雙模介質諧振器測量介電性能的微擾理論分析方法

袁成衛， 陳明， 羅偉峰， 張強

(1.國防科技大學 前沿交叉學科學院， 湖南 長沙 410073； 2.湖南云箭集團有限公司， 湖南 懷化 419503)

0 引言

微波技術的發展推動了新材料在微波輸出窗和透波頭罩上的應用，對窗口材料的介電性能進行準確測量是研制和設計高性能微波輻射系統的必要條件。目前，在微波波段測量介電性能的方法主要有基于微波諧振單元的諧振法[1-4]和基于非諧振單元的傳輸/反射法[5-9]兩大類。諧振法具有比傳輸/反射法更高的測量精度，尤其是在介電損耗測量方面[2-3]。為了解決傳統單模介質諧振器在測量介電性能時有效測量模式數少、測量結果校驗不方便等問題，有學者在橫電(TE)模式介質諧振器的基礎上，將橫磁(TM)模式引入了測量，提出了一種可工作于TE011模式和TM011模式的雙模介質諧振器[10-11]。該雙模介質諧振器的兩種工作模式分別由不同的激勵方式產生，在測量上互相不影響，且其模式識別簡單、器件的幾何因子較高，具有較高的介電損耗分辨能力。文獻[11]采用徑向模式匹配法對諧振器內電磁場進行求解，引入高精度的傳輸模式Q因子(TMQF)測量方法對系統無載品質因數進行求解，給出了介電常數和損耗角正切的計算方法。然而，所采用的徑向模式匹配法和TMQF法要求使用人員具有較高的數學和電磁場理論基礎及編程計算能力，在實際應用和推廣中遇到了一定困難。

本文從電磁場的微擾理論出發，給出雙模介質諧振器用于介電性能測試的簡單分析方法，方便其實際應用。

1 雙模諧振器結構及工作模式

如圖1所示的雙模介質諧振器結構[11]，由2個在中心處開有對稱小孔(直徑為2r1)的金屬平板(直徑2r3)和1個兩端帶有小圓柱凸臺的圓柱形介質樣品組成。介質樣品置于2個金屬平板之間，既是金屬平板的絕緣支撐，同時也是該測量結構的諧振單元。介質樣品上下兩端的圓柱形凸臺分別插在金屬平板小孔中,凸臺高度為h，直徑為2r1. 介質樣品中間部位長度為l，直徑為2r2.

在介質樣品中心建立如圖1所示的柱坐標系，整個測試結構根據徑向和軸向不連續性可分為3個區域：區域Ⅰ為樣品主測試區(r≤r2，|z|≤l/2)；區域Ⅱ為2個金屬平板之間，除介質樣品圓柱外的部分(r2≤r≤r3，|z|≤l/2)；區域Ⅲ為介質樣品凸臺部分(r≤r1，l/2≤|z|≤l/2+h)。

圖2所示為雙模介質諧振器傳輸系數|S21|的頻率響應特性。當同軸探針從金屬平板中心小孔處激勵雙模介質諧振器時(圖1中區域Ⅲ)，雙模介質諧振器工作在TM諧振模式，諧振模式為TM0mn(m=1，2，3，…，n=1，3，5，…)模式，如圖2(a)所示。模式頻率間隔大，識別和測量容易，通常選Q值最大的TM011模式作為測量模式。當環形探針從介質樣品外側(圖1中區域Ⅱ)激勵雙模介質諧振器時，雙模介質諧振器工作在TE諧振模式，諧振器內激勵起TE模式，通常以TE011模式作為測量模式。由圖2(b)可看出，TE模式下，雙模介質諧振器內同時還有混合電(HE)模式和TM模式等被激勵，模式頻率間隔小，識別和測量困難。綜上所述可知，可先測量TM011模式的諧振頻率，并計算出介質材料(樣品材料)的介電常數，從而進一步預測TE011模式的諧振頻率。由圖2(b)可知，通過TE011模式的諧振頻率可很快識別出TE011模式，并對其進行進一步測量。由此可見，利用雙模工作模式能夠提高模式識別能力、避免模式判斷錯誤、降低對操作人員的要求。

2 介電常數測量

2.1 TM011諧振模式

當金屬平板間距小于微波波長的1/2，且n=1，3，5，…時，TM0mn模式的電磁場在圖1的區域Ⅱ內將沿徑向呈指數衰減。此時，只要金屬平板足夠大，邊界r=r3處，就幾乎不存在輻射損耗。考慮到耦合小孔中電磁場沿軸向衰減，只要介質樣品凸臺高度h足夠大，端面|z|=l/2+h處的電磁場就可衰減到足夠小。

圖1中，區域Ⅲ相對于區域Ⅰ和區域Ⅱ而言，內部儲能非常小，且內部模式為凋落模式，故區域Ⅲ可看作由區域Ⅰ和區域Ⅱ組成的一個諧振腔的微擾。區域Ⅰ和區域Ⅱ組成的諧振腔的TM011諧振模式軸向電場表達式為

(1)

式中：E0為電場強度幅值；J0(x)為0階第一類貝塞爾函數；K0(x)為0階第一類修正貝塞爾函數；β為電磁波在z軸方向的傳播常數，根據邊界條件z=0和z=l/2，可知β=π/l；kd和Kc分別為區域Ⅰ和區域Ⅱ微波的徑向波數，它們與β之間的關系為

(2)

式中：k0=2πf′0/c為微波的自由空間波數，f′0為區域Ⅰ和區域Ⅱ組成的諧振腔諧振頻率(不考慮微擾區域Ⅲ)，c為光速；εr為介質樣品的相對介電常數。由縱向分量法[12]，可根據縱向電磁場得到相應區域的橫向電場和磁場(其他區域類似)。利用在r=r2邊界上切向磁場連續的條件，可得到本征方程[12]：

(3)

式中：J1(x)為1階第一類貝塞爾函數；K1(x)為1階第一類修正貝塞爾函數。

在實驗測得諧振頻率f0條件下，取f′0≈f0，聯立(2)式、(3)式，可求得kd、Kc及未修正的介質相對介電常數ε′r. 但此時所用模型并未考慮區域Ⅲ影響，故需用微擾理論進行修正。

在前述假設下，區域Ⅲ為區域Ⅰ和區域Ⅱ所組成諧振腔的微擾區域，其內部所有模式均截止，主要為TM0i(i=1,2,3，…)模式的凋落模式。內部的縱向電場可表示為

(4)

(5)

式中：HⅠφ為區域Ⅰ的角向分量。

實驗中所測得的f0實際上包含了區域Ⅲ的影響，分別根據諧振腔的結構微擾理論和材料微擾理論，可得

(6)

(7)

式中：VⅠ、VⅡ和VⅢ分別為區域Ⅰ、區域Ⅱ和區域Ⅲ的范圍；E和H分別為不同區域的電場強度和磁場強度，可由(1)式和(4)式求得；ε、Δε分別為介質樣品材料的介電常數及其微小改變量，ε=ε′rε0，ε0為真空介電常數；μ、Δμ分別為介質樣品材料的磁導率及其微小改變量。對于普通的非磁性均勻介質材料，通常有μ=μ0和Δμ=0，因此，聯立(6)式和(7)式可得

(8)

從而可得到修正后待測介質的相對介電常數εr=ε′r+Δε/ε0. 以上分析都是針對TM0mn模式進行的，通過撤除同軸探針，改用環形探針在介質樣品側面對稱地激勵該介質諧振器，它可工作于TE011模式。

2.2 TE011諧振模式

諧振器內TE011諧振模式的縱向磁場表達為

(9)

式中：H0為磁場強度幅值。類似(3)式，利用在r=r2邊界上切向電場連續的條件，可得到本征方程[12]：

(10)

在TE011諧振模式下，區域Ⅲ內部所有模式均截止，主要為TE0i(i=1,2,3,…)模式的凋落模式。內部的縱向磁場可表示為

(11)

(12)

獲得整個場的電磁場分布之后，參照2.1節，利用(8)式即可得到介電常數的修正量，最后獲得修正后的介電常數，具體過程不再贅述。

3 損耗角正切的測量

根據第2節獲得的εr和諧振結構電磁場分布，可進一步獲得腔中儲能、傳導損耗及輻射損耗等。利用矢量網絡分析儀獲得系統無載品質因數后，待測介質樣品的介電損耗可由(13)式[1]給出：

(13)

式中：δ為待測介質樣品的損耗角；Q0為系統無載品質因數；Qr為與輻射損耗相對應的品質因數；Rs為金

屬平板的表面電阻；G和Pe分別為諧振結構的幾何因子和能量填充因子。G和Pe的定義如下：

(14)

式中：Ht為金屬表面的切向磁場強度。Qr可由(15)式計算：

(15)

式中：We為系統所存儲的電磁場能量;Ez為電場強度z軸方向分量；Hφ為磁場強度角向分量； ?S1(Ez×Hφ)dS為電磁場在開放邊界r=r3的輻射損耗功率。無載品質因數Q0可采用(16)式[2]來獲得：

(16)

式中：Δf3-dB為諧振腔頻率響應曲線的3 dB頻率寬度；|S21|max為系統在諧振頻率點處的傳輸系數。

4 數據處理結果與誤差分析

使用本文方法對文獻[11]中6種樣品的原始測量數據進行分析，結果如表1所示。

表1 不同介質材料介電性能分析結果及與文獻[11]結果比較

由表1可見，本文方法與文獻[11]的數據處理結果具有較好的一致性。同時，表1給出了本文方法與文獻[11]計算結果的相對偏差、介電常數的相對偏差小于0.5%，而介電損耗的最大相對偏差約為5%. 進一步可以得到介電常數相對偏差的標準差為0.25%，介電損耗相對偏差的標準差為2.8%. 文獻[11]對其測量誤差進行了詳細分析，在綜合考慮諧振頻率、無載品質因數、金屬表面電導率以及器件幾何尺寸對測量影響的條件下，得到高密度聚乙烯、交聯聚苯乙烯、聚碳酸酯、聚四氟乙烯相對介電常數的測量誤差分別為1.3%、1.2%、1.2%和1.4%，介電損耗總的相對誤差分別為7.0%、2.5%、1.1%、6.4%. 由于本文在數據分析和處理上采用了近似模型和方法，無法直接估算測量誤差，但通過與文獻[11]中的結果進行比較，并綜合文獻[11]中測量結果的誤差及本文方法與該結果的相對偏差，可粗略估算出本文方法介電常數的測量誤差為2%，介電損耗的測量誤差為10%.

5 結論

本文針對雙模介質諧振器數據處理復雜這一問題，基于諧振腔微擾理論，提出了一種近似分析方法。該方法簡化了現有方法的復雜度，提高了此類諧振器用于材料介電性能測量的可操作性。用所提出的近似方法對文獻[11]中的測試數據進行了分析，發現本文結果與文獻[11]的結果具有較好的一致性。綜合考慮文獻[11]測量結果的誤差和本文結果與文獻[11]結果的偏差，可估算出本文方法介電常數誤差為2%，介電損耗誤差為10%.