淺談等價轉化思想在含量詞導數問題中的應用

顧曉夢

摘要：等價轉化通過不斷的轉化，把不熟悉，不規范，復雜的問題轉化為熟悉，具體甚至簡單的問題.等價轉化思想無處不見，我們要不斷培養和訓練自覺的轉化意識，將有利于強化解決數學問題中的應變能力，提高思維能力和技能，技巧.借助例題來探索等價轉化思想在含量詞導數問題中的簡單應用.

關鍵詞：等價轉化；任意；存在；恒成立問題

等價轉化是把未知解的問題轉化到在已有知識范圍內可解的問題的一種重要的思想方法.通過不斷的轉化，把不熟悉，不規范，復雜的問題轉化為熟悉，規范甚至模式法，簡單的問題[1].一般來說常見的轉化有以下原則：由復雜到簡單，又陌生到熟悉，由抽象到具體，由一般到特殊以及數形結合等等.歷年高考，等價轉化思想無處不見，我們要不斷培養和訓練自覺的轉化意識，將有利于強化解決數學問題中的應變能力，提高思維能力和技能，技巧[2] 下面通過幾個例子來探索等價轉化思想在含量詞導數中的簡單應用.

一、含有量詞的函數不等式的等價轉化

例1.已知函數 ，設 ，當 時，若對于任意的 ，總存在 ，使得 成立，求 的取值范圍.

解析：對于任意的 ，總存在 ，使得 成立.即在 上的每一個 都大于或等于 ，且在 上只要有一個 滿足即可，故即為 .故將此題轉化為求 在 上的最小值 和 在 上的最小值 ，然后滿足 ，即將抽象的大小關系轉化為了具體的大小關系.

當 時， ， ，令 = =0解得 .

當 時， ， 在 上單調遞減；

當 時， ， 在 上單調遞增.

所以，當 時， 有最小值 = .

對于函數 ， ，

（1）當 時， 在 上恒成立，所以 在 上單調遞增，所以 > ，不成立（舍）

（2）當 時，令 =0，解得 .

①若 即 時 在 上單調遞減，在 上單調遞增，所以 ，即 .

②當 時 在 上恒成立，所以 在 上單調遞減，所以 ，所以 ，故 .綜上（1）（2）， .

例2.已知函數 （ 且 ）， .

當 時，若對 ，總 ，使得 ，求實數 的取值范圍；（其中 為自然對數的底數）

解析：對于任意的 ，總存在 ，使得 成立。即在 上的每一個 都小于 ，且在 上只要有一個 滿足即可，故即為 .故將此題轉化為求 在 上的最大值 和 在 上的最大值 ，然后滿足 ，即將抽象的大小關系轉化為了具體的大小關系.

例3.已知 為實數，函數 ，證明對任意的 ，不等式 恒成立.

解析：要證明對任意的 ，不等式 恒成立，即證明 ，即證明 ，即證明 在 上的最大、最小值滿足 ，即將抽象的大小關系轉化為了具體的大小關系.

例4.已知函數 ， .設 ≥1，函數 ，若對于任意 ，總存在 ，使得 成立，求 的取值范圍.

解析：對于任意 ，總存在 ，使得 成立，即 上的每一個 ，都會存在一個 ， .記 在 上的值域為 ， 在 上的值域為 ， .所以此題就轉化為了分別求 和 在 上的值域 、 ，然后滿足 即可.

二、恒成立問題的轉化

例5.設函數 對任意 ，都有 恒成立，則實數 的取值范圍是___________

解析： 由題意知 ，在 上恒成立，可化為即 ，在 上恒成立，即 易知函數 在 上單調遞增，當 時，函數 取得最小值 ，所以 ，即 ，解得 或 .

例6.設函數 ，若對所有的 都有 成立，求實數 的取值范圍.

解析：（若分離參數，得 時 ， ，令 求不出根，所以不能分離參數）

令 ，對函數 求導數： ，令 解得 .

（1）當 時，對所有 ， ，所以 在[0，+∞）上是增函數，

又 ，所以對 ，都有 ，即當 時，對于所有 ，都有 ；

（2）當 時，對于 ， 所以 在 是減函數，又 所以對 ，都有 ，即當 時，不是對所有的 ，都有 成立.

綜上， 的取值范圍是：

例7.已知函數 其中 ，若 的最小值為1.求 的取值范圍.

解析： ，

① 當 時，在區間 上， ， 在 單調遞增.故 的最小值為 ；

② 當 時，由 解得 .由 ，解得

所以 在區間 上單調遞減，在區間

上單調遞增，所以 在 處取得最小值 .

綜上可知，若 的最小值為1，則 的取值范圍是 .

三、可轉化為恒成立問題

例8.設函數 （ ），若 在其定義域內為單調函數，求 的取值范圍.

解析： 的定義域為 ，

要使“ 在 為單調增函數”，轉化為“在 上 恒成立”，即 恒成立，即 .又函數 在 上單調遞增， 上單調遞減， 在 上的最大值為1，所以當 時， 在 為單調增函數.

同理，要使“ 為單調減函數”，轉化為“ 恒成立，再轉化為“ 恒成立”，即 .而 在 無最小值，又 ，所以當 時， 在 為單調減函數.

綜上所述，若 在 為單調函數，則 的取值范圍為 或 .

問題是熟悉的心臟，數學是思維的體操，這就告訴我們解決的方法多種多樣，多一種思維就多一種解決問題的方法.導數在高中數學中占有非常重要的地位，在解題中，無論哪種解題方法都或多或少的運用了轉化的思想[3].一題多解就是培養學生從不同的角度去思考問題，從不同的方向進行轉化.因此，在教學中，適當的進行變式訓練，可以拓寬學生的轉化思路，增強轉化能力。

參考文獻：

[1]凌健. 化歸思想在數學解題中的應用[J].安慶師范學院學報（自然科學版），2008.

[2]唐曉穎. 化歸原則在數學中的應用[J].教研探索，2012.

[3]胡彥洲. 淺談數學解題策略與化歸策略的決策[J].甘肅高等學報，2010，15（2）.