移動載荷作用下周期性高架橋有限元模型

，，

(1.江蘇大學 土木工程與力學學院，江蘇 鎮江 212013; 2.東南大學 成賢學院，江蘇 南京 200092)

目前，高架橋已經成為高速鐵路的一種重要結構形式。在列車移動載荷作用下，高架橋動力響應的研究對高架橋的設計及維護有重要意義，因此前人對結構在移動載荷作用下的動力響應已開展了大量研究[1-2]。為了便于施工,正常路段的高架橋通常設計成等跨距形式,因此，高架橋可以簡化為周期性結構。近年來，隨著理論和計算技術的發展，學者們在周期性結構對移動載荷的動力響應方面開展了一些研究，并建立了求解此類問題的一些半解析及數值方法。 文獻[3-4]中最早提出了周期支撐的三維軌道模型，彈性半空間上的Euler-Bernoulli梁對移動荷載的動態響應進行研究。 劉維寧等[5]考慮了動力互等定理，對周期軌道結構在半無限彈性空間體上受移動荷載作用的問題進行了相應研究，通過疊加周期解析計算出無窮積分。 劉維寧等[6]通過Laplace變換和傳遞矩陣(transfer matrix，TM)法研究了周期支承軌道對移動荷載的動力響應。 Chebli等[7]利用系列Fourier變換方法，建立了求解周期性結構對移動載荷的動力響應的一種新方法，該方法能將整個周期性結構的求解簡化為求解其中一個單元，大大減少了計算量。 Sheng等[8]將不平順軌頭的周期設置成軌枕間距的整數倍，然后采用Fourier級數法研究不同數量的勻速移動荷載下輪道之間的相互作用力。 文獻[9-10]中根據辛數學法研究了周期不平順軌道與車輛的耦合系統的隨機響應。 Lu等[11]利用TM法和系列Fourier變換方法，建立了周期性簡支梁型高架橋的力學模型，得出周期性高架橋(periodic viaduct，PV)的特征方程以及高架橋對單個移動荷載的動力響應，對波在某一跨的傳播進行分析得出整個周期性高架橋的動力響應。

由于文獻[11]中建立的TM法僅適用于均質的周期性高架橋結構，對幾何或材料非均質的周期性高架橋結構，該法很難應用，因此，需要建立計算PV對移動載荷動力響應的有限元模型。為了建立上述有限元模型，本文中首先采用Fourier變換方法，得出移動載荷的頻率波數域表達式，利用PV代表性跨的有限元方程，并結合簡諧荷載作用下PV的周期性條件，可得PV受頻率波數域內單位簡諧荷載作用下的動力響應，對PV的頻率波數域內的響應進行相應的Fourier逆變換，即得PV在移動載荷作用下的動力響應；基于所建立的有限元模型，給出一些算例。

1 PV的簡化力學模型

將高架橋簡化為周期性結構，如圖1所示。高架橋每跨只由1個橋墩構成，并且橋墩底部均為剛性連接。每跨上部結構由左梁、右梁、梁-梁連接彈簧、左梁-墩連接彈簧和右梁-墩連接彈簧組成。其中3根彈簧和其所連接的左梁、右梁和墩的端部構成梁-梁-墩(beam-beam-pier, BBP)接頭。假設坐標原點如圖1所示在0跨BBP接頭的中心，左梁、墩和右梁分別用a、b和c表示，梁-梁彈簧、左梁-墩彈簧和右梁-墩彈簧分別用t、l和r表示。

圖1 周期性高架橋受移動載荷作用

本文中將移動載荷簡化為垂直分量和水平分量力，因此圖1就是簡化的PV對移動載荷的動力響應的有限元模型。

2 移動載荷作用下PV動力響應表達式

本文中的研究會涉及到時空內的Fourier變換。對時域內的函數，其Fourier變換可定義為

(1)

式中：ω為圓頻率；t為時間；上標～表示為頻域內的變換。對空間域函數，Fourier變換可定義為

(2)

式中：x為空間變量；k為波數；上標^表示為波數域內的變換。

當移動荷載在x軸上以速度v運動，其表示為

f(x,t)=f0δ(x-x0-vt),

(3)

式中：δ為狄拉克函數；f0為移動荷載的幅值；x0為0時刻荷載的坐標。對式(3)進行時空域Fourier變換，得載荷頻率波數域內的表達式為

2πf0eikx0δ(kv-ω)。

(4)

(5)

式(5)表明，在移動荷載作用下，PV頻域內的響應為

(6)

3 單位簡諧荷載作用下PV的動力響應

3.1 梁及墩的控制方程

如圖1所示，移動荷載作用下PV的梁和墩發生軸向振動和彎曲振動。根據Euler-Bernoulli梁理論，梁和墩的彎曲振動和軸向振動的控制方程為

(7)

根據標準線彈性固體模型，構件材料的復模量[12]可表示為

(8)

式中：Eα1和Eα2為標準固體模型的彈性參數；ηα為黏滯系數。

3.2 單跨的有限元方程

3.2.1 梁及墩的有限元方程

本文中梁和墩均用兩節點的單元來離散，任一單元的2個節點分別用i和j來代表，構件α包含Eα個單元和Nα個節點，Nα=Eα+1。各個構件都包含2個端部節點和Nα-2個內部節點，下文中接頭節點表示為3個構件連接彈簧的端部節點，而內部節點表示為I, 其+I(I+)表示為兩梁左(右)端節點以及墩頂(底)部節點和其內部節點的集合。

由于梁和墩都會產生軸向彎曲和振動，并且節點具有3個自由度，因此梁和墩位移向量可表示為

(9)

根據虛功原理[13]，得出單元有限元方程

(10)

(11)

3.2.2 BBP節點處的連接條件

(12)

(13)

(14)

(15)

式中T1和T2表達式見附錄C。同理，墩頂處節點的集中等效節點力向量的表達式為

(16)

(17)

利用式(12)—(14)，方程(15)—(17)可改寫為

(18)

式中彈簧剛度矩陣S表達式見附錄C。

3.2.3 單跨的有限元方程

(19)

(20)

(21)

在建立的有限元方程中，設節點的順序為左梁的全部節點、墩節點(除墩底節點外)及右梁的全部節點、墩底節點。其中梁節點的編號順序是沿x軸正方向，墩節點的編號順序是沿z軸正方向。建立整體有限元方程

(22)

式中K和M為PV單跨剛度矩陣和質量矩陣，表達式見附錄D。將式(18)代入式(22)，得到單跨的有限元方程

(23)

3.3 單位簡諧荷載作用下PV的動力響應

將整跨節點劃分為左節點、內部節點、右節點和底部節點4個部分，則整跨位移向量可以表示為

(24)

(25)

單位簡諧荷載ei(ωt-kx)作用下，PV的相鄰跨左端的位移和集中力向量之間相位差為e-ikL(L為梁的長度)，則各跨左端和右端的位移和集中力向量有如下關系：

(26)

(27)

式中λ=e-ikL。

4 驗證及算例分析

為了驗證本文中建立的有限元模型，材料參數的選取與文獻[11]中一致。將PV第0跨左截面頻域內響應與文獻[11]中采用TM法得到的響應結果進行對比。圖2給出了2種方法所得的移動載荷速度為100、150 m/s時所引起的第0跨左截面頻域內剪力。從圖可以看出，2種方法得出的的結果比較吻合，因此驗證了本文中建立的有限元模型。

(a)移動載荷速度為100 m/s時的剪力

(b)移動載荷速度為150 m/s時的剪力圖2 有限元法和傳遞矩陣法所得到計算跨左截面頻域內剪力的比較

本文中PV計算跨的參數確定源于文獻[15-19]中選取，如表1所示。PV的梁截面等效為矩形截面，墩截面等效為圓形截面，梁的彈性模量取C30。梁間軌道剛度是根據軌枕間隙長度確定，支座彈簧剛度是根據經驗數據和文獻[20]中橡膠支座剛度確定，且左梁-墩的連接彈簧和右梁-墩的連接彈簧剛度不同，具體數值見表2。

表1 梁墩的計算參數

表2 梁-梁、左梁-墩和右梁-墩的彈簧剛度的取值

在計算中，PV的左梁、右梁和墩均劃分為100個相同有限單元。由于當頻率大于30 Hz時PV的動力響應很小，因此本文中只給出了頻域在30 Hz內的結果。 計算跨取PV的第100跨，當移動載荷速度為50 m/s時頻域內采12 001個樣點數，相應的時域內計算范圍為0～500 s；當速度為100 m/s時頻域內采9 001個樣點數，相應的時域計算范圍為0～300 s。

圖3給出了移動載荷速度為50、100 m/s時計算跨左端截面頻域內的剪力值。從圖中可以看出，速度不同，剪力共振峰的個數明顯不同，雖然都處在第二通帶內，但速度為50 m/s時共振峰的個數要多于速度為100 m/s時的。圖4給出了移動載荷速度為50、100 m/s時計算跨左端截面時域內的剪力值。結果表明，荷載的速度對高架橋的時域內響應有顯著影響，對于速度為50、100 m/s這2種情形，荷載通過計算截面時，2種情形的剪力值很接近，但是，當速度為100 m/s時，剪力衰減較快。此外，速度為50 m/s時高架橋的響應幾乎與載荷的到達時間對稱，但是，當速度為100 m/s時，高架橋的響應出現類似沖擊波特征，即高架橋在載荷到達前無明顯的響應。

(a)移動載荷速度為50 m/s時頻域內的剪力(b)移動載荷速度為100 m/s時頻域內的剪力圖3 周期性高架橋在移動載荷速度為50、100 m/s時的剪力頻域響應

(a)移動載荷速度為50 m/s時域內的剪力(b)移動載荷速度為100 m/s時域內的剪力圖4 周期性高架橋在移動載荷速度為50、100 m/s時的時域內剪力

5 結論

本文中提出了一種計算移動載荷作用下PV動力響應的有限元數值計算方法。采用Fourier變換將移動載荷作用下PV的動力響應問題轉化為頻率波數域內單位簡諧荷載下PV的動力響應問題。考慮梁-梁-墩處的連接條件，建立了PV代表跨的有限元方程，利用Fourier逆變換求得PV在時域內的動力響應。計算結果與TM方法得出的結果進行對比，驗證了本文中提出的模型。

1)移動荷載的速度會影響高架橋頻域內響應的峰值個數，速度增加，峰值個數會減少；此外，隨著載荷速度的增加，高架橋時域內的響應呈現類似沖擊波特征。

2)從本文中的算例可以發現，有限元法和TM法在運用于均質等截面梁和墩時結果一致。實際上，有限元法比TM法有更好的適用性，還適用于非均質、非等截面的周期性高架橋。此外，該模型還可推廣到考慮樁土相互作用的情形下，非均質的周期性高架橋對移動載荷的動力響應。

3)雖然本文中提出的有限元模型針對無限周期性高架橋，但在實際工程中，對跨數達到一定數量的有限周期性高架橋，也可應用此模型來近似地分析其對移動載荷的動力響應。