半潛式平臺在外載荷下的位移計算與仿真

韓 森，賈寶柱，顧一鳴

(大連海事大學 輪機工程學院，遼寧 大連 116026)

0 引 言

浮式海洋結構物為了避免受到環境擾動后發生位置漂移，需要裝備能夠控制其位置保持在作業條件允許的半徑范圍內的定位系統，常見的有動力定位、錨泊定位及錨泊輔助動力定位等方式。錨泊輔助動力定位結合了錨泊定位和動力定位的優點，既具備抵抗外載荷的能力，又能夠控制半潛式平臺的首向、偏移量以及對任意可能斷裂的錨泊線進行補償。當外載荷較小時，錨泊系統能提供足夠的回復力使平臺保持在允許作業半徑內而不需要推進器開動，從而降低動力定位系統的燃油消耗；當外載荷超過錨泊系統的回復力極限，動力定位能夠阻止平臺的動態運動并抵消部分外載荷，防止錨泊線出現應力過大導致的斷裂。因此根據環境載荷提前預估半潛式平臺可能的位置能夠加強系統的定位能力、節約成本及增大可變載荷。Smith等[6]基于懸鏈線方程采用拉格朗日迭代求解深水兩成分錨泊線的回復力。Liu等[2]對規則波浪條件下的采用錨泊系統的半潛式平臺的運動響應進行了數值研究，并用2種不同的方式評估錨泊系統對平臺運動響應的影響。Qiao等[3]對2種靜力特性及布錨方式相同的錨泊系統進行了非線性時域耦合分析，并研究了兩者對平臺運動及系泊線張力的影響。Guo等[4]研究了懸鏈式錨泊線在動態響應下的非線性回復力問題。余龍等[5]通過準靜定法研究了不同錨泊線組成對錨泊系統回復力的影響。

錨泊系統的錨泊線并不總是交于一點，因此半潛式平臺在外載荷及錨泊線張力的共同作用下既產生位移，首向又會發生改變，稱這樣的系統為非匯交錨泊系統。但如果假設錨泊系統的所有錨泊線總是交于一點，則平臺只產生位移，首向不發生變化，稱之為匯交錨泊系統。匯交錨泊系統是對實際系統的一種簡化，但進行相關仿真計算時更加簡單方便。本文通過提出的平臺位移計算方法比較匯交和非匯交錨泊系統之間的性能差異，具體的研究方法和相關結論可為半潛式平臺的定位控制及計算提供參考。

1 計算方法

以平臺中心為坐標原點，水平方向中線為x軸，首向為x軸正向，縱向中線為y軸，左舷為y軸正向建立海洋平臺船體坐標系。平臺采用8點對稱式布錨，錨泊線編號為L1～L8，虛線為平臺受到環境擾動后的位置，如圖1所示。

圖1 錨泊系統在外載荷下的位置變化圖Fig. 1 The position change of the mooring system under external interference

圖中，編號分別為W1，W2，W3，W4的4臺錨絞機布置在平臺的4個角上，每臺錨絞機控制2條錨泊線，其夾角設為θ，相鄰錨絞機之間的距離分別為x0和y0。若平臺位置變化后其中心由O點移動到O′點，直線位移大小為δm，位移方向為β。由于所有錨泊線不交于一點，因此當平臺位置變化后其首向會發生改變，設變化角度為ψ。

1.1 回復力計算

已知平臺位移δ、方向α及轉角ψ，可求出平臺位移后錨絞機在北東（NE）坐標系下的位置為：

式中，XWi，YWi分別為錨絞機Wi的橫坐標和縱坐標，i=1，2，3，4。

定義平臺位移后錨泊線的水平長度與其初始狀態下的水平長度之差為等效位移ΔL，則

式中：Xj，Yj分別為與第j根錨泊線連接的錨在NE坐標系下的橫坐標和縱坐標，i=1，2，3，4；j=1，2，…，8，錨絞機和錨泊線存在對應關系，例如W1對應L1和L2，以此類推；L是錨泊線在預張狀態下的水平長度。

在錨固點不變時，錨絞機的等效位移ΔL即為相應錨泊線長度的變化，假設8根錨泊線的材質及組成完全一致，因為錨泊線頂端水平張力與位移呈現非線性關系，無法用統一的數學方程加以描述，可以采用級數對其進行逼近，設錨泊線頂端水平張力與等效位移的關系為

式中：T0為錨泊線在預張狀態下的水平分力；κ為錨泊線頂端張力與海平面的夾角，其值與ΔL滿足函數關系；ai為待求的參數；n的大小與單根錨泊線的應力模型有關。

已知錨泊線頂端水平張力與等效位移的關系函數，可以求出錨泊線水平張力T，其與NE坐標系中E軸的夾角為λ：

已知錨泊線頂端的水平張力T及夾角λ，通過力的合成可求出錨泊系統的靜回復力F和方向β：

式中，Tj和λj分別是第j根錨泊線提供的水平張力及作用方向。

設M是首搖方向的平臺力矩，則

式中：d為錨絞機到平臺中心的距離；μi為錨絞機Wi與平臺中心的連線和船體坐標系下x軸的夾角。

1.2 公式擬合

對錨泊線頂端的水平張力進行計算時，首先要確定式（4）中的待求參數。以三段式組合錨泊線為研究對象，上段鋼鏈與錨絞機相連，中段鋼纜，下段鋼鏈與錨相連。在鋼纜中串聯浮子改善錨泊系統的靜力特性[6]，并考慮其尺度作用，材質參數如表1所示。海洋平臺的工作水深設為300 m，海流的切向和法向阻力系數分別為0.024和1.2[7]，流速分布為均勻流1.2 m/s。錨泊線在預張狀態下的長度為1 500 m，上段錨鏈的長度為50 m，下段錨鏈的長度為595 m，將整串浮子的起點位置安置在距錨泊線頂端550 m處，浮子尺度為5 m，浮子和錨鏈的直徑為等效直徑。

表1 錨泊線材料特性Tab. 1 Line physical properties

在錨泊線頂端施加預緊力，能使平臺在一定的外載荷下正常作業而不需要錨絞機運行，選擇合適的預緊力能夠增強錨泊系統抵抗外載荷的能力[8]。

對錨泊系統的所有錨泊線預加某初始張力，使平臺處于平衡位置，當外載荷作用于平臺后，平臺發生位移。在錨絞機不動作的情況下，背離外載荷方向的錨泊線中總有一根受力最大。以受力最大的錨泊線為研究對象，當平臺處于允許工作半徑時，此錨泊線剛好達到安全應力的臨近點，這時的錨泊線初始張力即為最佳預緊力。

本文錨泊線采用的安全系數為2。通常規定平臺的工作半徑為水深的3%～5%，本文將平臺的正常作業半徑設為12.123 m。以錨泊線頂端位移為x軸，錨泊線頂端張力為y軸建立平面直角坐標系。當錨泊線頂端位移為12.123 m，頂端張力剛好處于安全應力的臨界點（2 920 875 N）時，其張力-位移曲線與x=0的交點即為錨泊線的最佳預緊力。根據給出的錨泊線參數，使用分段外推法[9]在Matlab中搭建錨泊線的應力模型，得出單根錨泊線頂端張力與位移的關系曲線，如圖2所示。

圖2 錨泊線張力-位移曲線Fig. 2 The tension-movement curve of mooring line

從圖中可知，錨泊線的最佳初始預張力為1 500 261 N。

繼續使用搭建的錨泊線應力模型，得出單根錨泊線水平張力與位移的關系，并對式（4）中的參數進行求解，得到錨泊線頂端水平張力與等效位移的函數關系為

所得函數圖形與通過仿真得到的錨泊線頂端水平張力和位移關系點的差異如圖3所示。

圖3 錨泊線水平張力-位移曲線Fig. 3 The horizontal tension-movement curve of mooring line

從圖中可以看出，函數曲線較好地反映了錨泊線水平張力與位移的關系，式（9）可以用于錨泊系統靜回復力的計算。

2 求解與驗證

定義位移方向、回復力方向及外載荷方向都是其與E軸的夾角。平臺在外載荷的影響下從A點移動到B點，此時回復力與外載荷方向大小相等，方向相反，三者的關系如圖4所示。

已知外載荷大小及方向，使用數值求解的方法得出平臺的位移方向及大小。但是，在求解之前，需要驗證平臺的位移方向與外載荷方向是否一致，即位移方向與回復力方向是否相等。如果兩者方向不相等，需要在整個NE坐標系下尋找平臺位置，使其在此位置下的回復力與外載荷剛好抵消；如果兩者方向相等，或者偏差很小，則只需在外載荷方向上尋找平臺位置，這樣能夠大大減小求解范圍，提高求解速度。

錨泊系統采用θ=π/4的布錨方式，根據之前推導的回復力計算公式，在Matlab中搭建錨泊系統的回復力模型，比較平臺在允許工作半徑內回復力方向β與位移方向α的差異，如圖5所示。

圖4 方向示意圖Fig. 4 Direction diagram

圖5 回復力方向與位移方向差異圖Fig. 5 The direction difference between the restoring force and movement

從圖中可以看出，平臺位移越大，回復力方向與位移方向之間的差距越大，但是兩者在允許作業半徑內的最大的差值僅為0.000 89 rad，因此可以認為錨泊系統的回復力方向與平臺位移方向相等，即平臺的位移方向與外載荷方向一致。

2.1 求解方法

根據之前的公式推導和仿真分析，可以在已知外載荷大小及方向的情況下，求解平臺的位移及首向變化。當布錨夾角θ以及錨泊線材質組成確定后，通過建立的NE坐標系得到預張狀態下的錨絞機及錨固點坐標。已知外載荷大小Fr與方向γ，因為位移方向α與外載荷方向一致，所以只需假設位移大小為δ和平臺首相變化為ψ，即可根據式（1）、式（2）、式（3）求出錨絞機坐標及錨泊線頂端的等效位移。將等效位移代入式（9）中，就能求出每根錨泊線的張力，最后經過式（6）求出平臺的回復力大小。調整位移大小δ直到回復力大小與外載荷大小之差滿足一定精度。因為位移方向確定后，位移大小與平臺首向變化存在一一對應的關系，因此相當于只有一個自變量，結果存在唯一解。具體計算流程如圖6所示。其中，ε是一個足夠小的值。

圖6 求解流程圖Fig. 6 The solution flow chart

2.2 可行性驗證

給定平臺一個實際位置，可以得出平臺在此位置下的回復力大小及方向。將計算得出的回復力假設為外載荷，通過圖6給出的求解方法得出平臺的計算位置。比較平臺的實際位置與計算位置，來驗證方法的可行性，仿真結果如圖7所示。

圖7 坐標差異圖Fig. 7 The coordinate difference chart

從圖中可以看出，平臺的實際位置與計算位置差異很小，所以本文給出的計算平臺在外載荷下位移的方法具備可行性和準確性。

3 匯交和非匯交錨泊系統的差異

實際的錨泊輔助動力定位系統中，所有的錨泊線并不會交于一點。但采用非匯交方法對平臺位置進行計算時，由于計算量偏大會導致控制器的時效性較差，進而影響動力定位系統中的推進器對前饋的補償。本節借助上節給出的平臺位移計算方法，研究匯交和非匯交錨泊系統的差異，進而探討使用匯交錨泊系統代替非匯交系統的可行性。

3.1 位移差異

錨泊系統的定位能力是由所有分布在平臺四周的錨泊線共同決定的，在相同的外載荷下，平臺的位移越小，說明錨泊系統的定位性能越好，推進器工作的頻率越小。本文采用對稱式布錨，因為流速對錨泊線的偏移量幾乎沒有影響，所以只研究外載荷方向γ在0～π/2 rad范圍內，非匯交與匯交錨泊系統的平臺位移差異，如圖8所示。

圖8 位移差異圖Fig. 8 The movement difference diagram

從圖中可以看出，隨外載荷的增大，非匯交與匯交錨泊系統的位移差異逐漸增大。當外載荷大小為4 597 207 N，外載荷方向為0.75 rad時，兩者的位移差異最大，為0.013 5 m，相比于此時位移大小為12.272 9 m的非匯交平臺，兩者的位移差異可忽略不計。

為了更加直觀比較匯交和非匯交錨泊系統對平臺位移的影響，給兩者施加同樣的外載荷。其中，外載荷大小為：

外載荷方向為：

兩者在外載荷下的平臺運動軌跡如圖9所示。

從圖中可以看出，在允許工作半徑內，匯交和非匯交錨泊系統的平臺在相同外載荷下的運動軌跡差異可忽略不計。

圖9 運動軌跡差異圖Fig. 9 The trajectory difference chart

3.2 錨泊線受力差異

研究匯交和非匯交錨泊系統的差異，不能單單考慮平臺在相同外載荷下的位移差異，也要考慮錨泊線的受力，特別是所有錨泊線的受力均勻程度。錨泊線在外載荷的影響下受力越均勻，則錨泊線發生斷裂的可能性就越低。匯交與非匯交錨泊系統的8根錨泊線在4 500 000 N外載荷下的應力差異如圖10所示。

圖10 錨泊線受力差異圖Fig. 10 The tension difference of all mooring lines

從圖中可以看出，當錨泊線張力大于初始預張力時，匯交錨泊系統的錨泊線的受力比非匯交偏小；反之則偏大。當外載荷方向為1.05 rad時，錨泊線L6的頂端張力差異最大，為52 283 N，而此時非匯交系統中對應錨泊線的頂端張力為2 856 725 N，相對差異并不大。

用8根錨泊線受力的標準差表示錨泊線受力的均勻程度，兩者的錨泊線受力均勻性差異如圖11所示。

從圖中可以看出，隨外載荷的增大，匯交和非匯交錨泊系統的錨泊線受力均勻性差異越來越大。當外載荷大小為4 597 207 N，外載荷方向為0.65 rad時，兩者的錨泊線受力標準差差異最大，為433.67 N，相比于此時受力標準差大小為870 332.35 N的非匯交錨泊系統，差異可忽略不計。

3.3 平臺的首向差異

非匯交錨泊系統的錨泊線并不總交于一點，因此平臺在外載荷的影響下既發生位移，首向又發生變化。下面研究外載荷大小及方向對平臺首向ψ的影響，如圖12所示。

圖11 受力均勻性差異圖Fig. 11 The difference diagram of tension uniformity

圖12 平臺首向變化圖Fig. 12 The difference diagram of platform bow

從圖中可以看出，隨外載荷的增大，平臺首向變化逐漸增大。平臺在0～π/2 rad范圍內的首向變化都為正值，即平臺轉動方向全部都為逆時針。當外載荷大小為4 597 207 N，外載荷方向為0.7 rad時，平臺的首向變化最大，為0.009 69 rad。所以非匯交錨泊系統對平臺首向的影響可忽略不計。

綜上所述，與實際系統相比，匯交錨泊系統在平臺位移、錨泊線受力以及平臺首向方面存在的差異很小，可忽略不計。在進行相關計算時可假設錨泊系統的所有錨泊線總交于一點。

4 結 語

本文提出一種計算半潛式平臺在外載荷下位移的方法，并驗證了其可行性。通過比較匯交錨泊系統與實際系統的差異，簡化了求解模型，使控制器能夠提前預估平臺在外載荷下的位置，進而提高推進器的工作效率與控制精度。基本結論如下：

1）本文給出的半潛式平臺位移計算方法具備可行性及準確性。

2）采用錨泊定位的半潛式平臺的位移方向與外載荷方向基本一致，其首向在外載荷的影響下變化也很小。

3）在對錨泊系統的受力及平臺位移進行計算時，可使用匯交錨泊系統代替非匯交系統。

本文所做的研究工作及相應結論可為錨泊輔助動力定位系統控制器的設計提供參考。