表貼式永磁電機磁場的解析計算與分析?

張河山，鄧兆祥，2，楊金歌，妥吉英，張 羽

前言

永磁電機具有高轉矩密度、高效率、高功率密度等優點，廣泛應用于電動汽車、船舶等工業領域[1]。其結構參數對電機性能影響較大，因此，為設計性能優異的電機需要改變和優化電機結構參數，并采用有限元法或解析法分析其電磁場特性。有限元法可考慮材料非線性影響和分析較復雜結構電機性能，但計算過程耗時、占用資源，且難以對電機特性及其影響因素進行規律性研究，具有明顯局限性。電磁場數值解析法計算量較小，物理概念清晰，能清晰反映電機性能與設計參數的關系，適用于電機設計參數優化，因此逐漸引起國內外學者廣泛關注。

Bracikowski[2]和Chen[3]等利用集總參數磁路法建立永磁電機電磁場模型，可進行平均磁場分析，計算量小，但無法分析磁場具體分布，計算準確性受模型影響較大。Zhu等[4-5]基于拉普拉斯和泊松方程的磁位解析法對不考慮定子開槽時永磁無刷電機均勻氣隙磁場和電樞繞組磁場進行建模與分析。在此基礎上，Chen等[6-7]引入相對比磁導函數來修正不考慮定子開槽時光滑氣隙磁密，可模擬定子開槽的影響，但無法考慮具體槽型和齒尖對磁場的影響。Zarko等[8-9]將定子槽深假設為無窮大，通過共形映射求解電機氣隙相對比磁導函數，可較準確地刻畫電機齒槽效應對氣隙磁場的影響，但是由于其不能考慮具體槽深對磁場的影響，也不能考慮定子槽間的相互影響，工程應用較少。Zhu等[10]采用傅里葉級數法，將電機求解域劃分為多個子域，結合磁場邊界條件，將定子槽作為求解域，考慮了定子槽的實際尺寸，計算了永磁電機開路磁場，計算精度較高，但未建立定子槽開口子域模型。郭思源等[11]將子域法應用到外轉子游標電機，并考慮了徑向、平行和Halbach充磁方式，分別計算了氣隙磁密、空載反電勢和繞組電感，并通過有限元驗證，但也未建立定子槽開口子域模型。Wu等[12-13]在文獻[10]的基礎上考慮定子齒尖的影響，將定子槽開口作為求解子域，分析了考慮齒尖時永磁電機空載磁場和電樞繞組反應場的分布情況，計算結果與有限元法吻合較好。Liang等[14]利用子域模型法分析輪輻式永磁同步電機，將磁橋作為求解子域，考慮了電樞反應場對磁橋飽和的影響，將子域模型法推廣到更實際的工程應用。

在文獻[12]和文獻[13]的基礎上，本文中以一臺在定子齒上開有輔助槽的永磁電機作為研究對象，在二維極坐標平面，以矢量磁位為求解變量，在永磁體和定子槽子域建立泊松方程，在氣隙、定子槽開口和輔助槽子域建立拉普拉斯方程，通過分離變量法求解各子域矢量磁位通解，根據邊界條件和不同子域交界面條件求解各階次諧波系數。計算電機氣隙磁密、空載反電動勢、齒槽轉矩和電磁轉矩等性能，應用有限元驗證解析法的準確性。在此基礎上，研究了極弧系數、輔助槽尺寸和定子槽開口寬度對電機齒槽轉矩和電磁轉矩的影響規律。另外，提出一種不等槽開口寬度配合的解析模型，可降低齒槽轉矩和電磁轉矩脈動。

1 解析計算模型

以內轉子表貼式永磁電機進行磁場解析計算，二維極坐標系下結構如圖1所示，將整個求解域劃分為5類子域:永磁體(子域Ⅰ)、氣隙(子域Ⅱ)、定子槽(子域Ⅲ)、槽開口(子域Ⅳ)和輔助槽(子域Ⅴ)。各子域矢量磁位分布的通解可通過求解子域內的拉普拉斯方程或泊松方程得到。為便于數學建模，作如下假設:

(1)忽略端部效應；

(2)永磁體材料去磁曲線為線性；

(3)定、轉子鐵心材料的磁導率無窮大；

(4)定子槽內線圈邊的電流密度Ji1和Ji2均勻分布。

磁場分布可用矢量磁位表示:

式中:A為矢量磁位；B為磁通密度；H為磁場強度；J為電流密度；M為永磁體剩余磁化強度。

1.1 永磁體子域通解

永磁體子域滿足泊松方程[15]為

式中:Mr和Mα分別為永磁體剩余磁化強度的徑向和切向分量:

圖1 電機幾何模型和子域設置

其中

當永磁體徑向充磁時[16]:

當永磁體平行充磁時:

其中

由于假設定轉子鐵心磁導率為無窮大，可認為磁力線垂直于鐵心表面，所以切向磁感應強度和切向磁場強度皆為零[17]，因此滿足邊界條件:

由分離變量法可得永磁體子域通解為

其中

1.2 氣隙子域通解

氣隙子域滿足拉普拉斯方程[18]:

由分離變量法可得氣隙子域通解為

1.3 定子槽子域通解

定子槽子域滿足泊松方程:

因假設磁力線垂直于鐵心表面，故滿足邊界條件:

電樞繞組電流密度為

由分離變量法可得定子槽子域通解為

其中

1.4 定子槽開口子域通解

定子槽開口子域滿足拉普拉斯方程，即

其邊界條件為

由分離變量法可得槽開口子域通解為

1.5 輔助槽子域通解

輔助槽子域滿足拉普拉斯方程:

其邊界條件為

由分離變量法可得輔助槽子域通解為

2 邊界條件

在不同子域的交界面法向磁密和切向磁場強度具有連續性，上述各子域通解中的諧波系數可通過建立如下邊界條件確定。

(1)在永磁體子域和氣隙子域的交界面法向磁密和切向磁場強度相等，可得

(2)在定子槽子域與定子槽開口子域交界面法向磁密和切向磁場強度相等，可得

(3)在氣隙子域、定子槽開口子域和輔助槽開口的交界面法向磁通密度和切向磁場強度相等，可得:

利用式(41)～式(46)求解積分常數，將其改寫為矩陣形式，然后聯合求解可得到5類子域中各階次傅里葉級數的系數。

3 電磁性能

電樞槽內左側線圈邊的磁鏈可通過矢量磁位分布計算:

同理，另外一側線圈邊的磁鏈為

每個線圈邊的面積為

定子槽內繞組布線可通過矩陣表示:

三相磁鏈為

A相反電動勢為

齒槽轉矩為

電機的電磁轉矩為

4 磁場計算與有限元驗證

以一臺8極12槽的永磁電機為例，其主要參數如表1所示。

氣隙磁密的徑向和切向分量為

為驗證上述理論推導的正確性，分別利用Matlab和Ansoft/Maxwell建立永磁電機磁場模型。圖2～圖5分別為用解析法和有限元法算得的空載氣隙磁密、反電動勢、齒槽轉矩和電磁轉矩。可以看出，解析法與有限元法的計算結果吻合得較好，證明了解析法計算結果是可信的。

表1 電機主要參數

5 電磁特性影響因素研究

在驗證解析計算結果正確的基礎上，研究了極弧系數、輔助槽寬度與深度和定子槽開口寬度對電機齒槽轉矩和電磁轉矩的影響。

極弧系數是影響電機的齒槽轉矩和電磁轉矩的重要因素之一。圖6為電機齒槽轉矩和電磁轉矩隨極弧系數的變化曲線。由圖6(a)可知，隨著極弧系數的增大，齒槽轉矩先減小后增大。當極弧系數為0.76時，齒槽轉矩最小為0.054 9N·m；當極弧系數為1時，齒槽轉矩最大為0.673N·m。由圖6(b)可知，隨著極弧系數的增大，電磁轉矩均值由5.339逐漸增大至6.812N·m，增幅為27.59%。因此在設計極弧系數時應綜合考慮，在降低齒槽轉矩的同時保持有較大的電磁轉矩。

圖2 空載徑向和切向氣隙磁密

圖3 空載反電動勢

圖4 齒槽轉矩

圖5 電磁轉矩

圖6 極弧系數對齒槽轉矩和電磁轉矩的影響

圖7 為電機齒槽轉矩和電磁轉矩隨輔助槽寬度的變化曲線。由圖7(a)可知，隨著輔助槽寬度增大，齒槽轉矩呈現不規則的變化趨勢，當輔助槽寬度與定子槽開口寬度比值為1.67時，齒槽轉矩最大，為0.884 7N·m；當比值為3.33時，齒槽轉矩最小，為0.046 6N·m。由圖7(b)可知，隨著輔助槽寬度增大，電磁轉矩均值由6.514逐漸下降至4.966N·m，降幅為23.76%。因此只有合理選取輔助槽尺寸才能在有效降低齒槽轉矩的同時保持較好的電磁轉矩特性。

圖7 輔助槽寬度對齒槽轉矩和電磁轉矩的影響

圖8 輔助槽深度對齒槽轉矩和電磁轉矩的影響

圖8 為電機齒槽轉矩和電磁轉矩隨輔助槽深度的變化曲線。由圖8(a)可以看出，齒槽轉矩隨輔助槽深度的增大而減小。當輔助槽深度與定子槽開口高度比值小于0.5時，隨著輔助槽深度的增大，齒槽轉矩由0.371 5迅速下降至0.343 8N·m，降幅為7.46%；當比值大于0.5后，齒槽轉矩基本保持不變。由圖8(b)可知，電磁轉矩隨輔助槽深度的增大而減小。當輔助槽深度與定子槽開口高度比值小于0.5時，隨著輔助槽深度的增大，電磁轉矩均值由6.527 5下降至6.515N·m，降幅為0.191%，當比值大于0.5后，電磁轉矩均值基本保持不變。在實際工程應用中，輔助槽太淺，齒槽轉矩削弱不明顯，過深則會影響磁場分布和定子機械強度，因此應合理設計輔助槽深度，在有效抑制齒槽轉矩的同時保證有較好的電磁轉矩特性。

定子槽開口是引起永磁電機氣隙磁導變化的一個重要因素，因此定子槽開口寬度大小會對齒槽轉矩和電磁轉矩產生重要影響。圖9為電機齒槽轉矩和電磁轉矩隨定子槽開口寬度的變化曲線。由圖9(a)可知，隨著槽開口寬度增大，齒槽轉矩先增大后減小，當槽開口寬度為 10°時，齒槽轉矩最大為0.764 5N·m；當槽開口寬度為20°時，齒槽轉矩最小為0.038 9N·m。由圖9(b)可知，隨著槽開口寬度的增大，電磁轉矩均值由6.588 6逐漸降低至5.149N·m，降幅為21.85%。

通常情況下，電樞槽的槽口寬度都相同，根據圖9定子槽開口寬度對電機齒槽轉矩和電磁轉矩的影響情況，提出一種不等槽開口配合的解析模型，以圖削弱齒槽轉矩和電磁轉矩脈動，其電樞槽型示意圖見圖10。相距兩個齒距的兩槽的槽口寬度相等，而相鄰兩槽的槽口寬度不等，滿足:

圖9 定子槽開口寬度對齒槽轉矩和電磁轉矩的影響

圖10 不等槽開口配合示意圖

分別利用 3 種不等槽開口(4°與 18°，4°與 19°，4°與20°)與等槽開口的電機進行對比，研究不等槽開口寬度配合對齒槽轉矩和電磁轉矩的影響，結果如圖11所示。由圖11(a)可知，對比等槽口結構，隨著不等槽開口寬度從18°增大至20°時，齒槽轉矩峰值減小，分別為 0.379 8，0.328 2，0.271 1和0.223 2N·m，說明此方法可有效減小齒槽轉矩峰值。由圖11(b)可知，隨著不等槽開口寬度的增大，電磁轉矩減小。電磁轉矩脈動分別為0.734 5，0.364 9，0.379 5和0.389N·m。因此采用不等槽口寬度配合還可降低電機電磁轉矩脈動，但電磁轉矩也相對減小。

圖11 不等槽開口寬度對齒槽轉矩和電磁轉矩的影響

綜上所述，改變電機尺寸和參數，采用不等槽開口寬度配合可有效減小齒槽轉矩，但同時也會減小電磁轉矩。在電機設計過程中，應該綜合考慮電機電氣性能、沖模制造、定子機械強度和下線工藝等因素，合理確定電機尺寸和參數。

6 結論

基于傅里葉級數法將開有輔助槽的表貼式永磁電機求解域劃分為5個不同子域，利用邊界條件求解各子域通解表達式，計算了電機空載和負載特性，并通過有限元計算驗證了解析模型的準確性。

研究電機齒槽轉矩和電磁轉矩隨極弧系數、輔助槽尺寸、定子槽開口寬度的變化規律，結果表明:通過合理選取設計變量可有效降低齒槽轉矩，且保持較好的電磁轉矩特性。此外，研究發現，不等槽開口寬配合方式可有效減小齒槽轉矩峰值和電磁轉矩的脈動。

本研究將定轉子硅鋼片假設為理想材料，即定轉子鐵心的磁導率為無窮大，今后將進一步研究鐵磁材料特性對電機性能的影響。