構(gòu)造輔助數(shù)列證明不等式

張建新

【內(nèi)容摘要】數(shù)列不等式證明的方法靈活多變，學(xué)生往往無從下手，本文主要探究利用構(gòu)造輔助數(shù)列方法證明數(shù)列不等式的技巧，解題中我們要根據(jù)題情特征，機(jī)智巧妙地選擇證法，靈活變通，巧妙構(gòu)造，達(dá)到出奇制勝的效果。

【關(guān)鍵詞】構(gòu)造數(shù)列不等式

構(gòu)造法就是通過類比聯(lián)想，適當(dāng)變形，改造變通等技法，組裝成有利于解決問題的新方法，因此數(shù)學(xué)中的“構(gòu)造”既不神秘，也不是難以捉摸，而是目的性和方向性很強(qiáng)，有章可循，有法可依的一種操作性技能技巧。

本文就“構(gòu)造輔助數(shù)列”證明不等式展開探索研究，歸納總結(jié)出一般規(guī)律，從而消除大家對構(gòu)造的神秘感、陌生感和畏懼感。

一、神奇類比，巧妙構(gòu)造

“類比”就是一種“相似”，她是從一種特列到另一種特列的推理。類比不是瞎猜、亂猜，而是以已存儲知識為基礎(chǔ)，以直覺為先導(dǎo)，以思維為核心地類比，巧妙的構(gòu)造，達(dá)到證明問題的目的。

例1.已知數(shù)列{an}，{bn}的每一項(xiàng)都是正數(shù)，a1=4， b1=8，且an，bn，an+1成等差數(shù)列，bn，an+1，bn+1成等比數(shù)列 （n∈N*）

（Ⅰ）求a2，b2；

（Ⅱ）求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；

（Ⅲ）證明：對一切正整數(shù)n，都有1a1-1+1a2-1+…1an-1<23.

分析：

（Ⅰ）a2=12，b2=18；

（Ⅱ）an=2n（n+1），bn=2（n+1）2；

（Ⅲ）1an-1=12n（n+1）-1，由不等式結(jié)構(gòu)可知左邊無法求和，也就不能直接證明不等式，我們只能提取已經(jīng)存儲的基礎(chǔ)知識，展開類比聯(lián)想進(jìn)行探究。

思路：看到不等式的通項(xiàng)是關(guān)于自然數(shù)n的一個二次式，我們想到在數(shù)列單元課本上有一個數(shù)列{1n（n+1）}，其和進(jìn)行放縮可得不等式Sn=1-1n+1<1，這個數(shù)列學(xué)生非常熟悉，應(yīng)用的也比較熟練。因此，引導(dǎo)學(xué)生觀察不等式的結(jié)構(gòu)特征是左邊和之小于23，于是類比聯(lián)想構(gòu)造數(shù)列{231n（n+1）}，只需證得1an-1=12n（n+1）-1≤231n（n+1）成立，就突破了此題的難點(diǎn)。

證明：要證1an-1=12n（n+1）-1≤231n（n+1）成立，只需證4n（n+1）-2≥3n（n+1），

只需證n2+n-2≥0，只需證（n-1）（n+2）≥0恒成立。

所以1an-1=12n（n+1）-1≤231n（n+1）=23（1n-1n+1）

所以1a1-1+1a2-1+…1an-1≤23（1-12+12-13+…1n-1n+1）=23（1-1n+1）<23

評注： 通過兩個例題的構(gòu)造法探究，我們得到類比聯(lián)想構(gòu)造離不開扎實(shí)的基礎(chǔ)和良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。在解決問題時多從自己熟悉的知識入手，大膽嘗試構(gòu)造，只要結(jié)構(gòu)中出現(xiàn)“二次式”或 “指數(shù)式”，就可展開豐富的類比想象，提取熟悉的數(shù)列知識，巧奪天工的構(gòu)造將會收到神奇的效果。

二、適當(dāng)變形，和諧構(gòu)造

任何方法都不是萬能的，當(dāng)類比構(gòu)造法難以奏效時，應(yīng)考慮將不等式進(jìn)行適當(dāng)變形，然后再構(gòu)造輔助數(shù)列。當(dāng)然這種變形不是盲目的無的放矢，而是根據(jù)題情與需要制定出明確的目標(biāo)，讓其充分發(fā)揮導(dǎo)航的作用。

例2.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=（n2+n）·3n

（Ⅰ）求{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）證明：a112+a222+…ann2>3n

分析：

（Ⅰ） an=2n（n+2）·3n-1；（Ⅱ）觀察發(fā)現(xiàn)此不等式在n=1，n=2，…時都成立，那么我們可以分別將左右兩邊看為兩個數(shù)列的和，只要得到兩個數(shù)列通項(xiàng)滿足不等關(guān)系，則這兩個數(shù)列的和也就滿足這個不等關(guān)系。由此可以用上述思路構(gòu)造兩個輔助數(shù)列證明。

證明：設(shè)數(shù)列{bn}，{cn}的和分別為Bn，Cn，且Bn=a112+a222+…ann2，Cn=3n

∴n=1時，b1=B1=6，c1=C1=3，∴b1>c1；

當(dāng)n≥2時bn=Bn-Bn-1=ann2=2（n+2）·3n-1n， cn=Cn-Cn-1=2·3n-1

∵n+2n>1，∴bn>cn

綜上所述：（n∈N+），bn>cn，所以Bn>Cn。

即：a112+a222+…ann2>3n

以上用“構(gòu)造輔助數(shù)列”證明不等式的兩類方法，上述各法指向性十分明確。面對不同的題情特征，要機(jī)智巧妙地選擇證法，靈活變通，巧妙構(gòu)造，既達(dá)到了知識升華能力提升的要求，也達(dá)到了思想境界的升華的目的。

【參考文獻(xiàn)】

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（作者單位：甘肅省張掖市臨澤縣第一中學(xué)）