以問導學，開啟智慧之門

蔣建東

[摘 要] “以問導學”是一種以解決問題為中心組織教學的模式，旨在讓學生體會提出問題、分析問題、解決問題的過程，經歷師生共同探索、發現和創造，完成數學知識的自建構，以獲取數學知識和數學能力.

[關鍵詞] 以問導學；勾股定理；實際問題

學貴有疑，學生要學習數學知識、發展數學解題能力，要經過“觀察模仿、自發領悟、自覺分析、形成能力”階段，要讓學生形成解決問題的能力，教師的首要任務是質疑. 波利亞的《怎樣解題》可以認為是比較早的以解決問題為主要任務的教學模式，書中的精髓“怎樣解題表”激發了無數師生的數學潛能. “怎樣解題表”雖不是萬能方法，當然也不存在萬能方法，但它給我們提供了一種如何去解決問題的參照. 即“以問導學”模式的基本流程：創設情境，提出問題→師生合作，分析問題→解決問題，得出結論→運用新知，鞏固提高. 教師的教學過程以一個個精心設置的“問題”呈現出來，層層設疑，步步推進，啟發學生沿著教學目標前進.

蘇教版八年級上冊“勾股定理的簡單應用”是初中數學的重點內容，利用勾股定理進行直角三角形邊長的計算在幾何計算中應用極其廣泛. “勾股定理的簡單應用”的教學目標是“能熟練運用勾股定理進行計算，會用勾股定理解決簡單的實際問題”. 在本節課中，“以問導學”可以讓學生更深刻地掌握勾股定理的內容和計算方法，更熟練地學會用勾股定理知識解決實際問題. 下面以這節課為例，進行闡述.

以問啟航，溫故而激趣

興趣永遠是最好的老師. 在課堂教學中，通過溫故舊知識的方法同樣可以激發學生參與課堂的興趣. 比如，教學時，教師提出問題：上節課我們已經掌握了勾股定理的內容及公式的變形，那么你認為勾股定理在實際問題的解決中有什么作用呢？

生1：在直角三角形中可以由已知兩邊的長求出第三邊的長.

生2：在特殊的直角三角形（如含有30°角的直角三角形和等腰直角三角形）中，已知一邊的長度可以求出另外兩邊的長度.

師：通過上節課的學習，大家都已掌握勾股定理的內容及簡單運用，其實勾股定理在生活中也有廣泛的運用.

熟悉的知識會讓學生對今天的學習倍感興趣、充滿好奇，學習的興趣由此而發，思維之門也為學習敞開.

以問啟思，探究而啟智

探究是思維的靈魂所在，其在關注學生深度學習、提升學生學科能力的培養中起到了至關重要的作用. 教師用問題啟發學生的探究思維、引領探究方向、啟迪探究智慧，能讓學生在問題中真正參與到深入探究的歷程中.

探究1一個門框的尺寸如圖1所示，一塊長為3 m、寬為2.2 m的薄木板能不能從門框內通過？為什么？

思考：（1）薄木板怎樣通過？（生：斜過來即可）

（2）在長方形ABCD中，誰是斜著能通過的最大長度？（生：對角線AC的長）

（3）薄木板能否通過，關鍵是比較誰與誰的長短？（生：比較AC的長度與木板的寬度）

解：（3）在Rt△ABC中，根據勾股定理得AC2=AB2+BC2=12+22=5，所以AC=≈2.24. 因為AC>2.2，所以木板能從門框內通過.

設計意圖 該問題作為本課所學內容的起始問題，難度較低，基本適宜所有能力層次的學生，有利于提高學生的課堂參與度，給學生充分的信心；另一方面，以生活中較為常見的實際問題為例，能讓學生深刻體會數學與生活的密切關系，從而對本節課的內容產生興趣.

探究2 如圖2，一架3 m長的梯子AB斜靠在一豎直的墻AO上，這時AO的長為2.5 m. 如果梯子的頂端A沿墻下滑0.5 m，那么梯子的底端B也外移0.5 m嗎？

思考：（1）梯子底端B隨著梯子頂端A下滑而外移到點D，那么誰的長度就是梯子外移的距離？（生：BD的長度）

（2）BD等于什么？要求BD的長，關鍵是要求出誰和誰的長？（生：BD=OD-OB，要求BD的長，關鍵是要求出OD和OB的長）

（3）梯子在下滑的過程中，哪個量保持不變？（生：梯子的長度保持不變）

（4）如何求OD和OB？你能板書出來嗎？

生：（4）在Rt△AOB中，

OB===，

在Rt△COD中，OD===，所以BD=OD-OB=-≈0.58（m）. 所以梯子的底端B向外移動了約0.58 m.

設計意圖 此問題比上一個問題難度稍高，應引導學生得出“梯子在下滑的過程中本身的長度保持不變”是解決問題的關鍵. 教師在此過程中的任務是設置好具有梯度的問題，教會學生由淺入深、由表及里地觀察問題和分析問題，為解決問題做好準備.

小結 利用問題的形式啟發學生對本節課所使用的方法與思想進行總結，能啟迪學生站在歸納、總結的角度啟發學生思考，促進學生思維增長，以此真正促進學生智慧生長.

師：你覺得用勾股定理解決實際問題的關鍵是什么？

生1：我覺得關鍵是找到直角三角形.

生2：我認為關鍵是審清題意，明確已知什么，求什么.

師：你們總結得都很好，數學中的任何實際問題都要在審清題意的前提下構造我們所熟悉的數學模型，即運用勾股定理解決實際問題的思路是“實際問題→數學問題”.

以問啟訓，實訓而致用

知識與技能只有得到實實在在的訓練才能知道我們掌握了多少，而這種應用只有置身于實際的生產、生活、社會情境之中，才能彰顯其學科價值. 為此，實戰式的訓練能非常有效地促進知識與技能的鞏固，能促進方法與思想的生長.

問題1 如圖3，有兩棵樹，一棵高10 m，另一棵高4 m，兩樹相距8 m，一只小鳥要從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，那小鳥至少要飛行多少米？

問題2 小東拿著一根長竹竿進入一個寬3 m的城門，他先橫著，結果拿不進去，又豎起來拿，結果竿比城門高1 m，當他把竿斜著時，兩端正好頂著城門的對角，問竿長幾米.

（方式：學生獨立完成后小組交流，然后全班展示）

師：你們是如何解決上述兩個問題的呢？

生1：對于問題1，我們小組的做法和答案都是一致的，由“兩點之間，線段最短”，可知小鳥飛行的最短距離是兩個樹梢（分別記為A，C）之間線段的長，可建立如圖4所示的直角三角形，利用勾股定理即可求出AC的長.

生2：對于問題2，我們小組的答案是一致的，都是5 m. 我認為問題2和探究1中的木板能否通過門框的問題相似，不同之處在于已知條件. 問題2沒有告知門高和竹竿的長度，但由“竿比城門高1 m”可設未知數，得出竿的長度和城門的高度，再利用勾股定理建立方程即可.

師：剛才大家通過自己的努力分析問題、解決問題，互幫互助，掌握了用勾股定理解決實際問題的方法，“竹竿入門”是一個平面問題，如果將平面上升為空間，大家是不是也能解決呢？

問題3 如圖5，能否將一根長70 cm的木棒放入長、寬、高分別為40 cm、30 cm、50 cm的長方體盒子中？

師：在這個問題中，我們應該比較木棒和哪條線段的長度？你能找到這里的數學模型并畫出圖形嗎？

（方式：學生共同交流后全班展示）

生：將長方體沿平面ABB′A′切開，切面即是一個長方形（如圖6），該問題即可化歸為平面問題，求出A′B的長后與竹竿長進行比較即可.

從平面到空間，由易到難，該問題不僅能鞏固學生對勾股定理在實際問題中應用的能力，而且能提高學生的空間想象能力，讓學生學會運用化歸思想.

以問回顧，總結而致遠

在課堂教學活動中，啟發學生站在本節課的學習歷程中，分析課堂的得與失、知識與技能、方法與思想，讓思維與經歷碰撞，將收獲與智慧并存，這樣的教學會有效地達到“授之以漁，啟之欲漁”的效果，這也是學生可持續發展的有效保障.

師：通過本節課的努力，你學會了什么？你覺得本節課的重點是什么？

生1：我學會了用勾股定理求直角三角形中邊的長.

生2：我學會了用勾股定理解決生活中的實際問題.

生3：我學會了方程思想、化歸思想的運用.

生4：我覺得在用勾股定理解決實際問題時，最重要的是找準直角三角形.

生5：我認為勾股定理的計算同樣重要.

……

師：很好，大家在這節課中的表現都很出色，且收獲頗豐，相信大家遇到更深層次的問題時也能迎刃而解.

教師自問，反思而共進

教師的教學反思是促進教師專業成長最為有效的教學策略和教學機智，這種策略需要教師落實到點點滴滴的教學行為之中，以此達到真正的教學相長. 就本節課而言，筆者的反思、總結有以下幾點.

（1）勾股定理的第二課時以勾股定理的實際應用為主，學生需要學會的是如何用勾股定理解決實際問題，難度較低，因此在教學過程中以問導學，讓學生經歷問題解決的過程，教會學生發現問題、解決問題的方法，對促進本節課教學目標的完成和學生數學能力的提高均有積極作用.

（2）數學教學中有多種教學模式，“以問導學”只是其中一種，并非適合所有課型，我們只有在設計教學時認真思考，根據教學內容和類型選擇合適的教學模式，才能有效地提高教學效率.

（3）在教學實施過程中，教師最具創造性的工作是設計能引導學生主動參與的教學環境，即設計問題時，好的問題除了貼合本課時的教學內容外，還應符合學生的能力特征，能激起學生的學習興趣，難度適宜，具有一定的開放性. 在教學過程中，教師不能一味地根據教案中的問題逐個提問，而應該以學生為主，根據學生的具體情況和教學進程隨時調整問題.

（4）“以問導學”是一種能力教學，在教學中可以給學生提供一個發現、質疑、創新的平臺，為教師提供一條培養學生解題能力、自控能力和應用數學知識能力的有效途徑，以問題促進學生的學習，培養他們的可持續發展能力，為他們的成長奠定基礎，開啟智慧之門.