詳辯幾何概型中角度與長度兩種測度

張宏斌??

摘 要：幾何概型中關(guān)于角度與長度兩種測度的選擇是學(xué)生不容易掌握的，主要是由于沒看清考查對象、沒抓住幾何概型特性中“每個(gè)結(jié)果發(fā)生的可能性相等”這個(gè)本質(zhì)要求造成的。教學(xué)中要強(qiáng)調(diào)考查對象，引導(dǎo)學(xué)生理解幾何概型基本事件等可能出現(xiàn)的特性加以區(qū)別，多舉實(shí)例，防范出錯(cuò)。

關(guān)鍵詞：幾何概型；等可能性；角度與長度兩種測度

幾何概型是高中階段比較重要的概率類型，通常學(xué)生掌握較好。但在涉及到底用長度還是角度作為測度時(shí)，不少同學(xué)分辨不清，好像兩種都有理由都說得過去。出現(xiàn)這種情況，是由于沒看清考查對象、沒抓住幾何概型特性中“每個(gè)結(jié)果發(fā)生的可能性相等”這個(gè)本質(zhì)要求造成的。幾何概型的基本特征：（1）可能出現(xiàn)的結(jié)果有無限多個(gè)；（2）每個(gè)結(jié)果發(fā)生的可能性相等.

下面幾題是學(xué)生做題時(shí)混淆、易錯(cuò)的典型例子，現(xiàn)分析說明。

例1：在等腰直角三角形ABC中，

（1）過直角頂點(diǎn)C作一條射線CM，與邊AB交于點(diǎn)M，求AM

（2）在邊CB上取一點(diǎn)M，求∠CAM<30°的概率。

解：（1）錯(cuò)解：設(shè)AC=BC=a，則AB=2a，在AB上截取AC′=AC，于是P（AM

以上錯(cuò)解中都有哪些錯(cuò)誤？出錯(cuò)的原因是什么？如何防范？

本題錯(cuò)誤解答是由于沒看清考查對象、沒抓住幾何概型特性中“每個(gè)結(jié)果發(fā)生的可能性相等”這個(gè)本質(zhì)要求。結(jié)果把角度問題錯(cuò)誤地轉(zhuǎn)化成了線段長度問題。

首先，不少同學(xué)因?yàn)橐驛M

正解：在AB上取AC′=AC，則∠ACC′=180°-45°2=67.5°，

設(shè)A={在∠ACB內(nèi)部作一條射線CM，與線段AB交于點(diǎn)M，AM

則所有可能結(jié)果的區(qū)域角度為90°，事件A的區(qū)域角度為67.5°。

所以P（A）=67.590=34。

此題切不可將∠CAM作為考察對象，是由點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)才造成角的變化，點(diǎn)M等可能的分布在線段CB上，所以應(yīng)將長度作為測度。當(dāng)∠CAM=30°時(shí)，CM=33AC=33BC，符合條件的點(diǎn)M等可能的分布在線段CM上，故所求概率為CMBC=33

例2：如圖，四邊形ABCD為矩形，AB=3，BC=1，以A為圓心，1為半徑作四分之一個(gè)圓弧DE，作射線AP，則射線AP與線段BC有公共點(diǎn)的概率為 .

解：因?yàn)樵凇螪AB內(nèi)任作射線AP，則等可能基本事件為“∠DAB內(nèi)作射線AP”，所以它的所有等可能事件所在的區(qū)域H是∠DAB，當(dāng)射線AP與線段BC有公共點(diǎn)時(shí)，射線AP落在∠CAB內(nèi)，區(qū)域H為∠CAB，所以射線AP與線段BC有公共點(diǎn)的概率為∠CAB∠DAB=30°90°=13

變式：將“以A為圓心，1為半徑作四分之一個(gè)圓弧DE，作射線AP″，改為“在線段DB上任取一點(diǎn)P”，求射線AP與線段BC有公共點(diǎn)的概率。

分析：此時(shí)考察對象是“DB上的點(diǎn)P”，其等可能地在DB上運(yùn)動(dòng)，顯然應(yīng)該以長度作為測度了，概率為12。

例3：已知△ABC中，∠ABC=60°，AB=2，BC=6，在BC上任取一點(diǎn)D，則使△ABD為鈍角三角形的概率為（ ）

A. 16

B. 13

C. 12

D. 23

解析：此題的測度為長度，點(diǎn)D在線段BC上等可能地運(yùn)動(dòng)。當(dāng)BE=1時(shí)，∠AEB為直角，則點(diǎn)D在線段BE（不包含B，E點(diǎn)）上時(shí)，△ABD為鈍角三角形；當(dāng)BF=4時(shí)，∠BAF為直角，則點(diǎn)D在線段CF（不包含C，F(xiàn)點(diǎn)）上時(shí)，△ABD為鈍角三角形.所以△ABD為鈍角三角形的概率為1+26=12.

變式：將“在BC上任取一點(diǎn)D”改為“過A點(diǎn)作射線AD與邊BC交于點(diǎn)D”，求△ABD為鈍角三角形的概率。

分析：應(yīng)以角度為測度，此時(shí)考察對象是射線AD，所處的區(qū)域?yàn)椤螩AB=60°，且等可能地運(yùn)動(dòng)。造成點(diǎn)D在線段BE、CF（均不含端點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng)時(shí)，△ABD為鈍角三角形，其概率為：∠BAE+∠CAF60°.

例4：AB是半徑為1的圓的直徑，M為圓周上異于A、B的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)M作垂直于直徑AB的弦，則弦長大于3的概率是 。

解析：依題意知，點(diǎn)M在圓周上等可能運(yùn)動(dòng)，應(yīng)以弧長AM為測度，當(dāng)相應(yīng)的弦長大于3時(shí)，圓心到弦的距離OD小于12-322=12，120°>∠MOA>60°因此π3

此題也可以用圓心角∠MOA作為測度，因?yàn)榇藭r(shí)弧長和圓心角成正比關(guān)系。切不可以用OD長作為測度。原因無它，點(diǎn)M在圓周上等可能運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)D在OA上并不是等可能運(yùn)動(dòng)的。

做題經(jīng)驗(yàn)表明，當(dāng)涉及射線的轉(zhuǎn)動(dòng)、扇形中有關(guān)落點(diǎn)區(qū)域問題時(shí)，常以角的大小作為區(qū)域量度來計(jì)算概率，切不可用線段代替，否則會(huì)導(dǎo)致基本事件發(fā)生的可能性不相等。

由上幾題的分析告訴我們，教學(xué)幾何概型時(shí)，應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生看清對象，牢牢抓住幾何概型中基本事件等可能出現(xiàn)的本質(zhì)特性，防范易錯(cuò)易混題。

參考文獻(xiàn)：

[1]曾燕瑞.是“長度”還是“角度”？——幾何概型中度量的選擇[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2015（18）：78-79.

[2]孫彩紅.幾何概型問題 常見錯(cuò)誤辨析[J].理科考試研究，2014，21（19）：13-14.

作者簡介：

張宏斌，重慶市，重慶市銅梁中學(xué)校。