基于“過程教育”的課例及說明

錢志杰

【內容摘要】根據“直角三角形”在幾何計算及證明中的地位與作用及其教育價值，通過“過程教育”指導下的多次螺旋式加深發展的教學探索與反思.初步的理論求證與實踐驗證表明，探索中形成的教學操作方法對促進學生全面、和諧發展有積極的影響。

【關鍵詞】過程教育直角三角形方程思想教學說明

一、課例的背景

“過程教育”是旨在滿足學生全面、和諧發展的需要，關注數學結果形成與應用的過程和獲得數學結果（或解決問題）之后反思過程的育人活動.浙教版《義務教育教科書·數學》八年級上冊“2.6直角三角形”是認識特殊三角形的繼續.直角三角形是幾何圖形中一個常見的基本圖形，運用直角三角形相關性質來解決角與邊的問題在后繼學習中經常遇到；研究直角三角形中方程思想應用的方法對后繼學習有指導作用.生成構造直角三角形、利用勾股定理解決線段邊長問題的過程有能力發展點、個性和創新精神培養點；其蘊含的分類討論思想、方程思想、生成基本圖形的數學活動經驗等，對發展學生的智力有積極的影響.基于“過程教育”的“直角三角形中方程思想的應用”的教學怎樣操作？筆者在“過程教育”指導下的多次螺旋式加深發展的教學探索與反思的基礎上，將形成的教學經驗整理出來，供參考。

二、教學實錄

環節1：經歷再認三角形常規性問題的過程——體會用字母代替未知的量。

師：問題1：已知三角形的兩條邊長分別為3和4，求第三邊長。

生1：條件不足，無法求出第三邊的具體長度。

師（追問）：具體長度不能求，那能確定第三邊長的取值范圍嗎？

生2：可以，利用三角形邊長性質：兩邊之和大于第三邊，可以算出第三邊大于1小于7。

師：很好，你利用了三角形邊長的性質.我們不妨設第三邊長為x，根據兩邊之和大于第三邊可以得到關于x的不等式組

3+4>xx+3>4

，

解得1

在已知普通三角形兩邊長的情況下，我們無法求出第三邊的具體值，但是可以確定它的取值范圍。

師：現在請大家繼續來解決三角形邊長問題。

問題2：已知直角三角形的兩條邊長分別為3和4，求第三邊長。

生3：利用直角三角形勾股定理，解得第三邊長x=32+42=5。

師：不錯，你利用直角三角形特有的勾股定理，把已知兩邊長看作是兩條直角邊，求出斜邊長為5，有沒有同學補充的？

生4：答案也有可能為7，當4為斜邊時，x=42-32=7。

師：很好，當直角三角形兩邊屬性不明時，需要分類討論：（1）4為直角邊；（2）4為斜邊。分類討論思想是解決數學問題的一個重要思想，這個思想在幾何問題中經常遇到。做題時，我們不妨簡單的畫出兩種情況的直角三角形，結合圖形更能直觀的得到答案，這種數形結合的思想在解決幾何問題中也是不可缺少的一種工具。

接下來請同學們模仿上述思維活動過程解決下例變式問題。

變式：已知直角三角形的兩邊長分別為8和15，則斜邊上的中線長為。

環節2：參與嘗試性質應用的活動——體會用數學思想解題的過程

師：同學們已經會解決已知兩邊求第三邊的問題，下面請大家嘗試下已知一邊求一邊的情況。

問題3：已知直角三角形三邊長為整數，其中有一條直角邊為11，求斜邊的長。

師（學生獨立思考5分鐘后）：通過畫圖，發現只知道一條直角邊.在求斜邊的過程中，你遇到了什么困難？

生5：如果能求出另一條直角邊的長，答案就呼之欲出了。

師（追問）：沒錯，但是另一條直角邊也是個未知的量，通過剛才兩個問題的解決對于未知量的處理你們有什么啟發嗎？

生6：可以假設另一條直角邊為a，斜邊長為c，根據勾股定理可列出關于a與c的方程：a2+121=c2。

師：很好，你巧妙的運用了方程思想，根據勾股定理這個等量關系得到方程.請其他同學一同列出這個方程，并嘗試解出這個方程的解。

師（學生絞盡腦汁地解題，5、6分鐘后）：你們能解決這個方程嗎？

生7：不能，這是個二元二次方程。

師：的確，那不妨我們嘗試著降次.原方程變形后可得：c2-a2=121，觀察這個方程，你發現了什么？

生8：方程左邊是個平方差公式，課進行因式分解得到（c+a） （c-a）=121。

師（激動）：聰明！其中a、c是整數，你能嘗試解出這個方程嗎？

生9：∵a、c都是整數

∴c-a和c+a也是整數

∵c+a=11c-a=11

解得c=11a=0

生10：不對不對，應該是

c+a=121c-a=1

解得

c=61c=60

師（鼓掌）：在兩位同學共同的努力下，我們最終得到了正確答案，c=61，即斜邊長為61.得到上述答案經歷了哪幾個步驟？

生11：先根據題意畫出圖形，再用字母表示未知的量，最好根據勾股定理列出方程并解方程。

師：不錯，一般地，在直角三角形解決邊長的問題中，我們常常將未知的量用字母代替，并利用勾股定理構造方程.在假設未知量的個數時，能少則盡可能的少。解方程時遇到多元化一元，高次降低次。

接下來，教師提供下列目標檢測題，要求學生獨立完成，并請幾個同學在黑板上演示.待學生完成任務后，教師組織學生進行交流與評價。

1、如圖，RtDABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°將DABC折疊，使A點與BC的中點D重合，折痕為MN，則線段BN的長為。

2、如圖，一張直角三角形的紙片ABC，兩直角邊AC=6cm，BC=8cm現將直角邊AC沿直線AD折疊，使它落在斜邊AB上，且AC與AE重合，求CD的長.

環節3：參與回顧與思考的活動——合作進行反思與總結

首先，教師出示下列“問題清單”，并要求學生圍繞“問題清單”進行回顧與思考。

（1）本節課復習了哪些內容？我們是怎樣復習的？

（2）生成用勾股定理構造方程解決直角三角形線段邊長的問題的過程經歷了哪幾個步驟？你感悟了哪些數學思想？

（3）你對解決直角三角形線段邊長問題有何感觸？你認為其他哪些類型的問題也可以用此類方法解決？

其次，教師組織學生合作交流，同時教師邊傾聽、邊評價。

第三，在此基礎上教師進行總結性講解。

三、教學說明

根據“直角三角形中方程思想的應用”的地位與作用及其教育價值，落實其全面、和諧的教學目標，需要引導學生經歷生成由簡單到復雜、方程思想的構造的實質性思維過程.但目前在這節課的教學中普遍存在生成思想的認知過程短暫和生成思想及方法后的反思過程缺失的問題.這有悖于“過程教育”，不能滿足學生理解方法、感悟蘊含的數學思想、積淀蘊含的數學活動經驗及發展能力和個性等的需要.本節課以有代表性的“題材”為載體，采用教師價值引導與學生自主建構相結合的適度開放的方法，引導學生經歷了完整的認知過程——既有求簡單的三角形邊長的取值范圍、觀察直角三角形邊長屬性不明基礎上進行分類討論求第三邊的長、用方程思想解決典型的直角三角形線段邊長的認知過程，以生成解決直角三角形線段的方法，也有生成方法之后反思的認知過程，以感悟生成用方程思想解決直角三角形線段的步驟和蘊含的數學思想；既有將二元二次方程化歸為一元一次方程組的認知過程，以鞏固一元一次方程（組）和發展化歸技能，也有化歸之后反思的認知過程，以感悟用方程思想解決直角三角形線段邊長問題的步驟和積淀蘊含的數學活動經驗.這體現了“過程教育”，對落實全面、和諧的教學目標有積極的影響.教學實踐表明，在性質教學中要實現知識、技能、能力、態度的完美統一，需要教師增強揭示方法及思想所蘊含的思維活動過程的自覺性，而引導學生經歷實質性思維過程需要教師貫徹啟發式教學思想——以符合“最近發展區”理論的題材為載體，運用教師價值引導與學生自主建構相結合的適度開放的方法，能使學生經歷“過程”中的思維“站點”，從而能促進學生全面、和諧發展。

【參考文獻】

[1]中華人民共和國教育部制定.義務教育數學課程標準（2011年版）[M].北京：北京師范大學出版社，2012.

[2]范良火.義務教育教科書·數學（八年級上冊）[M].杭州：浙江教育出版社，2015.

[3]鄭瑄. 數學課[M].上海：華東師范大學出版社，2009.

（作者單位：浙江省象山縣定塘中學）