以“核心問題”為導(dǎo)向，積累“數(shù)學(xué)思維經(jīng)驗(yàn)

孫林江

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：“模型思想的建立是學(xué)生體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑”。它明確了建立模型是數(shù)學(xué)應(yīng)用和解決問題的核心。

下面就以如何讓“核心問題”替代“細(xì)碎小問題”，發(fā)展學(xué)生思維，培養(yǎng)學(xué)生“模型思想”的教學(xué)策略來談一談我的思考。

一、理解意義，感悟模型思想

“模型思想”是《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》新增的核心概念之一。我們一線教師首先要深挖教材，關(guān)注每一具體的教學(xué)內(nèi)容中所蘊(yùn)涵著的“模型思想”；思考應(yīng)該建立怎樣的“模型”？如何建立“模型”？所建的“模型”和建模的過程對(duì)于學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)具有怎樣的影響？這才真正抓準(zhǔn)了數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)。我以《解決問題練習(xí)課》（四上練習(xí)九）一課為例，以核心問題引領(lǐng)教學(xué)，力求更好地突破教學(xué)的難點(diǎn)，幫助學(xué)生在掌握知識(shí)技能的同時(shí)發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)和解決問題的能力，感悟模型思想。

老師首先出示這樣兩個(gè)問題：

列式計(jì)算：

（1）每個(gè)籃球60元，買3個(gè)籃球多少元？

（2）小敏散步，每分鐘走60米，3分鐘走了多少米？

接著，老師問了這樣3個(gè)問題：每題講了一件什么事？算式是什么？根據(jù)什么數(shù)量關(guān)系列式？學(xué)生口答后老師要求學(xué)生編題，要求能用“60×3”來解決。反饋時(shí)，老師選擇了這樣兩題：

（3）小紅每分鐘打字60個(gè)，3分鐘打字多少個(gè)？

（4）小紅每分鐘打字60個(gè)，小麗是她的3倍，小麗每分鐘打字多少個(gè)字？

然后老師組織學(xué)生討論，提出了第一個(gè)核心問題：同學(xué)們編的這兩題都能用“60×3”來計(jì)算，講的都是打字的事情，兩題的數(shù)量關(guān)系一樣嗎？學(xué)生討論回答后，王老師又提出第2個(gè)核心問題：你能用一幅圖表示出以上這4道題的關(guān)系嗎？學(xué)生經(jīng)過思考，畫出了自己的示意圖。都表示出了“3個(gè)60”的意思，然后老師出示標(biāo)準(zhǔn)的線段圖（見圖）：

再請(qǐng)學(xué)生選擇其中1題對(duì)照線段圖說一說自己的理解。在這個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)中，老師沒有就題論題，而是回到知識(shí)的原點(diǎn)：在理解乘法運(yùn)算的意義上來解決問題。在教學(xué)中，老師除了引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注教學(xué)內(nèi)容外，更關(guān)注題目的類型、結(jié)構(gòu)和類化運(yùn)用，用系統(tǒng)和發(fā)展的眼光來看待它的數(shù)學(xué)應(yīng)用價(jià)值。

二、探究本質(zhì)，積累建模經(jīng)驗(yàn)

數(shù)學(xué)建模需要一個(gè)過程，即指“從數(shù)學(xué)的角度，對(duì)所需研究的問題作一個(gè)模擬，舍去無關(guān)因素，保留其數(shù)學(xué)關(guān)系，以形成某種數(shù)學(xué)關(guān)系，以形成某種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)”。下面就以《植樹問題》為例，展示如何抓住問題的本質(zhì)，讓學(xué)生在探究過程中積累豐富的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，同時(shí)也獲得數(shù)學(xué)思想方法，建立數(shù)學(xué)模型。

出示問題情境：綠化小隊(duì)要在一段長(zhǎng)24米的公路一邊等距離綠化植樹。請(qǐng)你幫助設(shè)計(jì)一份植樹方案，要求美觀合理。在學(xué)生理解題意后解釋“等距離”的含義，即每?jī)煽脴渲g間隔的距離相等，也叫“間距”。接著讓學(xué)生猜一猜這題中的“間距”可能是幾米（取整米數(shù)）？再根據(jù)學(xué)生的回答選擇探究難度稍大的“間距6米”入手，要求學(xué)生可以畫畫線段圖，可以獨(dú)立思考，可以直接列式求出問題。反饋時(shí)，先選擇兩端都種的情況，再反饋只種一端的情況（可能有一端有建筑物），最后反饋兩端都不種的情況（兩端都有建筑物）。分別板貼線段圖，板書算式：24÷6+1=5（棵），24÷6=4（棵），24÷6-1=3（棵）。這時(shí)，老師提出第1個(gè)核心問題：總長(zhǎng)是24米的公路，都是每隔6米種1棵樹，為什么種樹的棵數(shù)會(huì)不一樣？這里要求學(xué)生認(rèn)真觀察這3個(gè)算式，求同不求異，我們算式中的相同點(diǎn)是都有“24÷6=4（棵）”，請(qǐng)學(xué)生解釋這個(gè)算式的含義，重點(diǎn)是結(jié)合線段圖，運(yùn)用“一一對(duì)應(yīng)”和“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)方法理解“4”的本質(zhì)含義是“間隔數(shù)”，即“24米里有4個(gè)6米”。探究交流“4”的意義：既可以表示“4棵樹”，也可以表示“4”個(gè)間隔。讓學(xué)生有深刻的體會(huì)后，再處理商的結(jié)果，淡化“+1”“-1”的變式。

這個(gè)探究環(huán)節(jié)的學(xué)習(xí)讓學(xué)生充分經(jīng)歷了觀察、實(shí)驗(yàn)、分析、推理，以及發(fā)現(xiàn)規(guī)律（模型）、理解本質(zhì)、解決問題的全過程。一方面經(jīng)歷感受數(shù)形結(jié)合、一一對(duì)應(yīng)探究規(guī)律的思想方法；另一方面通過操作、畫圖、反思、交流的形式讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的形成過程，從而為數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)打下扎實(shí)的基礎(chǔ)。

三、拓展模型，增強(qiáng)用模意識(shí)

成功地建構(gòu)數(shù)學(xué)模型后，還需要拓展模型來解決生活中的實(shí)際問題，以實(shí)現(xiàn)“形式的”數(shù)學(xué)知識(shí)向現(xiàn)實(shí)生活的“復(fù)歸”，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的思想方法對(duì)解決實(shí)際問題的巨大作用，從而增強(qiáng)用模意識(shí)。

還是以《植樹問題》為例。在學(xué)生初步學(xué)會(huì)用三種不同的植樹模型解決植樹問題的知識(shí)（即嘗試練習(xí)：總長(zhǎng)24米，間距8米，可以種幾棵樹？ ）后，可以提第2個(gè)核心問題：“現(xiàn)實(shí)生活中類似于植樹問題的現(xiàn)象還有很多，你能舉個(gè)例子來說一說嗎？”學(xué)生交流反饋后，教師可用課件播放一些生活中的“植樹問題”。如：安裝路燈問題，設(shè)置公交車站問題，學(xué)生排隊(duì)問題，鋸木頭問題等。在觀看圖片的同時(shí)要讓學(xué)生找找圖片里的什么相當(dāng)于“樹”？接著提出第3個(gè)核心問題：每張圖片里的“總長(zhǎng)、間距、間隔數(shù)”分別是多少，既讓學(xué)生感受到植樹問題就在我們生活中，又讓他們發(fā)現(xiàn)這些現(xiàn)象中隱藏著植樹問題的模型。然后從圖片中引出練習(xí)：

（1）5路公交路線全長(zhǎng)12千米，相鄰兩站的距離是1千米，一共要設(shè)置多少個(gè)車站？

（2）10名女生排隊(duì)，每?jī)晌煌瑢W(xué)相隔8分米 ，從第1名到最后1名全長(zhǎng)是多少米？

學(xué)生們通過比較與類比，順利地解決了問題。學(xué)生的認(rèn)識(shí)水平再次實(shí)現(xiàn)飛躍。在整個(gè)拓展過程中，讓學(xué)生感受到“植樹問題”的學(xué)習(xí)貴在理解每個(gè)問題中的除法本質(zhì)——“總長(zhǎng)里有幾個(gè)間距？”；貴在學(xué)習(xí)一種“數(shù)形結(jié)合、一一對(duì)應(yīng)”的思想方法；貴在會(huì)用“植樹模型”解決生活中類似于植樹問題的變式問題，形成舉一反三的能力，使學(xué)生終身受益。

綜上所述，老師要善于在課堂中設(shè)計(jì)一個(gè)或幾個(gè)“核心問題”，使學(xué)生在合作探究的過程中，提煉相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想方法，構(gòu)建“數(shù)學(xué)模型”，發(fā)展思維，提升解決問題的能力。這需要我們老師長(zhǎng)期有計(jì)劃有步驟地實(shí)施才能見效，才能體現(xiàn)《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》的思想精髓。