淺談如何證明平面幾何題

平面幾何是以平面圖形為研究對象，以推理、論證為主體的學科。初學幾何，同學們對建立概念、分析問題、探求思路等都感到困難。下面談談證明平面幾何題的一般思路。

一、審題

審題就是弄清楚題目的意思，即把已知條件、求證結果、圖形三者表達清楚，理解明白，在頭腦中有個整體的認識。可采取如下的方法：

（一）列表法。就是把已知條件、求證結果、圖形三者用表格表達出來，例如：求證全等三角形對應邊上的中線相等。

（二）圖形表達法。把已知條件、求證結果在圖形中表達出來。

例如：求證等腰三角形兩腰上的中線相等，已知：如圖，AB=AC，BD、CE分別是AC、AB的中線，求證：BD=CE。

這種方法的特點是能充分利用圖形，圍繞圖形找出解題方法。

（三）卡片法。把已知條件，求證結果用卡片錄出來。例如：

這種方法把已知條件逐一展開，這樣能充分利用每一個已知條件的作用。

二、探求解題思路

探求解題思路是證明題的關鍵，也是同學們最敕手的問題，可采用以下方法：

（一）綜合圖法

把找出來的已知條件、求證結果列出來，再根據已知條件所能提供的信息，利用圖形在求證之間架起橋梁。例如：已知矩形ABCD中，E、F分別是邊AD、BC的中點，求證EB=DF。

分析：

（二）分析圖法。與綜合圖法相反，如上例：

（三）嘗試求解法。

對于從已知條件不能直接推導得到的求證結果，還需要作輔助線，同學們應大膽地進行嘗試添加輔助線

例如：已知在△ABC中，∠C=2∠B，求證：AB2-BC2=BC·AC

分析：

（1）由AB2-AC2=BC·AC，得AB2=AC（AC+BC）。根據右邊（BC+AC）作為一個因式，猜想可否把AC、BC線段合并起來變為一條線段，因此可延長AC到D，使CD=BC，從而有AD=AC+BC，再連結BD。

證明：延長AC至D，使CD=BC，并連結BD

∵BC=CD，∴∠D=∠CBD，

又∵∠ACB=2∠ABC

∠ACD=∠D+∠CBD，

∴∠CBD=∠ABC

即BC為∠ABD的角平分線，

∴AB2=AC·AD，即AB2=AC（AC+BC）

∴AB2-AC2=AC·BC

（2）由2∠B=∠C，可猜想是否作∠C的平分線來求解，故可作∠C的角平分線CD。

證明：作DC平分∠ACB，D在AB上，

∵∠C=2∠B，∴∠B=∠DCB=∠ACD，

在△ABC與△ACD中，

∵.∠A=∠A，∠ACD=∠ABC，

∴ABC∽ACD

∴AB/AC=AC/AD=BC/DC

有AC2=AB·AD，AC·BC=AB·BC

AC2=AB（AB-BD），即AB2-AC2=AC·BC

以上嘗試是根據題設出發和求證出發的，但是嘗試的方法是多種多樣的，要具體問題具體分析。同學們要大膽進行嘗試，不斷提高解題能力。

（四）探求一題多解

在證明題中，要充分挖掘習題的潛在動力，恰當地采用一題多解的方法進行思路分析，探討解題規律和習慣。例題的多角度追蹤是有利于培養同學們思維的靈活性和靈活運用知識的能力。例如這樣一道題：已知在△ABC（AB>AC）的邊AB上取一點D，在邊AC上取一點E，使AE=AD，直線DE和BC的延長線交于P，求證：BP：CP=BC：CE。

這道題可根據輔助線的不同作法有不同的解法。

根據以上三種作圖方法便有三種證法（證明從略）。

還有一些證明題，它是同學們接觸到的習題里推廣或變型所得到的，同學們只要細心回顧、對比，把之與熟題聯系起來，就很容易找到解題方法。

三、表達

經過一番努力，弄通了題目的結論與題設的通道，對題目有個全面的掌握后，書寫表達證明過程也極為重要。它不僅再現證明過程，而且還能提高同學們的推理思維能力。因此，同學們在這一關也不能放松。書寫前，要求同學們根據思路重新回顧一遍，看每一步推理是否正確無誤，引用公理、定理、定義、概念是否失實等，培養同學們思考的的嚴密性，并且書寫要清潔明了，層次要分明、嚴謹規范。

四、檢驗回顧解題

檢驗解題主要是檢驗推理是否有據，論斷是否合理，步驟是否連貫，結果是否全面。同樣，回顧解題的思路和方法，可以把此類問題的證明思路和方法進行總結和推廣。如何證明線段相等，角相等，線段成正比例；如何進行添加輔助線等，把它們進行總結、歸類，對以后的證明提供可靠的方法和思想。此外，同學們還應多去探求問題的各種情況，真正把問題搞透了，學活了，就能夠融會貫通，舉一反三。

作者簡介：劉敏紅（1968—），性別，女，民族（漢族默認不寫），漢，籍貫（精確到市），廣西貴港市桂平市，學歷，大專，本科（函授），畢業院校，玉林師范學院，中央黨校函授學院，職稱（詳細職稱）中小學教師系列-中學高級教師（副高級），現就就職于，廣西貴港市桂平市西山鎮第一初級中學，研究方向，初中數學。