例談高中數學運算素養的提升策略

王瓊瓊　徐建新

摘 要 運算素養是在運算能力基礎上提出更高要求，應該包括運算能力、運算意識、運算品質、運算態度等。為了避免訓練的盲目性和教條性，本文結合具體題目，談一談如何在學習過程中落實運算素養。

關鍵詞 高中；數學運算；素養；提升策略

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2018）07-0183-02

《普通高中數學課程標準2011版》指出：“運算能力主要是指能夠根據法則和運算律正確地進行運算的能力”；《普通高中數學課程標準2017版》提出：“數學運算是指在明晰運算對象的基礎上，依據運算法則解決數學問題的素養.主要包括：理解運算對象，掌握運算法則，探究運算方向，選擇運算方法，設計運算程序，求得運算結果等”。

筆者認為，運算素養是在運算能力基礎上提出更高要求，應該包括運算能力、運算意識、運算品質、運算態度等。

章建躍曾經提到運算素養的基本要求是：“會算而且知道怎么樣算的更快更準”，還提出必須強調運算的“技術成分”。“技術”問題的提升唯有反復訓練，為了避免訓練的盲目性和教條性，本文結合具體題目，談一談如何在學習過程中落實運算素養。

例題展示：

例1：已知函數 且 是 的一個極值點。

（Ⅰ）討論函數 在 的單調性；

（Ⅱ）若 ， ，當 時， 恒成立，求實數 的取值范圍。

例2：（2013年全國卷Ⅱ.理21）已知函數

（Ⅰ）設 是 的極值點，求 ，并討論 的單調性；

（Ⅱ）當 時，證明 。

1.關注定義域，強化成意識。首先養成寫出函數定義域的習慣，即使函數的定義域為R，也最好寫出，這并不是畫蛇添足，而是強化“考慮定義域”成為“意識”的一部分，因為“意識”會讓人“自動”、“第一時間”地關注定義域。如例1的已知條件對自變量的范圍進行了限制；例2含有對數函數，函數本身隱含了對定義域的限制，若沒有考慮定義域，單調性的討論將變得沒有意義。

2.因式分解成習慣，運算化簡有方向。導數作為研究函數性質的工具，必須讓學生明白“求完導后要做什么”。受到三次函數求解經驗的影響，有部分學生形成了求導后就直接解不等式的思維定勢。由于導函數通常不是二次函數，最終因為式子結構復雜而影響了解題的推進。

求導后首先要進行整理，需要利用通分、提公因式、因式分解等方法，將一些復雜的代數式化為若干個因式的乘積和商的形式；其次，研究 的根，因為導函數的零點會將定義域分解為若干個區間，然后可以逐一判斷各個區間內導函數的符號。

如例1（Ⅱ）中由“當 時， 恒成立”但可轉化為“對 時， 恒成立”。令 ，若沒有化簡直接求導得 ，接下來將變得無法求解.觀察 式子結構的特點，會發現有公因式 ，從而可得 ，又因為 可轉化為“當 時， 恒成立的問題”。這個例子告訴我們不是所有的函數直接求導就能解決問題，化簡是在求定義域后要關注的第二件事。

3.常量與變量，比較要分明。含參函數的單調性是導數的重要考點，學生也對分類討論的標準源自何處，往往不明確，盡管反復地講練，效果依然不好，究其原因在于學生對“變量內涵”的考慮不全面。分類討論首先要關注變量自身的取值要求，其次考慮它與其它常量或變量的大小關系。

如例1（Ⅰ）易得 ，其導函數 ，常見的錯誤之一是直接由 得到“ 和 ”，默認“ ”，忽略了“ ”；另一種錯誤是沒有比較“ 和 的大小”及“ 與端點1的大小”。

大小的比較可以通過作差找到分點，即由 與 得到 和 。因此 的取值范圍可分為 ， ， ；另一種比較直觀的方法，是對比 與區間 的關系，即：

若 時， ，當 時， ，則 在 上單調遞增；若 時， ，當 ， ；當 ， ，所以 在 上遞減，在 上遞增；

若 時 ，當 時， ，得 ，所以 在 上單調遞減。

4.弄清主元，運算求解不混淆。從算術到代數，最主要的特征就是字母（變量）的引入，在計算中不只是數與數的計算，更多是參變量之間的運算，當有多個字母或變量時，要注意誰就主元，利用主元的思想進行降維、消元的作用。

如例2（Ⅱ）當 時，要證明 ，學生通常會直接構造函數 ，求得導函數 ，由于含有參數 ，從而無法利用導數研究函數的性質，求出 的最小值。面對這樣的情況時，學生就應當及時反思，運用主元的思想，以其中一個變量為主元，從而達到消元的目的。即要證 ，只需證 ，若以 為主元， 為常量，只需求出當時 的最大值。因為 時， 單調遞增，所以 ，即只需證明 ，從而構造函數 。

5.試根與估算，實虛相結合。雖然求導后常需要“求零點”，但零點時常不易求，這就要求學生學會試根與估算。

如例2（Ⅰ）易得 ，若令導函數 ，雖無法直接求根，但容易觀察出 ，然后結合函數的單調性說明根的唯一性。

例2（Ⅱ）所構造的函數 ，若令其導函數 ，發現無法解方程，也無法觀察出其特殊的根，這時可利用零點存在定理尋找根所在的大致區間。函數 在 上單調遞增，又由 ， ，可知 在 上有唯一的零點 ，且 。所以當 時， ；當 時， 。于是 在 處取得最小值。此處采用虛設零點的方式，用 表示這個無法確定但又存在的點。

6.數形結合來幫忙，運算求解更直觀。“數缺形時少直觀”，壓軸題中所給的函數，時常不是基本初等函數，學生因無法直接畫出圖象而影響了解題思路的推進，因此要求學生不但要常握基礎初等函數的圖象，也要能畫出 ， ， 及 這幾個常見函數的圖象。

總之，要提升學生的運算素養，首先要改變高中教學過程中“重思維，輕運算”的現狀，學會運算也將學會思考；其次，要將運算素養的培養落實到教學環節中，對常見題型的運算方向進行總結，形成規范化思考問題的品質；最后，學會運算后的反思和自查，養成一絲不茍、嚴謹求實的科學精神。

基金項目：本文是福建省“十三五”第一批中學數學學科教學帶頭人培養對象科研課題《提升高中生數學運算素養的教學實踐研究》（立項批準號：DTRSX2017025）的階段性成果。

參考文獻：

[1]沈劍華.計算數學基礎[M].同濟大學出版社，1989.