用整體代入法解決數(shù)學(xué)問題

袁宏觀

整體思想，就是在研究和解決數(shù)學(xué)問題時，通過研究問題的整體形式、整體結(jié)構(gòu)、整體特征，從而對問題進行整體處理的解題方法.整體代人法是解代數(shù)題的一種重要而又基本的方法，對求代數(shù)式的值、解方程（組）等問題，都行之有效.整體代入法是初中階段比較常用的方法，運用整體代入法解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題能使有些問題做起來比較簡單，能夠起到事半功倍的效果.

例1 甲、乙二人相對而行，他們相距10千米，甲每小時走3千米，乙每小時走2千米，甲帶著一條狗，狗每小時跑5千米，狗跑得快，它同甲一起出發(fā)，碰到乙的時候向甲跑去，碰到甲的時候又向乙跑去，如此繼續(xù)往返，問當(dāng)甲、乙兩人相遇時，這條狗一共跑了多少千米？

【分析】這是我國著名數(shù)學(xué)家蘇步青在德國時，德國一位數(shù)學(xué)家給他出的一道題，蘇教授很快就解出了這道題目.這道題的難點就是甲身邊的那條狗.如果我們先計算狗從甲的身邊跑到乙的身邊的路程，再計算狗從乙的身邊跑到甲的身邊的路程……如此把狗跑的路程相加，這樣很煩瑣、笨拙且不易計算.蘇教授從整體著眼，根據(jù)甲、乙出發(fā)到相遇經(jīng)歷的時間與狗所走的時間相等，問題就迎刃而解了.

解：設(shè)兩人從出發(fā)到相遇用x小時，

3x+2x=10，x=2.

∴狗共跑了2×5=10千米.

【點評】蘇教授在解題時，把注意力和著眼點放在問題的整體結(jié)構(gòu)上，從而能觸及問題的實質(zhì)：狗從出發(fā)到甲、乙兩人相遇所用的時間恰好是甲、乙二人相遇所用的時間，從而使問題得到巧妙地解決.蘇教授這種解決問題的思想方法實際上就是數(shù)學(xué)中的整體思想的應(yīng)用.對于某些數(shù)學(xué)問題，靈活運用整體思想，常可化難為易，捷足先登.

例2 已知2x2+3x-1=5，則代數(shù)式-6x2-9x+1的值為（ ）.

A.17 B.18 C.-18 D.-17

【分析】本道題如果直接解方程比較麻煩，因為它的實數(shù)解是無理數(shù)，并且有兩個不相等的無理數(shù)解，代入也比較麻煩，若把所求的代數(shù)式變形，運用整體代入，則不僅化難為易，且妙趣橫生.

解：∵2x2+3x-1=5，

∴2x2+3x=6，

∴-6x2-9x+1=-3（2x2+3x）+1

=-3×6+1=-17.選D.

【點評】要想準確、迅速地解答化簡（計算）求值題，必須認真審題，在真正理解題意、弄清題目要考查的對象后，才能做到目標明確、有的放矢.

例3 已知當(dāng)x=m時，代數(shù)式ax5+bx3+cx+1的值是4，求當(dāng)x=-m時，代數(shù)式ax5+bx3+cx-1的值.

【分析】本題應(yīng)將x=m代入代數(shù)式ax5+bx3+cx+1中去，這樣與所求的代數(shù)式有內(nèi)在的聯(lián)系，便于整體代入.

解：由已知得：當(dāng)x=m時，代數(shù)式ax5+bx3+cx+1=am5+bm3+cm+1=4，

∴am5+bm3+cm=3.

當(dāng)x=-m時，代數(shù)式ax5+bx3+cx-1

=a（-m）5+b（-m）3+c（-m）-1

=-（am5+bm3+cm）-1=-3-1=-4.

【點評】本題兩個代數(shù)式中未知部分相同，且x的指數(shù)都為奇數(shù)，所以當(dāng)x取值互為相反數(shù)時，這部分代數(shù)式的值就互為相反數(shù).

例4 （2015·無錫一模）已知關(guān)于x，y的方程組[2x+y=3k-1，①x+2y=-2，②]且x+y>1，試確定k的取值范圍.

【分析】常規(guī)的思路是先解方程組，用k表示x，y，然后再代入不等式求解，這樣做比較麻煩.如果我們著眼于“x+y”這個整體，只要將方程組中兩個方程“整體相加”便可用k表示出x+y，進而達到目的.

解：將方程組中①+②，得3x+3y=3k-3，即x+y=k-1，又x+y>1，所以k-1>1，解之得k>2，所以k的取值范圍為k>2.

【點評】解此類問題關(guān)鍵在于，我們要發(fā)現(xiàn)方程組與所提供的關(guān)于未知數(shù)的不等式之間的內(nèi)在數(shù)量關(guān)系，以便確定兩個方程組是相減還是相加，或者是將方程適當(dāng)變形后再加、減.

例5 若買鉛筆4支，筆記本3本，圓珠筆2支，共用11元；若買鉛筆9支，筆記本7本，圓珠筆5支共用25元.求買鉛筆1支，筆記本1本，圓珠筆1支，共需多少元？

【分析】設(shè)鉛筆、筆記本、圓珠筆的單價分別為x元，y元，z元，由題意得[4x+3y+2z=11，9x+7y+5z=25.]要求的是x+y+z.由已知條件只得出兩個三元一次方程，如果想求出x、y、z再代入，辦不到；若把x+y+z視為整體，問題就容易解決了.為此，將方程組變形為：[2x+y+2x+y+z=11，22x+y+5x+y+z=25，]解得x+y+z=3，即購買鉛筆1支，筆記本1本，圓珠筆1支，共需3元.

【點評】在求解某些數(shù)學(xué)問題時，把一個較復(fù)雜的式子當(dāng)作一個整體，根據(jù)其本身結(jié)構(gòu)特征作整體處理，就能開拓思路，迅速求解.

例6 若[1a]-[1b]=4，那么[a-2ab-b2a-2b+7ab]的值是 .

【解析】方法一：本道題首先將所求代數(shù)式變形為[1b-2-1a2b-2a+7]，由[1a]-[1b]=4，可得到[1b]-[1a]=-4，代入可得原式=6.

方法二：將[1a]-[1b]=4變形為b-a=4ab，

即a-b=-4ab，

∴[a-2ab-b2a-2b+7ab]=[a-b-2ab2a-2b+7ab]

=[-4ab-2ab-8ab+7ab]

=[-6ab-ab]=6.

【點評】用整體的方法去思考問題，對所要求的式子進行適當(dāng)變形，然后結(jié)合所給的條件，對條件進行小變形，這樣就可以達到事半功倍的效果，解決問題又快又簡單.

例7 若ab=1，那么[aa+1]+[bb+1]的值是 .

【解析】由ab=1可得，[aa+ab]+[bb+1]=[11+b]+[bb+1]=[1+b1+b]=1，從而知答案是1.

【點評】解決這個問題的關(guān)鍵是把1用ab替換下來，然后通過約分求得結(jié)果.

（作者單位：江蘇省豐縣初級中學(xué)）