在數(shù)學解題中培養(yǎng)學生的元認知能力

黃銀色

[摘 要] 高元認知能力者解決問題的能力明顯高于低元認知能力者，在數(shù)學解題上則表現(xiàn)得更為突出. 解題教學的目的不是純粹為了教會學生解幾道題或幾類題，而是要讓學生在解題的實踐中獲得題感，再從題感中提煉和升華數(shù)學思想方法，最終內(nèi)化成學生的一種元認知能力.

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學解題；元認知能力；調(diào)節(jié)；監(jiān)控；完善

數(shù)學元認知能力是指學生在數(shù)學學習，特別是在數(shù)學解題活動過程中，對數(shù)學認知過程的自我意識、自我監(jiān)控、自我調(diào)節(jié)的能力. 它以元認知知識和元認知體驗為基礎(chǔ)，并在數(shù)學認知活動過程中起指導(dǎo)、支配、決策、監(jiān)控、調(diào)節(jié)的作用.

元認知理論告訴我們，有較強數(shù)學元認知能力的學生，在數(shù)學解題時，一方面能充分認識自身的知識水平、能力水平、智力水平、認知方式等，能對當前數(shù)學問題的結(jié)構(gòu)特征、呈現(xiàn)方式、知識要求、任務(wù)目標等有較清晰的認識和預(yù)見，另一方面又懂得根據(jù)當前數(shù)學問題隨機應(yīng)變，自主計劃、主動監(jiān)控、自如調(diào)節(jié)，以最優(yōu)化的思路、方法、路徑去實現(xiàn)解題目標. 有研究資料表明，高元認知能力者解決問題的能力明顯高于低元認知能力者，在數(shù)學解題上則表現(xiàn)得更為突出.

根據(jù)波利亞的《怎樣解題》，數(shù)學解題的一般步驟為：弄清問題、擬訂計劃、實施計劃、回顧解題. 本文將通過例題，淺談在解題的各個階段中該如何培養(yǎng)學生的元認知能力.

案例

如圖1，在四邊形ABCD中，AD∥BC， AM⊥BC，垂足為M，AN⊥DC，垂足為N. 若∠BAD=∠BCD， AM=AN，求證四邊形ABCD是菱形.

1. 弄清問題

學生讀題后，教師提示：

（1）題目的條件和目標分別是什么？

（2）根據(jù)每一個條件思考給出此條件的目的是什么？

（3）是否明確了要完成的任務(wù)？

若老師能經(jīng)常用這些提示語啟發(fā)和引導(dǎo)學生思考并逐漸將這些知識內(nèi)化為學生的自覺行動，幫助學生養(yǎng)成了元認知習慣，往往能打破思維的僵局，找到解決問題的切入點或突破口.

2. 擬訂計劃

提示1：要實現(xiàn)目標，有幾種解決目標的方法？它們都是什么？

要證明一個四邊形是菱形，學生必須在頭腦中構(gòu)建一個菱形判定方法的知識網(wǎng)絡(luò)：

（1）一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；

（2）四條邊都相等的四邊形是菱形；

（3）對角線互相垂直的平行四邊形是菱形；

（4）對角線互相垂直且相等的四邊形是菱形.

提示2：這些方法能用來解決本問題的有哪些？怎樣尋找思路？

提示3：是否在幾種思路中優(yōu)先考慮最優(yōu)思路？

學生們通過分析對比，發(fā)現(xiàn)本題特殊之處在于：已知一組對邊平行，一組對角相等，所以優(yōu)先考慮“一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形”來證明，其他方法的證明都不可取.

方法1：因為AD∥BC，所以∠BAD+∠B=180°. 因為∠BAD=∠BCD，所以∠BCD+∠B=180°，所以AB∥DC，所以四邊形ABCD是平行四邊形. 所以∠B=∠D. 因為AM=AN，AM⊥BC，AN⊥DC，所以Rt△ABM≌Rt△ADN. 所以AB=AD，所以平行四邊形ABCD是菱形.

方法2：如圖2，連接BD，因為AD∥BC，所以∠ADB=∠DBC. 因為∠BAD=∠BCD， BD=BD，所以△ABD≌△CDB，所以AD=BC. 所以四邊形ABCD是平行四邊形，所以∠ABC=∠ADC. 因為AM=AN，AM⊥BC，AN⊥DC，所以Rt△ABM≌Rt△ADN，所以AB=AD. 所以平行四邊形ABCD是菱形.

方法3：如圖3，連接AC，因為AM=AN，AC=AC，AM⊥BC，AN⊥DC，所以Rt△ACM≌Rt△ACN，所以∠ACB=∠ACD. 因為AD∥BC，所以∠ACB=∠CAD，所以∠ACD=∠CAD，所以DC=AD. 因為∠BAD=∠BCD，所以∠BAC=∠ACD，所以AB∥DC，所以四邊形ABCD是平行四邊形，所以平行四邊形ABCD是菱形.

通過以上的提示，學生的數(shù)學元認知知識對問題解決有目標導(dǎo)向作用，在頭腦中建立一個解決該問題的知識網(wǎng)絡(luò)，從中尋找解決問題的最佳方法，最后形成穩(wěn)定、有效、可控制的元認知技能，從而促進學生解決問題能力的提高和思維方式的遷移.

3. 實施計劃

當學生找到解題思路后，教師繼續(xù)提示：

（1）你充分地進行雙向推理了嗎？

（2）你選擇的方法需要添加必要的輔助線嗎？

通過提示，讓學生理清了雙向推理的證明思路. 例如第一種方法（不需添加輔助線）的分析過程：

①要證四邊形ABCD是菱形四邊形ABCD是平行四邊形（要證），AB=AD（要證）；

②要證四邊形ABCD是平行四邊形？圯AD∥BC（已知），AB∥DC（要證）；

③要證AB∥DC？圯AD平行BC（已知）？圯∠BAD+∠B=180° ∠BAD=∠BAC？圯∠BAC+∠B=180°（證平行）；

④要證AB=AD？圯△ABM≌△ADN？圯AM⊥BC，AN⊥DC，∠B=∠C，AM=AN.

幾何證明題關(guān)鍵在于分析推理，在分析的過程中教師要通過一些提示語，教會學生如何從問題找條件來分析推理，或從條件推結(jié)論分析推理，使學生能展示思考分析過程. 這樣學生的思維才能得到有效訓(xùn)練，慢慢積累元認知經(jīng)驗，形成元認知習慣，提高元認知能力.

4. 回顧解題

解完題目之后，教師引導(dǎo)學生思考：（1）本題的思路特點是什么？（2）這個思路還可以用來解決什么問題？學生據(jù)此展開討論.

解題后，引導(dǎo)學生再現(xiàn)解題的經(jīng)歷，抽取解決問題的關(guān)鍵，總結(jié)解題過程的經(jīng)驗與教訓(xùn)，反思解題過程的成敗得失及其原因，從思維策略的高度對解題過程進行總結(jié)，從中概括出一般性規(guī)律，概括出點點滴滴的新經(jīng)驗、新見解、新體會，以及對問題進行推廣、深化，可以有效培養(yǎng)學生評價、調(diào)節(jié)、監(jiān)控、完善等元認知能力.

結(jié)束語

在解題教學中，數(shù)學元認知的監(jiān)控、調(diào)節(jié)作用能幫助學生正確解題，所以必須注重培養(yǎng)學生養(yǎng)成良好的認知方法和思維策略.

1. 對于復(fù)雜的題目，應(yīng)當幫助學生建立一個有層次的目標體系，即把問題的解決分成幾個有序的階段，建立階段目標，一步一步地逼近整個問題的解決. 這樣可以在整個解題過程中都能清楚地認識自己目前所處的位置，養(yǎng)成優(yōu)質(zhì)的元認知經(jīng)驗.

2. 在解題中注重對學生解題思維的訓(xùn)練，利用一些在數(shù)學解題過程中常用的思維方法，指導(dǎo)學生根據(jù)問題的特點和要求靈活和綜合運用數(shù)形轉(zhuǎn)換、分類討論、歸納猜想、類比聯(lián)想等常用的數(shù)學解題策略去分析問題和解決問題. 還應(yīng)著重強調(diào)這些策略使用的條件，使策略成為“條件化的知識”，最后形成穩(wěn)定而有效的、可控的元認知技能.

3. 不斷引領(lǐng)學生對學習過程及其結(jié)果、學習策略及其效果進行監(jiān)控、評價，充分發(fā)揮元認知本身所具有的監(jiān)控、調(diào)節(jié)特點，加強元認知體驗訓(xùn)練，使學生的元認知能力得到充分的發(fā)展.

總之，解題教學的目的不是純粹為了教會學生解幾道題或幾類題，而是要讓學生“既看到樹木，又見到森林”. 要在解題的實踐中讓學生獲得題感，再從題感中提煉和升華數(shù)學思想方法，最終內(nèi)化成為學生的一種元認知能力.