從內隱到外顯：追求數學課堂中“思維之美”

王銳

現代數學觀認為，數學教學是以數學思維為核心的教學，是數學活動過程的教學。這是由數學思維的本質特征決定的。數學思維具有邏輯的嚴謹性、高度的抽象性和概括性、豐富的直覺與想象等特征。這些特征使得數學思維在尋求事物本質屬性、探索事物之間的聯系、把握事物結構、對事物發展做出預測等方面顯示出驚人的優勢。20世紀80年代，美國數學教育興起的“問題解決”，主要指幫助學生學會用“數學的思維”方法觀察世界、處理和解決實際問題。這種思維方法更能夠體現思維本質，提高抽象能力、邏輯推理能力和辯證思維能力。因此，思維方法的學習是數學教育的重要目標之一。有人說，沒有思維，就沒有真正的數學學習。這就要求我們數學教師，應針對教學內容和學生實際，激勵學生將數學思維貫穿于整個數學學習和現實生活過程中，養成思考有條理、說理有依據的良好習慣。

那么，在數學教學活動中，如何建構以“數學思維”為核心教學策略？本文將結合具體案例加以闡述。

一、對話，讓思維之美在腦海中緩緩流淌

德國著名學者克林伯格指出：“在所有的教學中，進行著最廣義的‘對話。……不管哪一種教學方式占支配地位，這種相互作用的對話是優秀教學的本質性的標志。”不難發現，在教學中，對話者在遵守思維對話規則的前提下，其主體地位得到充分的尊重，他們能運用自己的智慧，獨立地思考，并且自由地發表對問題的看法。同時，對話的主體也有傾聽他人的意見、接受他人批評的義務，并對他人的意見做出自己的反饋。經過“表達—反饋—回應—反饋”，這是一個過程，使課堂中的線性交流變成網絡模塊式交流，讓課堂中每一個生態因子都保持暢通的交流信息渠道，敞亮了師生的思維之思。而這樣真正思維對話強調的是內在精神實質。這種精神實質就是：⑴思維對話必須以“我”“你”之間有無精神上的相互交互與回應為特征；⑵真正的思維對話必須體現主體平等、互相尊重、彼此批判、共享智慧、講究實效等精神特征。這兩種實質含義構成了真正思維對話的核心，其中前者建立在后者的基礎上。

[案例1] “5的乘法口訣”教學片段

師：同學們，喜歡畫畫嗎？

生（齊答）：喜歡！

師：好，那讓我們畫畫自己的小手，好嗎？

學生畫手，然后教師將學生的作品展示在黑板上。

師：數一數，一共有多少根手指？

生1：5，10，15，20，25。

生2：一只手5根，5只手，一共25根。

（教師馬上打斷說：乘法還沒學呢！）

生3：10，20，25。

（教師帶學生一起5個5個地數，并板書：5→10→15→20→25。）

師：這樣5個5個加太麻煩，所以古代勞動人民發明了新辦法。

（揭題：“5的乘法口訣”）

……

思考與感悟：課堂，是師生智慧共生、情智交融、生命對話的“圣地”。其間，不僅有知識的傳遞、思想的碰撞、情感的交流，更有生命的“對話”。然而，本案例中，教師積極為完成“知識傳遞”而“不懈努力”著，卻忽視了他所面對的是活生生的、有思想、有感情、有生命的學生。置學生已有的知識于度外，面對學生早已掌握的乘法口訣予以回避，這不僅是對學生知識和能力水平的不尊重，更是對他們個體生命關懷的缺失。

二、操作，讓思維之美在思辨中走向深刻

荷蘭著名教育家費賴登塔爾認為：數學教學應當實施“數學化”“再創造”過程，因此，教師應積極引導和幫助學生從熟悉的現實生活開始，沿著數學發現的活動軌道，從感性認識到理性。而操作學習恰恰是溝通具體到抽象、感性到理性的橋梁。正如瑞士著名心理學家皮亞杰所說：“兒童的思維是從動作開始的，切斷動作與思維的聯系，思維就不能得到發展。”也誠如美國教育家杜威所指出的：“讓兒童在主觀與客觀交互作用中獲取經驗，必須通過兒童的親身體驗……從做中學要作為教學理論的中心原則。”數學操作學習的課堂教學流程一般為四環六段：創設情境，提出問題—操作探索，形成結論（操作感知，形成猜想—操作探索，驗證猜想—操作交流，歸納結論）—實踐運用，解決問題—總結反思，評價體驗。

[案例2] “平行四邊形面積的計算”教學片段

師： 今天我們一起來研究平行四邊形的面積計算。

（說著，拿出了課前準備好的平行四邊形紙片。）

師：請大家看，它的面積你會求嗎？

（學生搖頭。）

師：如果把它剪拼成我們學過的圖形，這時，它的面積你會表示嗎？

（說著，魔術般地沿著先畫好的虛線剪開，順利拼成了一個長方形。）

生：長乘寬。

師：對，此時的長正好是原來平行四邊形的底，此時的寬正好是原來平行四邊形的高。

（說著，板書它們的對應關系，順利總結出了平行四邊形的面積計算公式。）

思考與感悟：上述案例，看似經歷了一個完整的推導過程，但實際上，學生在靜靜地看，教師是在不斷地忙。教師用自己的推導經歷，代替了學生的研究過程。教師成了主人，學生成了觀眾，再完美的推導與講述，也只能是學生“靜而觀之”；再者，教師為了追求“流暢、順利”的教學，不顧學生的實際情況和課堂反映，一味地自己努力著，當出示平行四邊形紙片：“請大家看，它的面積你會求嗎？”學生搖頭時，教師急于“解圍”——“如果把它剪拼成我們學過的圖形，這時，它的面積你會表示嗎？”原本挑戰性的問題，就這樣讓教師給磨滅了，學生沒有可思考與探究的問題，他們的思維很難打開。

三、融錯，讓思維之美在“試誤”中真實回歸

心理學家蓋耶指出：“誰不考慮嘗試錯誤，不允許學生犯錯誤，就將錯過最富有成效的學習時刻。”當代科學家、哲學家恩格斯也指出：“要明確地懂得理論，最好的道理就是從本身的錯誤當中，從親身經歷的痛苦體驗中去學習。”美國著名教育心理學家桑代克運用實驗的方法表明，學習過程是一種漸進的嘗試錯誤的過程，在這個過程中，無關的錯誤逐漸減少，正確的反應最終形成。通過“試誤”，可充分暴露學生思維過程的薄弱環節，有利于對癥下藥。 因此，在學習數學過程中，通過暴露學生學習數學思維過程中的錯誤，提供以錯誤為源泉的學習反映刺激，可使學生從中審視、體驗和反思，從而引起知錯、改錯和放錯的良性反應。具體地，在教學中應遵循三方面的要求：⑴應當研究學生所犯的錯誤，并把錯誤看成是認識過程和認識學生數學思維規律的手段；⑵在學生檢查和改正自己的錯誤的實踐中進行練習；⑶教師應當利用學生所犯錯誤來促進他們加深對數學要素和規律性的理解。

[案例3] “中位數”教學片段

練習鞏固階段，教師出示了這樣一道題：

為了維持人體的需要，除了正常的飲食外，一個人每天應飲水1400毫升。下表是小林一周的飲水情況：

[星期 日 一 二 三 四 五 六 飲水量毫升 2100 1250 1300 1250 1300 1250 1700 ]

小林：我平均每天飲水1450毫升，足夠啦！

分析上面的數據，你對小林飲水這件事情有什么看法？

這道題目解答完畢，教師又提出了一個問題：根據我們學過的有關統計的知識，你還能提出什么問題？

一個學生迫不及待地搶答：這組數據的中位數是多少？

師：誰能回答這個問題？

生1：這個數據的中位數是“三”，因為它排在中間。

生2：不對，應該是1250。“三”是星期幾，不是數。

生3：不對，應該是1300。

……

師：有三種不同的答案。想一想，他們誰說得對呢？先獨立思考后，再和周圍的同學說一說。

學生獨立思考并在小組里小聲討論。

生4：我認為是這組數據的中位數是1300。因為一組數據按照從小到大的順序排列出來，位于中間的數才是中位數。

這組數據可以這樣排列：1250、1250、1250、1300、1300、1700、2100.所以，1300才是這組數據的中位數。

（話音未落，教室里響起來熱烈的掌聲……）

思考與感悟：上述教學片段中，老師并未對學生的錯誤視而不見，或是簡單地改錯后草草收場，而是讓學生充分表達自己的想法，辨清思路，讓討論不斷深化……直到帶領學生挖掘出現錯誤的深層次原因是“中位數”這個概念的內涵理解不透，從而使教學目標得以真正有效地落實。

四、等待，讓思維之美在留白中精彩綻放

“生命化教育”的倡導者張文質先生指出：“教育是一個‘慢活‘細活，是生命潛移默化的過程，教育的變化是極其緩慢的、細微的，它需要生命的沉潛，需要‘深耕細作。”著名教育家蘇霍姆林斯基也曾說過：“有經驗的教師往往知識微微打開一扇通向一望無際的知識原野的窗子。”在課堂，當學生需要思考、需要操作、需要交流、需要消化時，教師應耐心地等待，讓學生有充分的時間和空間去思考、去操作、去交流、去消化。哪怕是幾秒鐘的時間，也許就能夠打開學生思維的大門，凸顯思維活動過程，就會給學生自信和勇氣，同時也給學生挑戰自我的機會，讓學生自己創造課堂的精彩。若無視這個規律急于求成，既不利于學習知識，更不利于培養能力，容易拔苗助長，欲速則不達。

[案例4] “求圓的面積”教學片段

學習“圓的面積計算”后，教師出了這樣一道題：學校有一塊面積20平方米的正方形空地，現要在它里面修一個面積最大的圓形花壇，這個花壇的面積有多大？

生1：教學圓的面積時，老師曾讓我們估計圓的面積大約是其中一個小正方形面積的多少倍，而最終的結果是，圓的面積是一個小正方形的π倍。因為正方形的面積是20平方米，我們可以得出小正方形的面積是5平方米，也就是r2=5平方米。因此，S=πr2=3.14×5=15.7平方米。

師：想得真好！求出r2，從而使問題獲得解決。

生2：在前一節課上，我們已經推導出已知直徑，直接求出圓面積的公式S=[14]πd2=[14]×3.14×20=15.7平方米。

師：活學活用，真是太棒了！

生3：剛才我們在正方形內畫出一個最大的圓，像這樣的圓，同一個正方形里只有一個，是確定的，那么，我猜測這個圓的面積與正方形面積之間存在一種固定不變的關系。從生2的解答中，我們不難發現，圓面積正好是正方形面積的[14]π倍，所以，圓的面積是[14]×3.14×20=15.7平方米。

師：生3真了不起，他不但敢于大膽猜測，還注意傾聽別人的發言，從S=[14]πd2中得出圓面積與正方形面積之間的關系。

生4：（高興地喊起來）我又發現了一種方法。正方形的面積是20平方米，根據這一條件我們不難求出半徑。我嘗試著把正方形的面積乘5，變成100平方米，那么，正方形的邊長就是10米，這時圓的面積是3.14×（10÷2）2=78.5（平方米）。正方形的面積乘5，圓的面積也乘5，因此求出原來圓的面就要除以5，也就是78.5÷5=15.7平方米。

教室里響起了熱烈的掌聲，我也情不自禁地鼓起掌來。

生5：從生4的擴大法中，我馬上想到了縮小法。

……

思考與感悟：回顧上述教學片段，不得不感慨，精彩解法源于學生的凝神靜思，靜思的空間源自于教師的耐心等待。當學生思考不嚴謹時，教師微笑著默不作聲是等待；當學生尋覓思路遇挫時，教師默默的巡視等待。等待是一種期望，是一種鼓勵。多一些等待，學生就多一些自主探索的經歷和體會，多一些對問題的深思和熟慮；多一些等待，學生就多一些與他人交流合作的機會和體驗，多一些對知識的理解和提升……

課堂教學應當以學生為本，以學生的發展為本，教師在課堂教學中應當“關注學生的表現，欣賞學生的想法，重視學生的問題，接納學生意見，寬容學生的錯誤，滿足學生的需要，為學生的思維發展創造氛圍、條件，問題讓學生提，問題讓學生議，答案讓學生辯，結論讓學生得”。只有這樣，我們的課堂教學才能煥發出生命的互動，學生思維能力的發展才能落到實處。