-b)2≥2,∴a2+b2≥2ab,

∴a2+b2+2ab≥4ab,

數學本質就是以簡馭繁，用基本不等式的性質和推理解釋打折問題和物理中的力矩平衡問題情境，培養應用意識，讓學生思維的火花燃燒于課堂，愉悅的精神與融洽的學習氛圍有利于學生啟動思維積極探索，學會學習，提高解決實際問題的能力，增長智慧.

3.在三視圖教學中進行抽象教學，建構圖形，整體把握

心理學認為人類觀察事物的意識印象就是顯示出事物的整體性，整體把握就是在認知的過程中把客觀對象當成一個整體看待.在空間立體幾何中，三視圖是培養學生空間想象能力的重要組成部分.高考對三視圖知識的考查很重視，而考查的幾何圖形位置比較復雜，不容易把握，得分率特低，學生有畏懼心理.我們知道，復雜的圖形來源于簡單圖形的演變，在空間幾何中，長方體(或圓柱)是我們最熟悉的圖形，三棱錐(或圓錐)、四棱錐、六棱錐等都可以由它切割生成.因此在高三數學教學中可以多方聯系和想象，拓展思維，構建立體交叉圖形的知識體系.

例3 已知空間圖形的三視圖如圖2所示，求這個幾何體的全面積.

師：從圖形分析，可以判斷所求幾何體是什么圖形？

生：正視、側視和俯視圖都是三角形，可以判斷所求的幾何體是四面體.

師：四面體一般放在什么圖形中思考？

從圖形的特征出發，將復雜的圖形鑲嵌在長方體或圓柱中考慮，通過觀察、實驗并運用計算機等媒體手段，尋找問題的關聯點，掌握圖形變化的規律，化難為易 ，化繁為簡，以不變應萬變，馳騁想象，發展智力.

4.在直線與圓的位置關系中進行抽象教學，一題多變，觸類旁通

人的思維是依次發展，不斷完善的.善于學習的人，往往都是善于歸納的，思維也是很活躍的，善于從復雜的事物中找出具有規律性的東西.因此，教師要把主動權還給學生，引導學生從問題的多個方面進行探究，在數學探究的同時學會知識，理解知識，發現規律，總結規律，并善于利用規律解決問題，從而促進抽象思維可持續性發展.

變式3：已知點P(x0,y0)是圓x2+y2=R2上一點，求經過點P的切線方程.

變式4：已知點P(x0,y0)是圓(x-a)2+(y-b)2=R2上一點，求經過點P的切線方程.

從一題出發，實施變式訓練，引導學生多角度思考或對同一個問題的不同層面進行探究，就能抓住問題的本質，提煉方法，觸類旁通，形成能力.

5.在數列教學中進行抽象教學，釋疑糾錯，內化提升

“試錯”是通往成功的墊腳石，錯誤的本身更可以讓我們了解到自己存在的不足.每一個知識點的學習總是伴隨著從錯誤中走來，在錯誤中不斷完善和建構.在學生出現錯誤時，教師應耐心點撥學生自己尋找錯誤的源頭，究竟問題錯在哪里？通過剖析和反思，發現自己對知識內容理解不夠全面和透徹，找到自己薄弱環節，進行加強鞏固，主動建構和完善知識網絡.

師：這兩種求解方法具有代表性，請同學們說一說，議一議，分析錯誤的原因.

師：如何改正？

師：生3從等差數列前n和公式的本質特征出發，找到問題的所在，還有其他方法嗎？

生4：利用性質：若m+n=p+q，則am+an=ap+aq來解決.

師：生4從等差數列的性質出發，非常高效，還有其它種方法嗎？

師：生5的解法回到求和公式，思路自然，但需要很強的解題運算能力和堅韌的精神.

思維開始于疑惑和矛盾.當學生出現知識性錯誤時，教師要指出存在問題的地方，引導、啟發學生進行思考，積極討論和闡述自己做題的思路與想法，弄清知識背后隱藏的內涵，尋求解決的方案.在教學中盡可能啟發學生尋找錯誤的原因，幫助學生糾正錯誤，并在糾錯中得到體悟，在體悟中獲得生成，在生成中求得真知.

抽象思維的培養重要陣地就在課堂，學生在數學學習過程中對數學知識不斷概括、重組，再造，促進了抽象思維的深度發展.因此，數學抽象思維的創新培養應從學科系統上整體設計，著眼于學生未來發展需要，從細節抓起，關注思維個體差異，一步一個腳印地進行培育，為學生將來的全面發展打下堅實的根基.