數學課堂要在錯誤資源中找到正確之路

楊峰

[摘 要]“失敗是成功之母”，對于數學學科來說，許多真理也是在不斷的出錯、糾錯中演化而來的。正確和錯誤是相對的，錯誤的認識和結論并非全無道理，有時只是以偏概全或者不夠縝密，只要教師加以引導，取其精華，去其糟粕，就可以讓學生探索出真知，同時對真知的認識更客觀、更理性。

[關鍵詞]錯誤資源；正確之路；分數的基本性質

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2018）20-0048-01

數學課堂永遠帶有未知性，學生的答案經常出乎教師的預料。對待學生腦洞大開的見解，教師不可一味否定或者不予置評。作為教師，有義務為學生耐心細致地解讀和點評每一個答案。教師要用心對待學生的錯誤，智慧穩妥地處理這些生成性資源，從而讓課堂充滿新奇，更加多元化。

一、生成錯誤

在執教“分數的基本性質”一課時，筆者在導入環節展示了一大批分數，要求學生從中圈選出數值相等的分數，編成數組。通過仔細觀察，學生很快找到分數組。對于學生的答案，筆者并未簡單做出回應，而是引導學生探究“如何證明這組分數的大小相等”。學生隨后在小組內進行合作探究。筆者誘導學生深入思考：這組大小相等的分數，分子、分母都在變，那保持恒等的是什么呢？這其中有什么奧秘？從某種程度上講，數學就是研究變量與不變量的一門科學。學生靜心觀察后，開始探討。學生甲說：“依我看，這組分數的分子逐次增加了1，而分母則逐次增加了2。”學生甲的話音未落，學生乙霍然起身興奮地說：“我明白了，把這組分數的分子單獨拎出來，是一組升序排列的等差數列，公差為1，如果把分母單獨拎出來，則是另一組升序排列的等差數列，公差為2。”

二、包容錯誤

如果說學生甲的發言內容在筆者的意料之中，那學生乙的發言則出乎筆者的意料。出現了插曲怎么辦？既然冒出了令人始料未及的答案，作為教師，就不能充耳不聞。于是，筆者再次提問：“還有其他規律嗎？”當大家再次回顧這組分數時，又有了新發現：從乘積倍增的角度看，這組分數的分子、分母同時擴大了2倍、3倍、4倍，分數值恒等。學生丙這時在前面兩位同學的理論基礎上，進行合情推理，概括出更一般的規律：分子、分母同時擴大相同的倍數，也就是乘同一個數，分數值不變。

教學進展到這，就已經柳暗花明了。接下來，只要再查漏補缺，補敘關于排除0這一特殊情況，就可以得出標準化的分數基本性質。但這時得出的結論和學生甲所述的內容相去甚遠，肯定了后面的結論就間接推翻了學生甲的觀點。如何將兩者有效融通，求同存異？在這個節骨眼上，筆者并未急于揭底，而是組織了第三次觀察活動：想一想如果將最終結論移植到學生甲總結的規律上行得通嗎？通過動手實踐，學生再次發現，分數的分子和分母同時乘以任意數，數值恒定，而分子、分母同時加上任意數，數值不恒定。如果放寬條件，將“加上同一個數”改為“分別加上不同的數”，那么加上去的數也是有著嚴格限制的。

“我懂了，乘的條件更寬松。”最初發言的學生甲茅塞頓開。他不僅全盤接受了新結論，還能夠正視自己的觀點并做出調整，難能可貴。“老師，既然這樣，把分子、分母看成一組等比數列又有何妨？”又有學生提出新觀點。課堂上，生生互動交流，學生的思維不斷碰撞出火花。

接著，筆者組織第四次觀察活動，尋求兩種規律之間的邏輯關聯。經過深入對比、分析、推理，學生發現：其實分子逐次遞增1個數量，就是對n 個1進行連加，分母逐次遞增2個數量，就是對 n 個2進行連加，乘法和加法可以自由互換。換言之，分子加上n，分母加上2n，就能在加法語境下，使分數值恒等。

三、品味錯誤

這次糾錯的過程讓筆者深刻意識到：課堂上害怕、回避、蔑視錯誤都是缺乏教學智慧的表現。直面錯誤，冷靜處理，在錯誤中找到合理的成分，去偽存真，就能將錯誤化為有效的教學資源。教師在教學中要辯證地看待錯誤，而要練就這樣的教學智慧，就要不斷磨煉教學技能。

其實，不恰當的“一般化”才是出錯的根源。把已經學過的知識或方法，不加以變通和改造，照搬照套到新的問題情境中，就會產生排異反應。不恰當“一般化”的出現是學習的初級階段的正常反射，因為思維結構的不成熟，學生在處理問題時會按照減省的滑坡心理機制進行。“一般化”本身沒有錯，事實上它是合情推理的必經之路。因此，對學生的錯誤不宜無情地指出并勒令改過，尤其是“錯誤觀念”與“正確觀念”有協商空間時，教師更要善于通過對比互補，揭示兩者之間的對立統一關系，找到“最大公約數”。

學生在課堂上出錯在所難免。尊重學生的錯誤，努力讀懂學生的錯誤，把錯誤當成誕生正確的孕囊，數學課堂就會迎來新生。

（責編 羅 艷）