例談“學材再建構”的智慧實施

施俊進

[摘 要] “學材再建構”是指師生根據學習任務，為了實現學習效益的最大化，對各種主客觀性學材進行主動加工、重構的過程，包括教師獨立建構、學生獨立建構和師生共同建構三種.

[關鍵詞] 獨立建構；自主建構；共同建構；自主生成

“學材再建構”是指師生根據學習任務，為了實現學習效益的最大化，對各種主客觀性學材進行主動加工、重構的過程. 這一過程由三個部分組成：一是教師獨立地對學材進行建構；二是學生在教師的引導下獨立地對學材進行建構；三是師生共同對學材進行建構. 這三者合起來就是一個完整的學材再建構過程. 筆者于2017年4月在南通市第一梯隊名師培養對象會課活動中，執教了“三角形的邊”（人教版數學八年級上冊）一課，就如何實施“學材再建構”進行了積極的嘗試和研究，現以該課教學為例，談談對“學材再建構”的理解.

教學分析

三角形是最簡單的多邊形，也是認識其他圖形的基礎；是學生在學習線段和角的基礎上進行的. 另外，學習本章后，不僅要使學生進一步認識三角形，而且要使學生了解一些幾何中研究問題的基本思路和方法. 即三角形是學生接觸到的第一個幾何圖形（除基本元素外），后面所有圖形的研究都將以三角形為基礎. 因此，教學本節課時就不僅僅應關注學習目標，還應關注三角形的學習對后續學習的影響，重視能力目標. 當然，這是幾何學習的起始階段，能力目標不能定得太高（主要是了解一些幾何中研究問題的基本思路和方法，并會簡單的推理、證明等）.

學生在前面兩個學段已經學過三角形的知識，但是對三角形的認識是雜亂的、零碎的、不嚴密的、感性的，甚至有時是不準確的，為了幫助學生正確認識三角形的有關概念和性質，提高推理能力，了解一些幾何中研究問題的基本思路和方法，筆者根據課標要求和學生實際，確定了本節課的教學目標：（1）在直觀認識的基礎上理解三角形及其相關概念，能用符號表示三角形；（2）經歷探究三角形三邊關系的過程，理解并會用三角形的三邊關系判斷給定三條線段能否構成三角形，會確定第三邊的范圍；（3）通過觀察、操作、想象、推理、交流等活動，進一步體會類比、分類討論等數學思想，發展空間觀念、推理能力和有條理的表達能力，體驗學習數學的價值.

教學重點：三角形三邊關系的探究、歸納和應用.

教學難點：復雜圖形中三角形的識別及三角形三邊關系的應用.

說明 課前分析和預設，實際是教師獨立地對學材進行建構. 教師的獨立建構主要是指根據《數學課程標準》以及學生群體和個體的學習經驗等實際情況，對“學材”進行適當的調整（增刪、強化或弱化等處理），以及創設合適的教學情境等. 即教師根據數學知識發生的規律與內在聯系、學生學習的基礎與可達到的高度，以及發展思維能力、優化思維品質、學會學習方法、激勵學習自信與自覺的教學追求，獨立地進行“學材再建構”.

教師的獨立建構重點體現在教學預設方面. 具體設計教學流程時，要注意由學生的原有經驗出發，適當調整教材的呈現順序（具體見“教學過程實錄”）. 這樣的建構不僅能讓學生學會知識，更重要的是，能讓學生體驗研究幾何圖形的一般思路和方法，為以后的學習打基礎.

教師獨立建構的目的是將學生散亂的知識系統化、感性的經驗理性化. 在引導學生建構三角形知識的同時，教師要引導學生將實踐性的、操作性的經驗理性化、系統化，最終形成邏輯化的、符號化的科學知識體系及研究幾何問題的基本思路和方法.

教學過程實錄（簡）

1. 三角形及其相關概念

引入：三角形是基本的幾何圖形，在生產、生活中被廣泛應用（圖片展示），生產、生活中到處都有三角形的形象. 那為什么要采用三角形結構呢？這與三角形的特點有關. 從本節課開始，我們將系統地學習三角形知識.

在原有基礎上自主構建三角形的定義

（1）自主回憶

師：我們已經知道了三角形的哪些內容？（比一比誰知道的最多、最全）

方式：學生代表回答，教師根據學生的回答，將相關內容板書在適當的位置.

（2）自主梳理

師：同學們說的很多，但是每個人都沒有說全. 你能將這些零碎的、雜亂的知識歸類嗎？

方式：學生代表回答，教師根據學生的回答，在適當的位置板書（如圖1）.

（3）自主建構

師：你能根據自己的觀察，給三角形下一個定義嗎？（什么樣的圖形是三角形？）

生1：由三條線段組成的圖形叫三角形.

師：任意三條線段一定能組成三角形嗎？（讓學生在紙上畫一個三角形）

生2：由三條線段圍成一個封閉的圖形才叫三角形.

師：解釋一下“封閉”的意思.

師（PPT展示）：圖2所示的圖形是三角形嗎？為什么？

生3：組成三角形的三條線段必須是端點順次相連接的.

師：我們稱之為“三條線段首尾順次相接”（邊說邊板書）. 還有補充的嗎？

生4：組成三角形的三條線段不可以在同一條直線上.

生5：應該在同一平面內.

師：你們說的都對. 誰來完整地說一下什么樣的圖形是三角形？

生6：在同一平面內，由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫三角形. （師板書）

師（追問）：如果沒有“不在同一直線”這個條件，將會出現什么情況？如果沒有“首尾順次”或“在同一平面內”呢？（學生舉例說明）

設計意圖 “學材再建構”還包括學生的獨立建構和師生共同建構. 學生的獨立建構主要是指學生在教師的引導下自主學習，建構概念、法則等，整理知識結構，接納新認知并融入原有認知結構. 在引導學生獨立回憶、相互補充三角形的相關知識后，教師引導學生自主調整、梳理. 在此基礎上，教師有意識地安排板書，為后面知識結構的形成做準備. 在自主回憶、梳理的基礎上，教師讓學生嘗試根據所梳理的內容對相關概念進行建構，盡可能地將學生的已有經驗全部釋放出來，從而強化正確認知，糾正錯誤認知，并為把經驗認知轉化為科學認知做準備.

師生共同建構主要是指在課堂教學中，生生互動、師生互動、動態生成的過程. 如，建構三角形的定義時，當學生說不出或說不全時，教師可讓學生在練習本上畫三角形，并觀察畫圖過程，然后讓學生用自己的語言描述圖形是如何畫出來的（當然，教師有時直接出示圖形讓學生判斷就可以了）. 在這樣的過程中，通過學生的回憶、梳理與嘗試建構，教師引導學生最終建構起研究“三角形”相關知識的路線圖：定義→主要（派生）元素→表示方法→主要（派生）元素性質→三角形的分類→特殊三角形→特殊三角形的性質、判定→兩個三角形的關系（全等、相似等）.

2. 三角形的表示方法

師：如何形象地表示三角形呢？（以A，B，C為頂點的三角形表示為△ABC，讀作三角形ABC）

試題 請用符號表示（如圖3）.

（1）圖中共有______個三角形，它們分別是______；

（追問：你是怎樣找的？）

（2）以AB為邊的三角形有______；

（3）以∠C為內角的三角形有______；

（4）以E為頂點的三角形有______.

方式：學生代表回答，余生自主補充、糾正.

3. 三角形的分類

師：圖3出現了各種不同形狀的三角形，若按三個內角的大小進行分類，該如何分？你的分類標準是什么？

生1：按“有沒有直角”可分為直角三角形、鈍角三角形和銳角三角形.

生2：生1的分類不對. 按標準“有沒有直角”，三角形應該分為直角三角形和沒有直角的三角形（含鈍角三角形和銳角三角形）.

師：那按照邊的關系，三角形應如何分類呢？

生3：按照“沒有邊相等、有兩邊相等和有三邊相等”，三角形可分為不等邊三角形、等腰三角形和等邊三角形三類.

生4：把等邊三角形和等腰三角形獨立分開，這樣的分類是不對的！我們早就知道，等邊三角形是一種特殊的等腰三角形，也就是說，等邊三角形就是等腰三角形.

師：那么，按照邊的關系，三角形該如何分類呢？分類標準是什么？

生5：按“是否有邊相等”來分類，三角形可分為不等邊三角形和等腰三角形. 而等邊三角形包含在等腰三角形內.

生6：按“是否有邊相等”來分類，三角形可分為不等邊三角形和等腰三角形兩類，而等腰三角形又包含底邊和腰不相等的等腰三角形以及底邊和腰相等的等腰三角形（即等邊三角形）.

師：三角形的分類有兩種分類方法. 不管如何分，必須按照一定的標準，而且要不重不漏（邊說邊完善板書）. 請完成三角形包含圖（由學生獨立完成如圖4所示的包含圖，滲透集合的概念）.

設計意圖 師生共同建構，有群體性建構和個體性建構兩種類型，它們有時獨立進行，很多時候也是同時進行的. 在這一過程中，教師要高度關注學生在學習上的差異，充分暴露學生的思維，并適時根據學生的差異性和即時反應相機引導，因材施“學”. 如對三角形按邊進行分類時，學生就存在差異. 教師通過問題“你的分類標準是什么”引導學生反思，通過學生獨立思考、小組交流，學生很快意識到：三角形按“邊是否相等”這個標準可分為不等邊三角形和等腰三角形.

4. 探究三角形的三邊關系

師：通過剛才的學習，我們知道三角形是由三條不在同一直線上的線段首尾順次相接所組成的圖形，那么任意三條線段都可以組成三角形嗎？下面我們來重點研究三角形的三邊關系.

生（齊）：三角形的兩邊之和大于第三邊.

師：誰來說說理由？（在無人回答的情況下，出示以下問題）

問題如圖5，元宵節的晚上，房梁上亮起了彩燈，裝有黃色彩燈的電線（AB和AC）與裝有紅色彩燈（BC）的電線哪根長呢？說說你的理由.

生1：裝有黃色彩燈的電線長（即AB+AC>BC），因為三角形的兩邊之和大于第三邊.

生2：把“三角形的兩邊之和大于第三邊”作為解釋“AB+AC>BC”的理由，這明顯不對. “AB+AC>BC”的真正原因是“兩點之間，線段最短”.

師：在△ABC中，除了AB+AC>BC外，三邊還有哪些不等關系？

生3：AC+BC>AB，AB+BC>AC.

生4：應該說三角形的任意兩邊之和大于第三邊. 也就是，三角形的三邊必須同時滿足以上三個不等式.

師：那么，在三角形中，任意兩邊之差與第三邊有什么關系呢？你是如何得到的？

生5：三角形的兩邊之差小于第三邊. 根據“不等式的性質”，將以上三個不等式進行適當的“移項”可得.

師：三角形的兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊. 反過來，如何判斷三條線段能否構成三角形呢？

設計意圖 這個過程包含教師的獨立建構和學生的獨立建構，也有師生共同建構. 當學生不能回答“三角形的兩邊之和大于第三邊”的理由時，表示學生的獨立建構失敗. 為此，教師及時調整教學過程，通過實際例子，再次引導學生獨立建構，教師的及時調整就是教師的獨立建構. 同時，生生之間、師生之間通過交流，建構新知，這就是師生共同建構.

5. 自主訓練，鞏固提高

試題1 下列每組數分別是三根小木棒的長度，用它們能構成三角形嗎？

5 cm，3 cm，2 cm；

5 cm，2 cm，1 cm；

5 cm，3 cm，4 cm.

追問：你是怎樣判斷的？

試題2 有兩根長度分別為5 cm和8 cm的木棒，加一根長度為2 cm的木棒，它們能擺成三角形嗎？為什么？加長度為13 cm的木棒呢？

追問：（1）你能取一根木棒，與原來的兩根木棒擺成三角形嗎？

（2）已知三角形的兩條邊分別是a和b（a>b），那第三條邊c在什么范圍內？

（3）已知一個三角形的兩邊長分別為5 cm和8 cm，若該三角形的周長為奇數，則第三條邊的長為多少？

設計意圖 解決試題的過程不僅直接鞏固了“三角形的兩邊之和大于第三邊”（在根據條件列方程求解后，用“三角形的兩邊之和大于第三邊”判斷所得結果是否合理），而且鞏固了三角形的分類. 在這樣的過程中，“學材再建構”的三種建構相輔相成.

6. 課堂小結，反思質疑

（1）我們是如何研究三角形的？

（2）如何正確理解以下內容？

①三角形的定義；②三角形的分類；③判斷三條線段能否構成三角形.

（3）通過對三角形的初步研究，你積累了哪些重要的學習經驗和學習方法？

師生共同總結：①研究一個幾何圖形，一般包含定義、表示、性質（判定）；②關于以前已知的結論，必須通過推理證明后才可以作為說理的依據（如我們已經知道三角形的內角和為180°，后面將學習內角和的證明及其應用等）；③分類要有一定的標準，要做到不重不漏.

設計意圖 從知識、方法、過程等方面設計課堂小結，不僅能幫助學生獲得知識、形成技能，而且能讓學生在發展能力、養成品德等方面有提升，尤其能讓學生了解一些幾何中研究問題的基本思路和方法，并會簡單地推理證明.

7. 課后作業，分層鞏固

必做題：教科書P8第1、2、6、7題.

選做題：（1）教科書P29第9題；（2）已知等腰三角形的周長為20 cm，底邊為x cm，則x在什么范圍內？

附：板書設計（如圖6）.

教學反思

1. 學材不只是教科書，也不僅包括教科書外的參考書、學習材料等，還包括教學手段、教學方法等教學資源. 例如，學習“二次函數”，我們的學材除教材外還包括函數的研究方法、研究經驗和相關認知結構，以及通過何種方式來呈現這一過程等.

2. “學材再建構”的三種建構，并沒有嚴格意義上的時間順序，也沒有嚴格的區分界定（分列出來講，只是為了表達方便）. 事實上，這三種建構有時幾乎是同步進行、渾然一體的. 課堂教學中，師生共同建構還有時差性，比如當教師提問等待學生思考的時候，那學生就在進行獨立建構；教師根據學生的反饋，及時調整教學過程，那就是教師的獨立建構；當教師和學生的思維相互碰撞產生新想法時，就是師生的共同建構.

3. “學材再建構”的結果就是引導學生自主接納新認知并融入原有認知結構，在生生之間、師生之間深度交流中激發火花，啟迪思維，形成共識，乃至產生創新成果. 在這個過程中，只有師生互動、生生互動、深度交流，才能達到知識、技能、方法、經驗、能力、情感、態度以及價值觀的生成（建構）.

所謂“生成”，絕不止于教師預設之外、出乎意料的課堂學習情態（這充其量只是一部分的“生成”，而不是全部），更多的“生成”應該是廣義上的“生成”，指教師引導下學生思路的開發、碰撞的熱烈、智慧的生長、才情的豐富. 即指學生知識、能力的自主生長，逐漸生成. 它指的應該就是“產生、生長、成型”等意思. 需要特別強調的是“生成”對學生而言的自主自為性. “生成”首先和最終都是學生自己的事，不經學生自我“生成”的知識是沒有價值的，知識的學習最重要的是靠學生自我建構.

4. 實施“學材再建構”要注意的幾個問題：

（1）系統的知識體系. 既不能將書本上的知識分解成孤立的一個個知識點，一個個地學、記、用，也不能只拘泥于本節本章甚至本學科的知識，教師必須認真研究教材，弄清知識的背景、內涵及延展，掌握教材體系及編者的編寫意圖.

（2）精心尋找最佳結合點. 研究學生的知識經驗、認知水平、情感、態度，找到與新授內容的最佳結合點，教師才能做到教為學服務，才能通過有的放矢，有效引導，使學生自主、自覺、快速進入自主學習進程. 如新授內容對于學生來說，學之初，并非全從零開始，有的是在上一學段就學過（只是學的深度、廣度和要求不同）；有的學生在生活實踐中已有初步的感性認識，如此等等. 所以教師必須認真分析、研究，從學生的實際出發，這樣，教師所組織的新授內容才是學生“新鮮的”“有興趣的”“有求學需要的”“有能力自主學習、探索學習”的，學生的主體性才能得以激發.

（3）努力使知識回歸生活. 要充分揭示并運用課本上的知識與生產、生活實踐相聯系，使學生感悟到知識源于實踐，知識就在我們身邊，知識用于實踐，我在用知識；使教學過程成為師生、生生真情交往、積極互動、共同發展的過程.