淺談小學(xué)幾何直觀的階段性呈現(xiàn)

崔衛(wèi)紅

[摘 要]幾何直觀是用幾何圖形展現(xiàn)數(shù)學(xué)關(guān)系，揭示數(shù)理邏輯，它是一種描述和刻畫數(shù)學(xué)規(guī)律的手段，有別于“直觀幾何”。其中幾何圖形是一種圖文工具，是對(duì)實(shí)物抽象的初級(jí)形式。通過孵化、過渡和強(qiáng)化三個(gè)階段，培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升。

[關(guān)鍵詞]幾何直觀；表象；抽象；分層；孵化；發(fā)展

[中圖分類號(hào)] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 1007-9068（2018）20-0058-02

幾何直觀研究的對(duì)象涉及數(shù)學(xué)的方方面面。“幾何”是媒介，“直觀”是方式，是指對(duì)學(xué)習(xí)材料的直覺感知。空間變換思維能力是“幾何直觀”成立的基礎(chǔ)。幾何直觀以幾何體為信息傳輸?shù)妮d體，要求學(xué)生不僅要熟練掌握幾何圖形的性質(zhì)和特征，還要具備一定的圖文轉(zhuǎn)換能力。培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀能力可分為三個(gè)階段：孵化階段→過渡階段→強(qiáng)化階段，每個(gè)階段都有自己的特色。

一、孵化階段，材料抽象要逐步遞進(jìn)

幾何直觀的孵化階段主要集中在一、二年級(jí)，但此時(shí)的直觀教學(xué)往往采用道具、圖片、視頻等載體，嚴(yán)格說，算不上幾何直觀。而且這兩個(gè)年級(jí)段的學(xué)生依賴動(dòng)作思維開展學(xué)習(xí)活動(dòng)，為迎合學(xué)生的口味，教學(xué)要采用直觀教學(xué)法。如果適當(dāng)抽象，則能進(jìn)一步孕育出幾何直觀的雛形。如對(duì)于“100以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)”這個(gè)知識(shí)點(diǎn)，人教版教材是利用小棒來推演數(shù)的遞增。這是用客觀實(shí)物來演繹數(shù)學(xué)知識(shí)，稱為實(shí)物直觀。如何將其逐步升級(jí)為幾何直觀呢？教師要精心挑選教具。首先考慮回形針或木棒，將它們按“10個(gè)為一小堆”“100個(gè)為一大堆”擺放，分別對(duì)應(yīng)計(jì)數(shù)單位“十”和“百”；接著換成木塊，1塊代表“一”，10塊排成一列代表“十”，10列連成片代表“百”。仔細(xì)比照甄別，就會(huì)發(fā)現(xiàn)，木塊雖是實(shí)物，但它的外形具備“點(diǎn)—線—面”的幾何特性，能為計(jì)數(shù)單位“千”（立體）的推出奠定基礎(chǔ)，如圖1所示。這樣的實(shí)物模型和演示結(jié)構(gòu)有利于學(xué)生搭建起數(shù)學(xué)模型和計(jì)數(shù)單位之間的橋梁，為發(fā)展學(xué)生的幾何直觀能力夯實(shí)基礎(chǔ)。

二、過渡階段——積累經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)意識(shí)

“幾何直觀”的準(zhǔn)確性建立在長(zhǎng)期的經(jīng)驗(yàn)積累和直覺判斷上，而數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累必須建立在對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的建構(gòu)上。簡(jiǎn)易平面圖形的認(rèn)識(shí)集中出現(xiàn)在三、四年級(jí)，如線段、角、各種多邊形，因此這一階段為發(fā)展幾何直觀的過渡期。這一階段的教學(xué)既要重視實(shí)踐活動(dòng)的開展，又要注重反思總結(jié)，幫助學(xué)生將過程記憶升級(jí)為思維記憶。

例如“三角形的內(nèi)角和”的教學(xué)，我讓學(xué)生通過三個(gè)實(shí)驗(yàn)去驗(yàn)證：1.測(cè)量三角形的所有內(nèi)角，求和；2.裁剪三角形的三個(gè)角，組裝成一個(gè)平角（如圖2）；3.通過折疊，將三角形的三個(gè)內(nèi)角湊成平角（如圖3）。

實(shí)驗(yàn)雖然存在一定的誤差，但還是很有必要的，其價(jià)值在于給學(xué)生提供實(shí)驗(yàn)的經(jīng)歷，使之從中獲得直觀體驗(yàn)。綜合上述三個(gè)實(shí)驗(yàn)的精華，學(xué)生就有可能提煉出一種平面圖形的幾何直觀（如圖4）。

四年級(jí)的時(shí)候，學(xué)生的幾何直觀能力發(fā)展迅速。一方面，這時(shí)候的學(xué)生掌握了一定的幾何基礎(chǔ)知識(shí)，另一方面，數(shù)學(xué)知識(shí)越來越抽象，必須借助大量的直觀材料來支撐思維過程，實(shí)物載體慢慢演變?yōu)閳D形字符載體，幾何直觀開始顯現(xiàn)。此時(shí)，教師要注重培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀意識(shí)，促使學(xué)生在分析解決問題時(shí)主動(dòng)利用幾何直觀來輔助推理。學(xué)生幾何直觀意識(shí)的提高依賴于對(duì)幾何直觀價(jià)值的認(rèn)可。因此，教師在教學(xué)中要突出幾何直觀的優(yōu)越性和先進(jìn)性。

例如“異分母分?jǐn)?shù)加、減法”的教學(xué)中，學(xué)生計(jì)算“+”時(shí)一般會(huì)出現(xiàn)三種情況：（1）+=；（2）+=+=；（3）+=0.5+0.4=0.9。

對(duì)此，教師要設(shè)法讓學(xué)生理解通分的道理和緣由，指明分?jǐn)?shù)加減也是相同數(shù)位上的數(shù)字進(jìn)行相加減，或者相同計(jì)數(shù)單位的加減。教師可以利用“分?jǐn)?shù)墻”（如圖5）來解釋。

觀察“分?jǐn)?shù)墻”可知，相鄰兩行之間的單元塊代表不同的分?jǐn)?shù)單位，因此不能直接相加，于是我引導(dǎo)學(xué)生尋找能代表與的單元塊。從“分?jǐn)?shù)墻”可知，1個(gè)等同于5個(gè)，2個(gè)等同于4個(gè)，經(jīng)過轉(zhuǎn)化，計(jì)數(shù)單位相同，可以直接進(jìn)行加減，得出9個(gè)，即+=+=。

三、強(qiáng)化階段，深層推進(jìn)數(shù)形結(jié)合

五、六年級(jí)時(shí)，學(xué)生的幾何直觀能力已經(jīng)較強(qiáng)，幾何直觀能力的進(jìn)一步發(fā)展必須建立在數(shù)形轉(zhuǎn)化的基礎(chǔ)上。數(shù)形轉(zhuǎn)換，就是要隨時(shí)將數(shù)碼字符和幾何圖形進(jìn)行互通互聯(lián)，讓學(xué)生的思維在圖形和數(shù)字之間自由切換。教學(xué)中，教師可以結(jié)合具體教程制作圖形，強(qiáng)化讀圖訓(xùn)練，也可通過趣味游戲活動(dòng)，訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)形轉(zhuǎn)化能力。

例如，教學(xué)“正方形數(shù)的認(rèn)識(shí)”時(shí)，出示圖6，先要求學(xué)生觀察并思考“每個(gè)點(diǎn)陣共有多少個(gè)點(diǎn)？排陣有什么規(guī)則？”，從而提出“正方形數(shù)”的定義。接下來，通過勾畫圖形建立算式模型，如點(diǎn)數(shù)為n2時(shí)，為面積求法的模型；也可表示為等差數(shù)列求和：1+3+5+…+n；也可以表示螺旋式求和：4+3+3+2+2+1+1；還可以劃分為三角形：1+2+3+…+n+…+3+2+1，如圖7。

像“三角形數(shù)”“正方形數(shù)”這樣的點(diǎn)陣計(jì)數(shù)法，將點(diǎn)數(shù)用幾何圖形的方式表現(xiàn)出來，數(shù)與形高度統(tǒng)一，既可以體現(xiàn)數(shù)字的幾何特性，又可以將幾何圖形的周長(zhǎng)、面積等用數(shù)字解析出來，十分有助于學(xué)生幾何直觀能力的發(fā)展。

縱觀小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，學(xué)生的幾何直觀能力培養(yǎng)是一個(gè)波浪式前進(jìn)的過程，需要長(zhǎng)期跟蹤輔導(dǎo)和磨煉。本文劃分的三個(gè)階段也是籠統(tǒng)模糊的，各階段之間并非涇渭分明，而是漸變過渡的。但是這三個(gè)階段已能指明幾何直觀能力發(fā)展的大方向，為教師在教學(xué)中滲透幾何直觀提供重要參考。

（責(zé)編 吳美玲）