開放探究型問(wèn)題解析

李帥領(lǐng)

開放探究型問(wèn)題常常是條件不完備或結(jié)論不明確，解題方法和依據(jù)往往不唯一.需要同學(xué)們深入探究，尋找解題規(guī)律方可求解.

例1 （2017·黔東南）如圖1，點(diǎn)B、F、C、E在一條直線上，已知FB=CE，AC∥DF，請(qǐng)你添加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件使得△ABC≌△DEF.

【分析】本題要判定△ABC≌△DEF，已知FB=CE，AC∥DF，即間接告知我們：BC=EF，∠ACB=∠DFE，那么可以構(gòu)造“SAS”“AAS”“ASA”來(lái)解決問(wèn)題.

解：∵FB=CE，∴BC=EF.

又∵AC∥DF，∴∠ACB=∠DFE.

（1） 當(dāng)∠A=∠D時(shí)，

在△ABC與△DEF中，[∠A=∠D，∠ACB=∠DFE，BC=EF，]

∴△ABC≌△DEF（AAS）.

（2）當(dāng)AC=DF時(shí)，

在△ABC與△DEF中，[AC=DF，∠ACB=∠DFE，BC=EF，]

∴△ABC≌△DEF（SAS）.

（3）當(dāng)∠B=∠E時(shí)，

在△ABC與△DEF中，[∠ACB=∠DFE，BC=EF，∠B=∠E，]

∴△ABC≌△DEF（ASA）.

故答案為∠A=∠D或AC=DF或∠B=∠E.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形全等的判定，先找出題目中的已知條件，再選擇合適的判定條件.

例2 （2017·日照）如圖2，已知AB=AE=DC，AD=EC，CE⊥AE，垂足為E.

（1）求證：△DCA≌△EAC；

（2）只需添加一個(gè)條件，即 ，可使四邊形ABCD為矩形.請(qǐng)加以證明.

【分析】（1）由“SSS”證明△DCA≌△EAC即可；（2）要證明四邊形ABCD是矩形，只要在AB=DC的基礎(chǔ)上，添加條件使得四邊形ABCD為平行四邊形，再由全等三角形的性質(zhì)得出∠D=∠E=90°，即可得出結(jié)論.

解：在△DCA與△EAC中，[DC=EA，AD=CE，AC=CA，]

∴△DCA≌△EAC.

（2）添加AD=BC，可使四邊形ABCD為矩形.理由如下：

∵AB=DC，AD=BC，

∴四邊形ABCD是平行四邊形，

∵CE⊥AE，∴∠E=90°，

由（1）得：△DCA≌△EAC，

∴∠D=∠E=90°，∴四邊形ABCD為矩形.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行四邊形的判定，先找出題目中的已知條件，再選擇合適的判定條件.

例3 （2017·北京）如圖3，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△AOB可以看作是△OCD經(jīng)過(guò)若干次圖形的變化（平移、軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)）得到的，寫出一種由△OCD得到△AOB的過(guò)程：

.

【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)、平移的性質(zhì)即可得到由△OCD得到△AOB的過(guò)程.

解：△OCD繞C點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，并向左平移2個(gè)單位得到△AOB（答案不唯一）.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了坐標(biāo)與圖形的變換.解題時(shí)需要注意：平移的距離等于對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的長(zhǎng)度，對(duì)稱軸為對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線，旋轉(zhuǎn)角為對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心連線的夾角.

例4 （2017·淮安改編）【操作發(fā)現(xiàn)】如圖4，在邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形組成的網(wǎng)格中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上.

（1）請(qǐng)按要求畫圖：將△ABC繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B′，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C′，連接BB′；

（2）在（1）所畫圖形中，∠AB′B= .

【問(wèn)題解決】如圖5，在等邊三角形ABC中，AC=7，點(diǎn)P在△ABC內(nèi)且∠APC=90°，∠BPC=120°，求△APC的面積.

【分析】【操作發(fā)現(xiàn)】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角、旋轉(zhuǎn)方向畫出圖形即可；（2）只要證明△ABB′是等腰直角三角形即可.【問(wèn)題解決】將△APB繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°，得到△AP′C，只要證明∠PP′C=90°，利用勾股定理即可解決問(wèn)題.

解：【操作發(fā)現(xiàn)】（1）如圖6所示；

（2）∵AB=AB′，∠B′AB=90°，

∴∠AB′B=45°.

【問(wèn)題解決】如圖7，∵將△APB繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°，得到△AP′C，則△APP′是等邊三角形.

∴∠AP′P=∠APP′=60°，

∠AP′C=∠APB=360°-90°-120°=150°，

∴∠PP′C=∠AP′C-∠AP′P=90°，

∠P′PC=∠APC-∠APP′=30°，

∴PP′=[32]PC，即AP=[32]PC，

∵∠APC=90°，∴AP2+PC2=AC2，

即（[32]PC）2+PC2=72，

∴PC=[27]，∴AP=[32]PC=[21]，

∴S△APC=[12]AP?PC=[73].

【點(diǎn)評(píng)】本題是一道三角形綜合題，需要我們深入理解和探索“操作發(fā)現(xiàn)”的方法，尋求規(guī)律解決問(wèn)題.

（作者單位：江蘇省豐縣初級(jí)中學(xué)）