復始“一元” 更新萬象

摘 要：求多元表達式的范圍，可以通過消元轉化為一元x，構造函數f（x）求出對應值域得到所求范圍。消元方法多種多樣，技巧復雜變幻莫測，掌握常規消元方法，則能以不變應萬變，從容應對。

關鍵詞：常規代入消元；三角消元；逆消元；整合消元；主元法；圖像法；構造法

函數概念：一般地，設A，B是兩個非空數集，如果按照某種對應法則f，對于集合A中的每一個元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它對應，這樣的對應叫做從A到B的一個函數，通常記作y=f（x），x∈A。因此，要求某多元表達式的范圍，可以通過消元轉化為一元x，構造函數f（x）求出對應值域得到所求范圍。消元方法多種多樣，技巧復雜變幻莫測，如何以不變應萬變，從容應對，考驗著每位解題者的數學綜合素養。

一、 常規消元

代入消元是最常規最熟悉的消元策略，通過消元，極易構造函數求范圍。如：已知a>1，b>1，ax=by=2，2a+b=8，則1x+1y的最大值為 ；涉及4個變量a，b，x，y，可以通過相互條件表示消元轉化為一元問題求解。x=log2a，y=log2b，則1x+1y=loga2+logb2=logab2，再利用2a+b=8消元或利用基本不等式求解。

二、 三角消元

條件有型如f2（x）+g2（x）=c（c為常數），可以利用cos2θ+sin2θ=1三角消元轉化為三角函數問題求解。例如：已知正數a，c滿足a2+c2-ac=3，則2a+c的最大值為 ；已知條件a2+c2-ac=3可以轉化為（2a-c）2+3c2=12，設2a-c=23cosθ，3c=23sinθ（θ∈R），則2a+c=23cosθ+4sinθ=47sin（θ+β）≤47得答案。

三、 逆消元

常規由已知條件代入所求表達式消元即得函數表達式求解，但許多條件不利于轉化表示，可以通過所求表達式轉換代入條件進而求解。如：已知正數a，c滿足a2+c2-ac=3，則2a+c的最大值為 ；可以設2a+c=t，則c=t-2a

代入已知條件a2+c2-ac=3得：7a2-5ta+t2-3=0在（0，+

SymboleB@ ）上有解。由Δ≥0得2a+c≤47。再如：已知正實數x，y滿足x+2x+3y+4y=10，則xy的取值范圍是 ；可以設xy=t，則y=tx代入條件得：（1+4t）x2-10x+（2+3t）=0，由Δ≥0得1≤t≤83。也可以設xy=t，則x=ty代入條件得：10=（2t+3）y+（t+4）1y≥2（2t+3）（t+4）

解得1≤t≤83（當且僅當（2t+3）y=（t+4）1y即y2=t+42t+3，當t=1時y=1，x=1；t=83時y=43，x=2）。

四、 整合消元

沒有條件代入消元而自身帶有2個或以上變量的表達式，可以內部整合換元消元。例如：正實數x，y滿足5x2+4xy-y2=1，則12x2+8xy-y2的最小值為 ；12x2+8xy-y2=12x2+8xy-y25x2+4xy-y2=2+2x2+y25x2+4xy-y2，設yx=t轉化為2+2+t25+4t-t2，成一元函數問題求解得最小值為73；本題也可以將條件轉化為（5x-y）（x+y）=1，設a=5x-y，b=x+y，ab=1，通過換元，12x2+8xy-y2=2+（2x2+y2）=2+a2-2ab+9b212，可以分母變成12ab，設ba=t轉化為關于t的元函數問題求解，當然也可以用基本不等式直接求解。

五、 主元法

多元函數可以確定主元，其他變量先看成常數，轉化為關于主元的一元函數求解。例如：求F（x，y）=（3x-y）2+（x+1y）2的最小值為 ；可以先看成關于自變量x的函數f（x）=10x2-（6y-2y）x+（y2+1y2），最小值在二次函數頂點處，f（x）min=40（y2+1y2）-（6y-2y）240=4y2+y236+2440，再用基本不等式或對勾函數求得最小值。當然，本題也可以看成兩點（3x，x），（y，-1y）間距離平方的最小值；即A，B

為函數y=13x和y=-1x圖像上兩動點，求A，B兩點間距離平方的最小值，利用導數知識求解。

六、 利用一元函數圖像（幾何意義）求解

許多表達式本身蘊含豐富幾何意義，善于分析充分利用有利于快速找到解題途徑。例如：不等式（m-n）2+（m-lnn+λ）2≥2對任意的m∈R，n∈（0，+

SymboleB@ ）恒成立，則λ的取值范圍是 ；問題轉化為兩點（m，m+λ），（n，lnn）間距離的平方。從而構造函數f（x）=x+λ，g（x）=lnx，問題轉化為兩函數圖像上動點間距離最小值大于等于2，利用導數取出范圍λ≥1。

七、 變量分離到等號或不等號兩邊，分別構造函數求解

例如：已知集合A={（x，y）x2+8x·sin（xy）+16=0，其中x∈R，y∈[0，2π]，則集合A中元素個數為 ；對等式x2+8x·sin（xy）+16=0變量分離-sin（xy）=x8+2x，右邊對勾函數y=x8+2x范圍（-

SymboleB@ ，-1}∪{1，+

SymboleB@ ），從而左邊-sin（xy）≤-1或-sin（xy）≥1。由三角函數性質知-1≤-sin（xy）≤1，結合等號成立條件有：sin（xy）=1，x=-4，y=（4k-1）π8；sin（xy）=-1，x=4，y=（4k-1）π8，在結合y∈[0，2π]，上述兩式中k均可以取1，2，3，4，共8解，從而集合A中元素個數為8，分別為（-4，1），（-4，2），（-4，3），（-4，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）.

當然，消元轉化為函數問題是解決多元問題求范圍的基本手法，解決問題的方法是多元化的，轉化到最佳途徑才是綜合素養的體現。例如：a>0，b>0，函數f（x）=xlnx，g（x）=-a+xlnb，存在x∈[a+b4，3a+b5]，f（x）≤g（x）成立，則ba的取值范圍是 ；若果用函數的概念轉化，首先由a+b4<3a+b5估算范圍00）在區間[1，2]上有兩個不同的零點，則f（1）a的取值范圍是 ；同樣是多元問題，轉化為線性規劃求解，答案（0，1）。

轉化和化歸是數學教育和終身教育必備的能力，將多元問題轉化為一元函數問題是解決多元范圍、最值問題的重要手段和方法。只有不斷總結歸納，在應用中體會，才能迅速多元復始“一元”，在錯綜復雜的問題情景中“更新萬象”，化未知為已知，最終解決問題。

作者簡介：

王勇，江蘇省昆山市，江蘇省昆山中學。