待定系數法在初中數學中的應用

吳琴

對于某些數學問題，如果已知所求結果具有某種確定的形式，則可引進一些尚待確定的系數來表示這種結果，通過已知條件建立起給定的算式和結果之間的關系式，得到以待定系數為元的方程或方程組，解得待定系數，從而使問題得以解決，這個方法叫待定系數法.此法在初中數學中有著廣泛的應用，下面舉例予以說明.

一、函數方面的應用

待定系數法最常見的就是在函數方面的應用，用以確定函數表達式.主要原因就是不管是一次函數、反比例函數還是二次函數都有其固定的形式，這為建立方程（組）提供了依據.

例1 已知二次函數的圖像經過點（-1，

-6）、（1，-2）和（2，3）.求這個二次函數的關系式.

【分析】因為題中給的是圖像過三個普通點，所以應該設二次函數的一般形式y=ax2+bx+c（a，b，c為常數，a≠0），接著將點的橫、縱坐標代入函數表達式，求出a，b，c的值.

解：設二次函數的解析式為y=ax2+bx+c（a，b，c為常數，a≠0），

由題意得，[-6=a-b+c，-2=a+b+c，3=4a+2b+c，]解得[a=1，b=2，c=-5.]

解析式為：y=x2+2x-5.

【點評】本題主要考查的是如何用待定系數法確定函數的表達式，正確解答此題的關鍵是設出函數的一般形式，代入點的坐標，得到方程組，求出系數，即可求出函數表達式.

例2 已知關于x的一次函數y=kx+b的圖像平行于直線y=-3x+4，且其圖像經過點（3，0），求此一次函數的解析式.

【分析】兩個一次函數的圖像互相平行，即k的值相同.

解：因為一次函數y=kx+b的圖像平行于直線y=-3x+4，所以k=-3，所求一次函數為y=-3x+b，

把x=3，y=0代入y=-3x+b中得0=-9+b，

∴b=9，

∴一次函數的解析式為y=-3x+9.

【點評】若一次函數y=k1x+b1與y=k2x+b2的圖像互相平行，則k1=k2且b1≠b2.故求一次函數的解析式時，可先直接求出k的值，再找一個條件求出b的值即可.兩個圖像（直線）平移也屬互相平行關系.

二、因式分解中的應用

例3 如果x3+ax2+bx+8有兩個因式x+1和x+2，則a+b=（ ）.

A.7 B.8 C.15 D.21

【分析】原多項式必能分解為三個一次因式的積，第三個因式應該是形如x+c的一次二項式，故可以考慮用待定系數法求解本題.

解：可設x3+ax2+bx+8=（x+1）（x+2）（x+c），展開等號右邊部分得x3+ax2+bx+8=x3+（3+c）x2+（2+3c）x+2c，比較系數，

得[a=3+c，b=2+3c，8=2c，]求得[a=7，b=14，c=4.]

a+b=21，故選D.

【點評】本題主要考查因式分解的概念，解決本題的關鍵是利用代數恒等式的定義，系數對應相等，從而求出待定的系數.

例4 分解因式x4+x3+4x2-3x+5.

【分析】這是一個關于x的四次多項式，可考慮用待定系數法分解成兩個二次三項式的乘積.

解：設x4+x3+4x2-3x+5

=（x2+ax+1）（x2+bx+5）

=x4+（a+b）x3+（ab+6）x2+（5a+b）x+5，

比較等式兩邊同次項的系數，

得[1=a+b，①4=ab+6，②-3=5a+b，③]

由①③式確定a=-1，b=2，代入②成立，

∴x4+x3+4x2-3x+5=（x2-x+1）（x2+2x+5）.

【點評】在上述過程中，又因為5=（-1）×（-5），若設原式=（x2+ax-1）（x2+bx-5），則得到關于a，b的方程組無解.故運用待定系數法時，有時需要用計算來排除某種分解不可能的情況.

三、用于拆分分式

例5 已知：[x2-x+2xx-3x+2]=[Ax]+[Bx-3]+[Cx+2]，求A，B，C的值.

【分析】可直接去分母，得x2-x+2=A（x-3）（x+2）+Bx（x+2）+Cx（x-3）=（A+B+C）x2+（-A+2B-3C）x-6A，比較等式兩邊同次項的系數，得[1=A+B+C，-1=-A+2B-3C，2=-6A，]

解這個方程組得[A=-13，B=815，C=45.]

【點評】本題主要考查將一個分式分成幾個分式的和.解決本題首先應將分母去掉，這樣形式上會簡單很多，然后等號兩邊分別整理，利用代數恒等式的定義，得到關于系數的方程組，從而求出待定系數的值.

綜上，待定系數法實質上是一種求未知系數的方法.經常將一個多項式表示成另一種含有待定系數的新的形式，這樣就得到一個代數恒等式.然后根據代數恒等式的性質得出系數應滿足的方程或方程組，其后通過解方程或方程組便可求出待定的系數，或找出某些系數所滿足的關系式.

（作者單位：江蘇省豐縣初級中學）