初等數學2300年之重大錯誤將無窮多各異點集誤為同一集

摘要：初等幾何有史2300多年來一直認定相互平行且距離為0的直線必重合從而有直線公（定）理，進而斷定：等長的直線段必合同。然而集合、幾何起碼常識及區間概念凸顯此“初等幾何起碼常識”其實是將無窮多各異直線（段）誤為同一直線（段）的“以井代天”的2300年“井底蛙”誤區。判斷兩點集是否≌的全新方法讓中學生也能一下子認識3千年都無人能識的偽二重、偽≌直線段，進而認識初等數學有一系列搞錯函數的值域的幾百年重大錯誤——百年病態集論的癥結。

關鍵詞：推翻直線公（定）理；推翻百年集論和百年“R軸各點與各標準實數一一對應定理”；偽二重、偽≌點集；直線（段）的伸縮變換；函數的值域；有序連續變化的變化規律；保序及保距變換

文獻[1][2]證明了直線A沿本身保序平移或伸縮后就≠A了，故“直線公（定）理”其實是將無窮多各異直線誤為同一線的重大錯誤，但未能從幾何上來闡明此事實，本文使人可以如小學生看圖識字那樣看圖識此事實。公元前1100年中國人商高同周公的一段對話談到了勾股定理說明人類認識幾何學的直線段起碼已有3000多年歷史了。2300多年來學、教過初等幾何的人數以億計，其中不少人是著名科學家及著名教育家，他們都沒發現初等幾何有重大錯誤。“所以顯然有科學常識”：因數學是嚴密精確的代名詞故數學，尤其是“已成熟到不能再成熟”的初等數學對直線（段）這一最基本、簡單圖形的認識絕不可能有極重大錯誤；絕不可能有人能推翻現代數學的公（定）理。有一種“凡是”：凡是連“小人物”也談不上的“草根”絕不可能有重大科學發現。人類由認識直線段到發現用而不知的偽二重、偽≌直線段竟須歷時3000多年！但若擔心廣大高中生（應熟悉非常簡單易懂的保距變換概念）看此文后還不能立刻認識這類線段那就是污蔑其是弱智群體了，因挑戰各“絕對不可能”的“反科學”的“超人”發現來自太淺顯的：（1）集合起碼常識a：所謂集A=B是說A的元與B的元可一一對應相等，故點集A≠B的原因是不可“一一對應相等”。（2）中學的幾何起碼常識c：重合的有界圖形（點集）必合同。（3）區間概念。

一、 可看圖識“字”：直線Z沿本身平移或伸縮后就≠Z了——直線公理嚴重歪曲了事物的本來面目

因與x∈R相異或相等的實數均可表為y=x+Δx（Δx可=0也可≠0）故x變換為實數x+Δx的幾何意義可是：一維空間“管道”g內R軸上的質點x∈R（x是點的坐標）沿R軸方向移動變為還在g內的點x′=x+Δx，即實數的改變可形象化（注：真正的形象化而非沒有形象的假形象化）為管道g內質點的位置的改變（設各點只作位置改變而沒別的改變即變位前后的質點是同一質點）。《復分析可視化方法》是復分析領域的一部名著，其公開挑戰當前占統治地位的純符號邏輯推理。顯然沒有寬度的直線和沒大小的“點”是沒有形象的，從而是不可視的。R可形象化為R軸，R各數x可形象化為R軸各點；變數可形象化為g內的動點。數學的圖形可是離散的點的點集。直線上的點集E：……（這不是省略號）各點可作保距或非保距平移。至少有兩元的點（數）集A各元x保距（偏離原位）變為x′=x+Δx組成元為點x′的B≌A。鐵球是鐵分子的集合A，鐵球的熱脹冷縮導致其組織結構變了，A平移到新位置成A′還是由移動前的所有鐵分子組成的集，這移動只是改變各分子的位置而不能改變A的組成成員和組織結構。同樣，保距變換是剛體運動從而不改變點集的組成成員和組織結構。極顯然：E各點之間任意交換位置后還是原點集E，但點與點之間的距離變大（小）后（集的組成成員沒變但組織結構變了）就不能還是原點集了。所以不改變組成成員的變距變換必改變點集的組織結構。有了各點還須有規定各點如何排列聚集的法則才能確定一點集；點還是這些點，但其可聚集成長度為c的直線段A也可聚集成長為c的圓弧等等，A還可伸長（壓縮）變長（短）為新線段（～A）還由A的全部點組成。這說明：質點的坐標與質點本身有根本區別從而使質點集與數（數組）集有根本區別。E中兩個點形成點集B，兩點的距離ρ一發生變化就形成還由這兩點組成的集≠B，因ρ≥0可取無窮多個數故這兩點可形成無窮多均由其組成的各異點集。要注意集的組成成員與集的元素是有根本區別的，例{2，2，2}由3個2組成但其元卻只有一個。

高中有“平面內的不變直線”知識。集合起碼常識a和有序連續變化的變化規律顯示自有變換（函數）概念幾百年來數學一直存在重大錯誤：將變動了的直（射）線誤為不變直（射）線。

設A={x}表A各元均由x代表，變量x的變域是A，其余類推。說R軸各元點x可沿軸保距平移變為點x+Δx=y=x+1就是說R軸可沿軸正向平移距離1變為y=x+1軸，其余類推。R各元x保序變為y（x）=x+Δx=kx生成I={y}各元y=kx中的正常數k若≈1則I各元y=kx≈（1+0）x=x（x=0時kx=0）與R各元x一一對應近似相等（或對應相等）使I≈R（xy平面的直線y=kx≈x與直線y=x近似重合）；顯然當且僅當k=1時才有：I各元kx=x與R各元x一一對應相等使I=R。可見數集相等概念表明x軸保序伸縮變換為y（x）=kx軸≠x軸（正常數k≠1）；當然肉眼不可察覺此事實，但下文使人憑肉眼就能察覺。

有共同橫坐標的點（x，y）與點（x，y′≈y）近似重合。直線A：y=x（y∈R）各元點P（x，y=x）中的x不變而y=x保序變為y=kx≈x（正常數k≈1）就使A變為元是點P′（x，y=kx≈x）的直線B：y=kx≈x而與直線y=x近似重合，原因是兩線各點的縱坐標y=x與y=kx≈x一一對應近似相等（或對應相等）；顯然若“一一對應相等”則兩線必重合，故兩線只可近似重合而不可重合的唯一原因是各y=x∈R與各y=kx≈x不能一一對應相等。這就形象地說明R各元x非恒等變換地保序變為y=kx生成I各元y=kx與R各元x不可一一對應相等使R≠I。

h定理1：U各元點（x，y=x）中的x不變而y變為y′=y′（x）得元為點（x，y′）的V，V=U的必要條件：U、V各元點有一一對應關系：點（x，y）點（x，y′）且y=x與y′=y′（x）同為x的增函數；滿足此條件的U、V不重合的原因是關系式中的縱標y′與y不可一一對應相等。

證：U、V各元點（x，y=x）與（x，y′）中的函數y=x與x的對應關系的關系圖就是U，函數關系y′=y′（x）的關系圖就是V，若U=V則顯然定義域相同的y′與y必是同一函數。A各元y=x變為y′=y′（x）組成B={y′}，設各x是平面點的橫坐標，各y與y′是縱坐標。y（x）=y′（x）時點（x，y）∈U與點（x，y′=y）∈V重合說明U、V各元點的縱標y（x）與y′（x）若一一對應相等則各元點必一一對應重合使U=V。故若U≠V則必表明各縱標y與y′不可一一對應相等。證畢。

h定理2（實際上是文[3]中的h推論1）：至少有兩元的數集A非恒等變換地保序變換為B必≠A。

證1：若數集A=B則顯然A的元與B的元必可由小到大一一對應相等。A各數在集內分別都有一定的大小“名次、地位”，例在A={0，1，2}中：2是第一大的數，1是第二大數，0是第三大數；A各元x保序變為x2組成{0，1，4}也有第一大、第二大、第三大的元。大小互不同的雞組成集A和B，a（b）是A（B）中第n大的雞，顯然若A=B則a和b必是同一雞。任一A={x}各數x保序變為y=y（x）（y是增函數）組成B={y（x）}，x∈A在A中的大小“地位”與y（x）∈B在B中的大小地位是一樣的，顯然若A=B則x與y（x）必是同一數，故若y（x）不≡x則B≠A。

證2：x軸各元點x變為點y=x得元為點y=x的y=x軸。A各元y=x可形象化為y=x軸（⊥x軸）的元點y=x∈y軸而分別都有一定的高度（可<0），A各點y=x沿y軸方向非恒等變換地保序升高（降低）變為點y′（x）形成B={點y′}相應數軸，y′（x）是x的增函數。將各點（x，y）的縱標y稱為點的高，直線y=x是由高低各不同的點（x，y=x）從低到高有序聚集成的。直線y=x的子集U={（x，y=x）|y=x的變域是A}各高為y=x的元點非恒等變換地保序升高（降低）（保高、低順序）移動變為高是y′（x）的點P′（x，y′）∈V，因各元點移動的方向均⊥x軸故各P′不能都還在直線y=x上；故所有點P′組成的V={（x，y′（x））|y′的變域是B}≠U，原因是各y與y′不能一一對應相等，據h定理1。這形象地說明A各元y=x與各對應y′（x）∈B不能一一對應相等使A≠B。證畢。

相比之下x軸上的點x與點x+c≈x（c≈0）近似重合，要注意近似式中的c是與1相比而非與x相比≈0即c是與±1相比而非與x相比距0極近。R軸即x軸各點x沿軸非恒等變換地保序平移變為點y=x+Δx=x+非0常數c生成元為點y的y=x+c軸疊壓在x軸上，中學數學一直認定x軸=y軸即函數y=x+c的值域y軸=x軸，因初中幾何有直線公理（有書“證明”這是定理）：過空間兩異位置點有且只能有一條直線。其實這是違反集合起碼常識a的肉眼直觀錯覺。理由：①據h定理2這非恒等保序變換前后的直線不相等。②可從二維圖形上說明此事實。有相互平行的直線y=x（y∈R）和直線y=x+c，由圖像可見若c≈0則直線y=x+c≈x+0與直線y=x近似重合，原因是兩線各點的縱標y=x與y=x+c≈x一一對應近似相等；故兩線只可近似重合而不可重合的唯一原因是各y=x與各對應y=x+c不能一一對應相等；據h定理1兩線不可重合的原因是不可“一一對應相等”。這形象地說明R各元x與各f（x）=x+c不能一一對應相等；顯然各x只能與各x+c中的x一一對應相等而不可與各x+c本身一一對應相等。可見數集相等概念表明x軸沿軸平移變為y=x+c軸≠x軸。③第三節指出y=x+c（c>0）軸有點的坐標y=x+c>R一切數x使R是有界集！

x軸非恒等變換地保序不保距（收縮）變換為元為點y=x+Δx=0.5x的y=0.5x軸（不≌x軸）疊壓在x軸上，中學一直認定x軸=y軸，因有直線公理。其實這是肉眼直觀錯覺。理由：（1）同上①。（2）直線y=x各點P（x，y=x）變為點P′（x，y=0.5x）（y是增函數）得元為P′的直線y=0.5x與直線y=x不重合，原因是兩線各點的縱標y=x∈R與y=0.5x不能一一對應相等，據h定理1。顯然各0.5x只能與各x=0.5x+0.5x∈R中的0.5x一一對應相等而不可。（3）不保距（收縮）變換是改變點集的組織結構的變換：使元點間的距離變小的變換。所以y=0.5x軸不≌x軸反映出兩軸有不同的組織結構。（4）下節證明[a，b]x軸與[a，b]y=0.5x軸是偽二重直線段（區間）——從另一側面表明0.5x軸與x軸是偽二重直線。

同理可證：x軸沿軸（非恒等變換地）保序伸縮、平移成X=kx+b軸（疊壓在x軸上）≠x軸，其中常數k>0是伸縮因子，b≠0是平移因子。所以“據直線公理X軸與x軸重合”是中學幾百年解析幾何的直觀錯覺，是搞錯X=kx+b（增函數）的值域的以井代天錯誤。

R所有非負元x≥0組成R+，數學將R+記為[0，+∞）。R軸的射線x≥0即射線R+各元x≥0非恒等變換地保序變為y=x+Δx=xk≥0（正常數k≠1）組成{y}=Y疊壓在R+上（說R+=Y就是說Y是射線R+），中學幾百年“Y=R+”是肉眼直觀錯覺。理由：（1）據h定理2Y≠R+。（2）可從幾何上說明此事實。設xk中的k=2，平面上的直線y=x上的射線y=x≥0（x的變域是R+）各元點（x，y=x≥0）變為點P′（x，y=x2≥0）得元為P′的拋物線y=x2≥0（x≥0，y=x2是增函數）與射線y=x≥0不重合，原因是兩線各點的縱標y=x≥0與y=x2≥0不能一一對應相等，據h定理1。這形象地說明R+各元x≥0與各對應x2≥0不能一一對應相等使R+≠Y。同理，直線段V=[0，1]R+各元x（0≤x≤1）非恒等變換地保序不保距變為y=xk（正常數k≠1）組成S≠V；且據幾何起碼常識c因S不≌V故S≠V，中學幾百年“S=V”是違反幾何常識c的錯誤。據h定理2R+各元x≥0非恒等變換地保序變為y=2x2≥0組成{y}=C≠R+；……

同理可證：R各元y=x非恒等變換地保序變為y′=x3組成R′={y′=x3}（y′是x的增函數，相應有平面直線y=x與曲線y′=x3）≠R，中學幾百年“R′=R”是重大錯誤。

研究圖形A的投影T非常重要，T隨A的連續運動而連續運動。電燈在斷電之前一直都那么亮，而手電筒的光亮度是隨著電池的電量的減少而逐漸減弱直至無光亮的；后者是有序漸變。復平面z=x+iy的x軸即直線z=x繞點z=0逆時針旋轉α角（0°≤α≤90°）變為直線B：直線z′=x（cosα+isinα）=xcosα+ixsinα=u+iv（相應有u=xcosα軸），α=0°時直線B=x軸而在x軸的正投影T=x軸，轉角α由0°→90°使B由∥x軸變到⊥x軸，B在x軸的正投影T隨之就從T=x軸開始連續不斷地收縮變換成T=u（=xcosα）軸（0≤cosα≤1），最后收縮成只有一個元u=xcos90°=0的點集T={點u=0}。有無窮多個元的直線T與只有一個元的{點u=0}有無窮大的差別。T由直線（x軸）收縮變化最后變為只有一個元的點集這種有序連續變化的變化規律必是：T先與x軸有較小的差別（α≈0°時）然后再有較大的差別，最后有無窮大的差別，正如可=0的有序連續變化的變數x由正數變為負數時必先=0然后才能=負數一樣，正如一人不經過兒童期就絕不可進入少年期一樣。可見連續運動、變化的有序漸變的性質從一側面表明x軸保序收縮變換為u（=xcosα）軸（正常數cosα<1）必≠x軸。據直線公理說直線T=x軸在收縮成只有一個元的點集之前的各次收縮變換后總=x軸（注：運動的直線可暫時固定一下），無異于說T的收縮變化不是有序連續變化。這直線公理嚴重歪曲了事物的本來面目，正如“一個什么都不懂的嬰兒在變為科學家之前的幾十年間一直≡嬰兒，只要其達到一定年齡的某一天就突變成科學家。”嚴重歪曲了事物的本來面目一樣。產生邏輯悖論是因主觀認識與客觀實際不符。正確反映現實世界的空間形式與數量關系從而正確反映有序連續變化的變化規律的數學，才是真正的數學。注！第三節揭示R軸是有界集！由錯誤的公理推出的“定理”必是偽定理。

注：x軸各點x沿軸平移變為點u=kx（正數k=cosα≤1）生成還由x軸所有元點聚集成的u=kx軸～x軸。u軸各點u=kx→0（k由1→0）變為點u=kx=0x即各點u沿軸移動到其極限位置u=0處聚集成的單元點集{u=0x=0|x的變域是x軸}還由u軸所有元點組成——點還是這些點，但其都集中在同一位置上就形成單元點集了。

二、 幾何起碼常識c讓3000年都無人能識的偽二重直線段一下子浮出水面推翻百年集論——初等幾何2300年極重大錯誤：將無窮多各異圖形誤為同一圖形

有人體穴位圖A和B，A（B）中各穴位P（P′）到太陽穴P0（P0′）的距離是變數ρ（ρ′）≥0，若B≌A則顯然ρ′與ρ必是同一變數，P0與P0′互為合同對應穴。文[2]提出一種判斷兩點集是否≌的新方法：

h定理3：若點集A（至少有兩元）各元點x保距變為點y（x）生成B={y（x）}≌A則A各點x到A任一固定點x0的距離ρ=|x-x0|=ρ′=|y（x）-y0（x0）|=B各元點y（x）到點y0（x0）（點y0與點x0互為合同對應點）的距離，即ρ′與ρ是同一距離函數。同理A與B≌A可是二、三維空間點集，……。

證：由A≌B的定義ρ′=ρ。同理……。證畢。

區間[0，1]表示0與1及0與1之間所有數組成的集，但要注意后文表明[0，1]與[0，1]x軸或x′軸等，是不同區間；……。由h定理3判斷數集A與B是否≌時若A各元均由x代表則B各元須由別的字母例y等代表。在“一一對應相等”中應注意：0≤x≤1和0≤x+1≤1（-1≤x≤0）中括號外的x和y=x+1的變域均為區間F=[0，1]，y=x+1中x的變域W=[-1，0]可平移距離1變為F。W的最大元x=0變為y=x+1（x=0）=1（∈F=[0，1]）=x（=1），因不等式規定F各元也均由x代表；這里的x+1=x=1中等號兩邊的x是不相等的，此x=0，彼x=1。F=[0，1]各元是x=h；F各元也可是y=x+1=h，當y中x=y-1的變域是W時。各x=h與各y=h當然可一一對應相等：x=hy=x+1=h（恒等對應），但要注意箭頭兩邊的x是不相等的。所以元為x的W變為元為y=x+1的F的變換，是W平移距離1的變換；元為x=h的F變為元為y=x+1=h的F的變換，是恒等變換。所以A=[0，1]x軸各元點x=θ到A的中點x=1/2的距離ρ=|x（=θ）-0.5|，B（=A）=[0，1]y=x+1軸各點y=x+1=θ到B的中點y=1/2的距離ρ′=|y（=x+1）-0.5|（x+1=θ）=ρ；同樣A各點x=θ到A的左端點x=0的距離|x（=θ）|與B各點y=x+1=θ到B的左端點y=0的距離|y（=x+1）|（x+1=θ）是同一距離函數。要注意閉直線段E≌E′且E∥E′中E的左（或上）端點P與E′的左（上）端點P′不一定是合同對應點，E保距且保序變為E′≌E才能使P′與P是合同對應點。將非合同對應點誤為合同對應點就會得錯誤的結果。

h定理4：至少有兩元的點（數）集A={x}（B={y}）任兩異元x與x+Δx（y與y+Δy）之間的距離是|Δx|（|Δy|），A≌B的必要條件是|Δx|=|Δy|即Δy=±Δx，充分必要條件是A、B各元有一一對應關系：xy=±x+常數c。

證：A≌B時A與B的元必可有一一對應關系：xy=y（x），距離|Δx|=|（x+Δx）-x|=|y（x+Δx）-y（x）|=|Δy|即Δy=±Δx；而當且僅當y=y（x）=±x+c時才有Δy=y（x+Δx）-y（x）=±（x+Δx）+c-（±x+c）=±Δx。證畢。

同理，二、三維空間點集A≌B的必要條件是……。

R軸即x軸收縮變換為y=0.5x軸≠x軸。由-2≤x≤2得-1≤0.5x≤1。自有函數概念幾百年來數學一直斷定“定義域=[-2，2]R的y=x/2=0.5x的值域=[-1，1]R”。這一中學函數“常識”其實是違反幾何起碼常識c的肉眼直觀錯覺。直線段L=[-2，2]x軸有子部D=[-1，1]x軸，L各元點x變為點y=x+Δx=0.5x生成元為點y的線段D′（～L）=[-1，1]y=0.5x軸。～L的D′≠DL的理由：

①保距變換將直線段A的中心點變為新線段B≌A的中心點即若A≌B則A的中點與B的中點必互為合同對應點；假設2300多年D≌D′成立則據h定理3相應的距離ρ=ρ′；然而D各點x到D的中點x=0的距離ρ=|x|，D′各點y=0.5x到D′的中點y=0的距離ρ′=|0.5x|≠ρ；故假設不成立即D不≌D′。②h定理4說明A各點x通過各種保距變換變為點x+Δx=y（x）∈B≌A中的y與x∈A的對應關系只能是y=±x+c（c可=0）；所以D′有無窮多元是y=0.5x（x∈D）說明D不可通過保距變換變為元為y=0.5x的D′即D′不≌D；據幾何起碼常識cD′≠D。③文[1]證明了L～D′的任何真子集都不可～L。其實無人能證D各元x與D′各元y=0.5x能一一對應。各x變為y=x是恒等變換。有人說D可通過恒等變換變為元是0.5x的D′=D，這是錯誤的。要將10噸棉花運到棉紡廠須先用壓縮機將棉花壓縮打包使其體積縮小，壓縮后的棉花只是全部棉花的一小部分嗎？將3斤重的一包餅干A壓縮成壓縮餅干B使B的體積遠小于A的體積，有人以為B是A的一小部分而將其一下子吃光，結果……。這是致命錯誤。同樣線段L收縮變短為與DL等長的D′～L不能成為L的一部分D，中學的D′=D是使康脫誤入百年歧途的重大核心錯誤。這錯誤使康脫推出病態的“定理”：L～DL。“定理”中“=D卻不≌D的D′”中的D′=D因違反幾何起碼常識c從而是根本不能存在的假無窮集，而真正的無窮集D′≠D。

與L=[-2，2]x軸重合的線段β繞L的中點x=0反時針旋轉使β由∥x軸變到⊥x軸，β在x軸的正投影T隨之就不斷縮短使T兩端點的距離由=4逐漸變小到=0致兩端點重合。這T由T=β=L（有無窮多個元）開始連續不斷地縮短變為T=γ=[-1，1]相應數軸，繼而變為T=…，最后收縮成只有一個元的點集T={0}。數學斷定γL即斷定縮短后的T必是縮短前的T的一部分，若此論斷成立則連續運動的有序漸變性使T的元點應是由多到少地有序變換使T=γ的元點少于T=β=L的元點，即T縮短后的元必少于縮短前的元，最后才能少至只有一個元。百年集論斷定T在縮短成只有一個元之前的元點總是和T=β=L的元點一樣多，無異于斷定T的收縮變化不是有序連續變化。這就構成急待消除的：連續運動悖論。

注：直線段T因被壓縮而改變了各組成成員之間的距離從而使T縮短成T′～T，最后所有成員都被移到位置x=0處形成還由T所有組成成員組成的單元集T′={u=x=0|x的變域是Lx軸}，這一使點集任兩異成員的間距由大變小最后變為0的變換，只是改變了點集的組織結構而沒使其有任何減員；T不斷減員變為其真子集T″而縮短，最后減去一切非0成員而縮短成單元集T″={u=0}這一減員變換不改變點集的組織結構而只改變其組成成員，這與前者的壓縮變換是有根本區別的。

x軸伸縮變換為y=kx軸（正常數k≠1）。有等長線段：D=[-1，1]x軸和J=[-1，1]y=kx軸，D各點x到D的中心x=0的距離ρ=|x|而J各點y=kx到J的中心y=0的距離ρ′=|kx|≠ρ；據h定理3J不≌D，J與D是貌似重合的偽二重集、偽≌集。y=kx軸中的k≠1可取無窮多正數說明有無窮多長度均=2的直線段互不合同。由h定理3、4可證初等幾何2300多年“形狀、大小相同的圖形必合同”其實是被偽合同圖形迷惑而將無窮多各異點集誤為同一集。在某些情形例當不研究線段有多少元點時可將問題大大簡化：將等長的直線段視為相互合同的圖形。

復平面z=x+iy可收縮成平面0.5z疊壓在z面上。z面有圓盤G：|z|≤2及圓盤KG：|z|≤1；G收縮成～G的圓盤K′0.5z面：|0.5z|≤1疊壓在K上，“K=K′≌K′”其實是肉眼直觀錯覺。若圓盤A≌B則A與B的圓心必互為合同對應點，假設K=K′≌K′成立則據h定理3相應的距離ρ=ρ′，然而K各點z到K的圓心z=0的距離ρ=|z|≤1而K′各點0.5z到圓心0.5z=0的距離ρ′=|0.5z|≤1，據h定理3K不≌K′。z面可伸展成w=x+i2y=u+iv平面疊壓在z面上。w面有圓盤G′：|w|≤2疊壓在G上，據h定理3可證G′不≌G；……。

三、 區間概念讓2500年都無人能識的“更無理”標準實數一下子浮出水面推翻百年“R軸各點與各標準實數一一對應定理”

“R各數x均有對應標準數x+c（c=1，2，…）等等”。高等數學是研究變量的，而凡變量必有變域，變數必可遍取其變域的一切數。區間Q=[0，x]∪[x，x+1]∪[x+1，x+2]∪[x+2，x+3]∪…中變域為R+的x≥0由0→∞遍取R+一切數x時Q的子區間[0，x]由0→∞地變長而長到包含R+一切數x∈[0，x]。據中學區間概念在各[0，x]（x的變域為R+）之外還有標準無窮大正數x+1∈（x，x+1]等等>R一切數使R+是有界集！從而使上述的y=x+c軸≠x軸。x軸與y=x+c軸分別都有子部：射線R+和射線y=x+c≥0。可見區間概念表明初等幾何“有公共起點的兩條射線的夾角若=0則兩線重合”是將無窮多各異線誤為同一線的2300年“井底蛙”誤區。否定無理數使數學自相矛盾，否定“更無理”的正實數使初等數學出現違反區間概念和集合起碼常識a的尖銳自相矛盾。由發現無理數到發現“更無理”的標準無窮大正數竟須歷時2500年！

四、 結束語

由上可見R軸沿本身平移或伸縮（伸縮系數k>0且≠1可取無窮多數）可變為無窮多各異直線相互疊壓在一起，而中學幾百年解析幾何一直只識其中的一條直線且將無窮多各異直線誤為同一線：R軸。這是因數學一直不知有用而不知的R外標準實數，不知伸縮前后的直線若組成成員相同則組織結構不同，兩者是“同分異構”體。將各異直線誤為同一線自然就會將各異直線段誤為同一線段（以及將各異面誤為同一面）。用h定理檢驗知中學課本一直搞錯了無窮多函數的值域，幾何學2300年來對n≥1維空間圖形的認識一直存在極重大缺陷與錯誤：將無窮多各種各類的偽合同、偽重合圖形誤為合同、重合圖形；從而使康脫誤入百年歧途推出康健離脫的病態理論。破除迷信、解放思想、實事求是才能創造3千載難逢的神話般世界奇跡使數學發生革命飛躍：從“井底”一下子躍出進入到認識“更無理”的偽二重直線段的時代從而不再被蒙在“井”里。詳論見[1][4]。備注：本文已在“預印本”上公布。

參考文獻：

[1]黃小寧.憑初等數學常識發現中學數學有一系列重大錯誤——讓5000年無人能識的自然數一下子暴露出來[J].學周刊，2018（9）：180.

[2]黃小寧.憑中學數學常識發現數學課本一系列重大錯誤——讓中學生也能一下子認識2300年都無人能識的直線段[J].數理化解題研究，2016（24）：19.

[3]黃小寧.發現最小正數推翻百年集論消除2500年芝諾悖論——中學重大錯誤：將無窮多各根本不同的點集誤為同一集[J].中國科技信息，2010（18）.

[4]黃小寧.初等數學各常識凸顯中學數學有一系列重大錯誤——“一一配對”讓中學生也能一下子認識5000年無人能識的自然數[J].課程教育研究，2017（50）：107.

作者簡介：

黃小寧，科研個體戶，廣東省廣州市，廣東省廣州市天河區。