讀懂 吃透 遷移

李秀真

閱讀理解型問題是指通過閱讀材料，理解材料中所提供的新的方法或新的知識（當然也有可能是依據已有的概念、認知進一步得到一個新的概念），并靈活運用這些新方法或新知識去分析、解決類似的或相關的問題.

解決這類問題需要對閱讀理解材料認真閱讀，先讀懂、讀透，然后進行合情推理.

一、閱讀新定義，解決新問題

例1 規定：求若干個相同的不為零的有理數的除法運算叫做除方，如2÷2÷2，（-3）÷（-3）÷（-3）÷（-3）等.類比有理數的乘方，我們把2÷2÷2記作2③，讀作“2的圈3次方”，（-3）÷（-3）÷（-3）÷（-3）記作（-3）④，讀作“-3的圈4次方”.一般地，把[a÷a÷a÷…÷an個a]（a≠0）記作an，讀作“a的圈n次方”.

（1）直接寫出計算結果：2③= ，（-3）④= ，（[-12]）⑤= .

（2）我們知道，有理數的減法運算可以轉化為加法運算，除法運算可以轉化為乘法運算，請嘗試把有理數的除方運算轉化為乘方運算，例如：除方2④=2÷2÷2÷2=（[12]）2轉化為乘方.歸納如下：一個非零有理數的圈n次方等于 .

（3）計算24÷23+（-8）×2③.

【分析】理解除方的意義是解答本題的關鍵.

解：（1）2③=2×[12]×[12]=[12]，

（-3）④=[19]；（[-12]）⑤=-8.

（2）這個數倒數的（n-2）次方.

（3）24÷23+（-8）×2③

=24÷8+（-8）×[12]=-1.

【點評】該題考查了轉化思想和乘方的相關知識，從讀題中悟出：當a≠0時，an=（[1a]）n-2.

二、閱讀題中信息，提煉數學思想方法

例2 （2017·南通）我們知道，三角形的內心是三條角平分線的交點，過三角形內心的一條直線與兩邊相交，兩交點之間的線段把這個三角形分成兩個圖形.若有一個圖形與原三角形相似，則把這條線段叫做這個三角形的“內似線”.

（1）等邊三角形“內似線”的條數為 ；

（2）如圖1，△ABC中，AB=AC，點D在AC上，且BD=BC=AD，求證：BD是△ABC的“內似線”；

（3）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，E、F分別在邊AC、BC上，且EF是△ABC的“內似線”，求EF的長.

【分析】（1）過等邊三角形的內心分別作三邊的平行線，共有3條；（2）由等腰三角形的性質得出∠ABC=∠C=∠BDC，即BD是△ABC的角平分線，證△BCD∽△ABC即可；（3）分兩種情況：①EF與AB平行，②EF與AB不平行.

解：（1）等邊三角形“內似線”的條數為3條.理由如下：

過等邊三角形的內心分別作三邊的平行線，如圖2所示，則△AMN∽△ABC，△CEF∽△CBA，△BGH∽△BAC，∴MN、EF、GH是等邊三角形ABC的“內似線”.

（2）證明：∵AB=AC，BD=BC=AD，∴∠ABC

=∠C=∠BDC，∴△BCD∽△ABC，且BD是∠ABC

的角平分線，即△ABC的內心在BD上，

∴BD是△ABC的“內似線”.

（3）如圖3，設D是△ABC的內心，連接CD，

則CD平分∠ACB，

∵EF是△ABC的“內似線”，

∴△CEF與△ABC相似.

分兩種情況：

①當[CECF]=[ACBC]=[43]時，EF∥AB，

∵∠ACB=90°，AC=4，BC=3，

∴AB=[AC2-BC2]=5，

作DN⊥BC于N，

則DN∥AC，DN是Rt△ABC的內切圓半徑，∴DN=[12]（AC+BC-AB）=1，

∵CD平分∠ACB，∴[DEDF]=[CECF]=[43]，

∵DN∥AC，

∴[DNCE]=[DFEF]=[37]，即[1CE]=[37]，

∴CE=[73]，

∵EF∥AB，

∴△CEF∽△CAB，

∴[EFAB]=[CEAC]，即[EF5]=[734]，

解得：EF=[3512].

②當[CFCE]=[ACBC]=[43]，同理得：EF=[3512].

綜上所述，EF的長為[3512].

【點評】該題綜合考查了相似形的知識.

三、閱讀題中信息，借助已有數學思想方法解決新問題

例3 閱讀理解：

如圖4，圖形l外一點P與圖形l上各點連接的所有線段中，若線段PA1最短，則線段PA1的長度稱為點P到圖形l的距離.

例如：圖5中，線段P1A的長度是點P1到線段AB的距離；線段P2H的長度是點P2到線段AB的距離.

解決問題：

如圖6，平面直角坐標系xOy中，點A、B的坐標分別為（8，4），（12，7），點P從原點O出發，以每秒1個單位長度的速度向x軸正方向運動了t秒.

（1）當t=4時，求點P到線段AB的距離；

（2）t為何值時，點P到線段AB的距離為5？

（3）t滿足什么條件時，點P到線段AB的距離不超過6？（直接寫出此題的結果）

【分析】（1）作AC⊥x軸，由OP=4，OC=8，則PC=4，AC=4，根據勾股定理求解可得.（2）作BD∥x軸，分點P在AC左側和右側兩種情況求解，P在AC左側時，根據勾股定理即可求得；P在AC右側時，作AP2⊥AB，交x軸于點P2，證△ACP2≌△BEA得AP2=AB=3，繼而可得答案.（3）分點P在AC左側和右側兩種情況求解，P在AC左側時，根據勾股定理即可求得；P在AC右側且P3M=6時，作P2N⊥P3M于點N，知四邊形AP2NM是矩形，證△ACP2∽△P2NP3，得[AP2P2P3]=[CP2NP3]，可求得P2P3的長.

解：（1）如圖7，作AC⊥x軸于點C，則AC=4、OC=8，當t=4時，OP=4，∴PC=4，

∴點P到線段AB的距離PA=[PC2+AC2]

=[42].

（2）如圖8，過點B作BD∥x軸，交y軸于點D，

①當點P位于AC左側時，

∵AC=4、P1A=5，∴P1C=[P1A2-AC2]=3，

∴OP1=5，即t=5；

②當點P位于AC右側時，過點A作AP2⊥AB，交x軸于點P2，延長CA交BD于E，則∠AEB=90°，而BA=[AE2+BE2]=[32+42]=5.

在△ACP2和△BEA中，

∵[∠ACP2=∠BEA=90°，AC=BE=4，∠P2AC=∠ABE，]

∴△ACP2≌△BEA，

∴AP2=BA=5，且P2C=AE=3，

∴OP2=11，即t=11.

（3）如圖9，①當點P位于AC左側，

且AP1=6時，

則CP1=[P1A2-AC2]=[62-42]=[25]，

∴OP1=OC-CP1=8-[25]；

②當點P位于AC右側，且MP3=6時，

過點P2作P2N⊥P3M于點N，則四邊形AP2NM是矩形，

∴∠AP2N=90°，

∠ACP2=∠P2NP3=90°，AP2=MN=5，

∴△ACP2∽△P2NP3，且NP3=1，

∴[AP2P2P3]=[CP2NP3]，

即[5P2P3]=[31].

∴P2P3=[53]，

∴OP3=OC+CP2+P2P3=8+3+[53]=[383]，

∴當8-[25]≤t≤[383]時，點P到線段AB的距離不超過6.

【點評】同學們應認真仔細地閱讀給定的材料，重點讀出是點到線段的距離.展開聯想，將獲得的新信息、新知識、新方法進行遷移，建模應用，才能解決題目中提出的問題.

（作者單位：江蘇省豐縣初級中學）