縱橫理念在幾何解題中的應用

魯永明

[摘 要] 本文通過用垂直理念證明勾股定理和解決典型例題來闡述垂直在幾何解題中的價值. 若能提煉出問題中的垂直，往往能使問題回歸源頭，易于解決. 同時，其也說明了構建理念的重要性.

[關鍵詞] 垂直；縱橫理念；勾股定理

問題由來

筆者有幸拜讀了重慶市萬州高級中學張進老師發表在《中學數學教學參考》2017年1-2期上的一篇文章——《探索一道競賽試題解法的心路歷程》，這是第24屆“希望杯”中的一道填空題，題干如下：

如圖1，在梯形ABED中，∠D=∠E=90°，△ABC是等邊三角形，且點C在DE上，如果AD=7，BE=11，則△ABC的面積為______.

張老師居然探索出13種解法，簡直匪夷所思，令人嘆為觀止！相信對于有一定基礎的學生一定會腦洞大開、受益匪淺！

縱橫理念

那么，是否還有其他解決途徑呢？筆者想到了垂直（稱為縱橫）. 筆者在長期的教學實踐中感悟到了垂直關系在解決幾何問題中的重要地位，于是筆者在幾何學中漸漸有了一個重要的理念——縱橫理念，即在解決幾何問題的過程中，盡可能提煉出問題中的垂直關系，并以垂直為線索展開實踐、探索活動，直至問題解決.

人類進化的標志性特征是直立行走，從數學的視角來看，直立行走就是垂直，而垂直只是一種表象，背后蘊藏著一股強大的生命能量！勾股定理就是最好的例證之一！把直角看作縱橫，勾股定理就是揭示斜與縱橫之間的一種數量關系.

縱橫理念證明勾股定理

已知：如圖2，設直角三角形的三邊長分別為a，b，c（c>b≥a），求證：a2+b2=c2.

勾股定理從“形”的角度理解，就是用小正方形①和②去填滿大正方形③. 根據縱橫理念，以小正方形①和②的位置為基本縱橫，并以此為基準，將大正方形③的縱橫進行再次“縱橫化”，以順應基本縱橫. 具體操作如下：

（1）把圖2中的正方形②向左平移a個單位長度，如圖3，直角邊b將正方形②分割成左、右兩個矩形，左矩形的長為b，寬為a，右矩形的長為b，寬為（b-a）. 直角三角形的斜邊c把左矩形分成兩個全等的直角三角形，即△和

回到本文開頭的那道競賽題，依然可用縱橫理念來演繹不同的解法.

分析 從圖1中可以提煉出兩個縱橫：“U”字形縱橫，即AD⊥DE，BE⊥DE構成了本題的基本縱橫；而等邊三角形的特殊性在于，它是由兩個全等的含30°角的直角三角形構成的，所以，很容易想到高——垂直，這就是等邊三角形ABC的縱橫. 類似勾股定理的證明方法，對這個三角形再次進行“縱橫化”，以順應本題的基礎縱橫，使兩個縱橫互通有無.

回顧反思

“不忘初心，方得始終. ”縱橫是不是數學世界里的源頭？是不是數學世界里的初心？這也許是個大課題，但人類探索“源頭”的步伐從未停止. 《周髀算經》中記載了“周公問算”，即商高曰“數之法出于圓方，圓出于方，方出于矩”；《幾何原本》從五個公設出發，建立了一個完整的歐氏幾何體系；笛卡兒在垂直的基礎上創建了直角坐標系……

“理念是行動的先導. ”讓解題成為孩子建立理念和踐行理念的平臺，成為孩子們漸修的一種途徑，并在這個過程中不斷發展和完善自己的理念體系，提升認識事物的境界.

探究新知需要實踐、操作、猜想、證明，建立理念的過程同樣需要一個曲折的積累過程，積累到一定的量時，這些理念便會慢慢清晰，成為孩子人生中的公設. 他們可以從這些理念公設出發，書寫自己生命中的《幾何原本》.