多點剛性耦合產品包裝運輸系統間接逆向子結構分析

孟天涯， 李明宇， 郭 棟， 王 軍，3

(1. 江南大學 機械工程學院， 江蘇 無錫 214122； 2. 重慶理工大學 汽車零部件先進制造技術教育部重點實驗室, 重慶 400054；3. 江蘇省食品先進制造裝備技術重點實驗室， 江蘇 無錫 214122)

逆向子結構分析是通過耦合系統以及部分子結構的動態特性反求未知子結構動態特性的方法。該方法在運輸包裝等領域具有很高的實用價值。

在包裝運輸過程中，產品的損傷檢測成為了一大難題，主要有以下原因：① 被包裝產品的不可視性。大多數包裝都不是透明的，產品破損與否不能通過肉眼實時監測到，而且材料、結構的細微變化也不是視覺可以傳達的；② 不可能每次檢測都要打開產品包裝，這將造成極大的人力物力資源的浪費。此時，產品的振動特性作為一項重要的判定指標，在包裝件的運輸過程中，具有重要的損傷指示意義。在振動模態分析領域，很多研究成果已經被熟知且應用于實踐，如動態子結構分析、有限元分析、模態分析等[1-2]。上述方法雖然取得了很好的發展，但針對運輸包裝損傷檢測的特定應用條件，上述方法并不能取得突出的效果。在眾多振動領域的分析方法之中，Zhen等[3-6]提出的能夠從系統水平的動態特性反求部件水平動態特性的逆子結構方法，很適合運輸包裝過程中的損傷監測。該方法基于試驗實測頻響函數 (Frequency Response Function, FRF)，在中低頻范圍內有著優秀的預測精度，且適用于不方便拆分的耦合系統中未知子結構的動態研究。其后，Lu等[7-17]對該方法進行了修正、完善與發展。上述研究都是基于兩個條件：① 組成耦合系統的子結構之間通過柔性連接相互耦合；② 系統水平的頻響函數全都可以測得。然而，在實際運輸過程中：① 中大型產品與運載體之間在多數情況下都是剛性連接的；② 產品與運載體的耦合界面處的空間結構一般較為復雜，使得耦合界面處的頻響函數難以直接測得。逆子結構理論得到了發展[18]，討論[19]和應用[20]，但界面傳函的難測問題一直存在。王啟利等[21]將虛擬質量法應用于耦合界面處頻響函數的測量，解決了單點剛性耦合系統耦合界面處頻響函數的測量問題，使得逆向子結構分析得以順利進行。

本文在以上研究的基礎上：① 進一步研究了多點剛性耦合系統的逆向子結構分析問題；② 提出了間接逆向子結構分析方法，無需耦合界面相關的系統水平頻響函數，即可直接求得未知子結構在耦合界面處的動態特性，具有計算量小，應用方便的優點。隨后針對不同的耦合系統組成，分別提出了兩種不同的間接逆向子結構分析方法。最后用兩種不同的集總參數模型分別代表不同的子結構構成情況，成功校驗了該方法的可行性。

1 間接逆子結構理論公式

耦合系統如圖1所示，由子結構A與子結構B通過多點剛性耦合在一起。

圖1 耦合系統示意圖

基于線性疊加原理，得到方程如下

{XS}=[HF]{FS}+[HR]{R}c(x)

(1)

式中：[HF] 為部件水平的頻響函數矩陣；[HR]為子結構A和B在耦合界面處的頻響函數矩陣； {FS} 為外部激勵力矩陣； {R}c(x)為子結構A和子結構B之間的相互作用力矩陣； {XS}為耦合系統的位移矩陣。

系統水平動態特性的方程可寫為

(2)

部件水平的動態特性頻響函數矩陣展開為

[HF]=

(3)

(4)

其余的矩陣可展開為

(5)

{R}c(x)=[D]×

(6)

(7)

(8)

將式(2)～式(8)代入式(1)，展開得到

(9)

經式(9)可得

[HS]o(a)i(a)=[HA]o(a)i(a)-[HA]o(a)c(a)[D]×

[HA]c(a)i(a)

(10)

經變換得

[HA]o(a)i(a)-[HS]o(a)i(a)

(11)

(12)

式(12)經矩陣變換得

[HB]c(b)c(b)=

[HA]o(a)c(a)-[HA]c(a)c(a)

(13)

(2) 當[HA]o(a)c(a)和[HA]c(a)i(a)不為方陣時，式(11)等號兩邊分別左乘[HA]c(a)i(a)，右乘[HA]o(a)c(a)得

[HA]c(a)i(a)[HA]o(a)c(a)=[HA]c(a)i(a)×

([HA]o(a)i(a)-[HS]o(a)i(a))[HA]o(a)c(a)

(14)

經式(14)得

([HA]o(a)i(a)-[HS]o(a)i(a))[HA]o(a)c(a)×

(15)

最后整理得

[HB]c(b)c(b)=([HA]c(a)i(a)[HA]o(a)c(a))×

([HA]c(a)i(a)[HA]o(a)c(a))-[HA]c(a)c(a)

(16)

式(13)和式(16)即為間接逆向子結構分析公式。其中，式(13)針對已知子結構A的耦合自由度與內部自由度數量相同，式(16)針對已知子結構B的耦合自由度與內部自由度數量不同。

2 驗 證

為驗證多點剛性耦合系統間接逆向子結構分析公式應用于產品包裝運輸系統的可行性，建立模擬運輸包裝系統的集總參數模型如圖2所示。圖2(a)用于驗證式(13)，圖2(b)用于驗證式(16)，其中，子結構B為產品，子結構A1,A2分別代表不同的運載體情況，運載體A1的耦合自由度與內部自由度數目相等(對應式(13))，運載體A2的耦合自由度小于內部自由度數目(對應式(16))。

驗證步驟如下：

步驟1首先根據圖2中的集總參數模型建立系統及子結構的質量、剛度、阻尼矩陣，見式(18)～式(32)。

步驟2根據頻響函數的定義式(17)，將子結構A1,A2,B及系統S1,S2的質量、剛度、阻尼矩陣分別代入，求得各子結構及系統的頻響函數，從而得到了產品B在耦合界面處的頻響函數給定值。

(a)子結構A1內部自由度數目與耦合自由度數目相等

(b) 子結構A2內部自由度數目大于耦合自由度數目

步驟3將所得頻響函數分別代入式(13)和式(16)，間接預測產品耦合界面處的頻響函數[HB]c(b)c(b),與直接根據式(17)給出的[HB]c(b)c(b)作對比，如圖3所示。

集總參數模型的詳細參數如表1所示。

(17)

(18)

(19)

表1 集總參數模型具體參數

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

(31)

(32)

(a) HB, c(b1)c(b1)

(b) HB,c(b2)c(b1)

(c) HB,c(b2)c(b2)

如圖3所示，根據式(13)與式(16)間接求得的產品耦合界面頻響函數與式(17)直接給出的頻響函數完全吻合，驗證了本文針對多點剛性耦合系統提出的間接逆向子結構方法的正確性。且一旦求得產品耦合界面處的頻響([HB]c(b)c(b))，根據王啟利的研究, 產品的所有頻響都可在避免測量系統耦合界面響應的基礎上獲得。

3 結 論

逆向子結構分析理論在近幾年取得了飛速發展，該理論能夠通過系統及部分子結構的動態特性反求未知子結構的動態特性，在運輸包裝破損監測，機械參數辨識等方面有著重要的應用與廣闊的前景。本文針對多點剛性耦合運輸包裝系統提出了避免測量系統耦合界面處頻響函數的間接逆向子結構分析方法，解決了逆向子結構理論在應用過程中最大的難點之一。通過集總參數模型對該方法進行了校驗，校驗結果證明了該方法的可行性，為逆子結構理論在運輸包裝領域的應用提供了更大的潛力和發展空間。