轉(zhuǎn)化思想

【內(nèi)容摘要】轉(zhuǎn)化思想是高中數(shù)學(xué)基本思想方法。轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用對(duì)提升學(xué)生解題能力有很大的幫助，本文以例題的形式介紹轉(zhuǎn)化思想在高中數(shù)學(xué)解題中的具體應(yīng)用。

【關(guān)鍵詞】轉(zhuǎn)化思想高中數(shù)學(xué)解題

一、問(wèn)題的提出

在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過(guò)程中，解題是提升學(xué)生能力最重要的手段。但筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生解題過(guò)程中經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)以下幾種狀況：（1）學(xué)生對(duì)于老師在課堂上講過(guò)的題目，稍微改動(dòng)就不會(huì)做了。（2）學(xué)生只懂得循規(guī)蹈矩答題，只懂得死算，經(jīng)常是費(fèi)時(shí)費(fèi)力還算不出來(lái)。（3）有多種解題方法，學(xué)生卻選擇最繁瑣的方法。這幾種現(xiàn)象主要是什么原因造成的呢？筆者認(rèn)為那是學(xué)生沒(méi)能領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)解題的本質(zhì)，未能真正掌握數(shù)學(xué)解題的靈魂。

二、數(shù)學(xué)解題的本質(zhì)與靈魂

解題有兩個(gè)特征：（1）所有數(shù)學(xué)問(wèn)題都是由已知條件和要解決的目標(biāo)兩部分組成。（2）所有數(shù)學(xué)解題都是在探求已知條件和目標(biāo)之間的一條通道。因此，數(shù)學(xué)解題的本質(zhì)就是在探求已知條件和目標(biāo)之間的聯(lián)系通道[1]。題目中的已知條件和目標(biāo)自然是顯而易見的，關(guān)鍵是如何尋求聯(lián)系的通道。世界著名數(shù)學(xué)家雅潔在《什么叫解題》中指出：“解題就是把要解的題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解過(guò)的題”。可以這樣講，學(xué)會(huì)了轉(zhuǎn)化，也就懂得了如何解題。因此，筆者認(rèn)為轉(zhuǎn)化思想是高中數(shù)學(xué)解題的靈魂。

三、什么是轉(zhuǎn)化思想

轉(zhuǎn)化的思想方法是高中數(shù)學(xué)基本的思想方法。數(shù)形結(jié)合思想可以看成數(shù)與形的轉(zhuǎn)化，函數(shù)與方程思想可以看成是函數(shù)、方程、不等式之間的相互轉(zhuǎn)化，而分類討論的思想?yún)s可以看成是部分與整體之間的轉(zhuǎn)化[2]。轉(zhuǎn)化思想是指在研究解決有關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)采用某種手段將問(wèn)題通過(guò)變換使之轉(zhuǎn)化，進(jìn)而解決問(wèn)題的一種方法[3]。其方向一般是化復(fù)雜為簡(jiǎn)單，化困難為容易，化陌生為熟悉，化未知為已知，化抽象為直觀。轉(zhuǎn)化的過(guò)程簡(jiǎn)單的說(shuō)就是將待解的問(wèn)題A，通過(guò)某種手段，歸結(jié)為另一個(gè)問(wèn)題B，而問(wèn)題B是相對(duì)容易解決或已經(jīng)解決或已經(jīng)有固定解決模式的問(wèn)題，且通過(guò)問(wèn)題B的解決可得到原問(wèn)題A的解答。轉(zhuǎn)化的方式和手段靈活多樣，而扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)是實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化的前提。下文就以例題的形式來(lái)說(shuō)明轉(zhuǎn)化思想的具體應(yīng)用。

四、轉(zhuǎn)化思想的具體應(yīng)用

1.一般與特殊的轉(zhuǎn)化

例1：已知e1→e2→是平面單位向量，且e1→e2→=12，若平面向量a→滿足a→e1→=a→e2→=1則a→=。

分析：本題如果把e1→e2→及a→用坐標(biāo)來(lái)表示，按照題意列方程，則運(yùn)算量比較大，計(jì)算困難，但如果能找到滿足e1→e2→=12的平面單位向量e1→e2→，以特殊代替一般，則計(jì)算變得簡(jiǎn)單。

略解：由e1→e2→=12得e1→e2→的夾解為π3，所以不妨設(shè)e1→=（1，0），e2→=（12，32），a→=（x，y）

則由a→e1→=a→e2→=1得x=1，y=33故a→=（1，33）

把一般的問(wèn)題特殊化，使問(wèn)題處理起來(lái)變得更加直接簡(jiǎn)單。有一些選擇填空題，當(dāng)題目條件是可變的，但結(jié)論卻是一個(gè)定值，遇到這種情況就可以把題中變化的量用特殊值代替，很快可解出答案。

2.數(shù)與形的轉(zhuǎn)化

例2：設(shè)a∈R，若x>0時(shí)均有[（a-1）x-1]（x2-ax-1）≥0，則a=。

分析：本題是含參數(shù)的不等式問(wèn)題，要通過(guò)不等式直接求解，根本無(wú)從下手，但通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)，不等式由兩部分相乘，一部分可看成為一次函數(shù)，一部分可看成為二次函數(shù)，通過(guò)對(duì)這兩種簡(jiǎn)單函數(shù)圖象進(jìn)行分析，則更容易得到答案。

略解：函數(shù)y=（a-1）x-1和y=x2-ax-1的圖像均過(guò)點(diǎn)（0，-1），為使兩函數(shù)值相乘大于等于0，則這兩函數(shù)的另一個(gè)公共點(diǎn)在x軸上。如圖所示容易得到a=32

本解法充分體現(xiàn)了數(shù)向形轉(zhuǎn)化所帶來(lái)的好處，問(wèn)題變得直觀，解題也變得更加容易。正所謂數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微。此解法充分體現(xiàn)數(shù)與形相互轉(zhuǎn)化的強(qiáng)大魅力。

3.函數(shù)與方程轉(zhuǎn)化

例3：設(shè)a>0，b>0，則以下滿足的是（）

A.若2a+2a=2b+3b，則a>b

B.若2a+2a=2b+3b，則a

C.若2a-2a=2b-3b，則a>b

D.若2a-2a=2b-3b，則a

分析：本題要根據(jù)一個(gè)方程，來(lái)比較兩個(gè)未知數(shù)的大小，按照解方程特點(diǎn)，我們知道一個(gè)方程并不能求出兩個(gè)未知數(shù)，因此，想求未知數(shù)再比較大小是完全行不通的。由于觀察到方程兩邊式子類似，想到把方程轉(zhuǎn)化為函數(shù)，并利用函數(shù)的單調(diào)性來(lái)求解。

略解：令f（x）= 2x+2x，顯然f（x）是單調(diào)遞增函數(shù)，由f（a）- f（b） >0可得a>b.所以選擇A。

本題題目中的方程沒(méi)辦法解，這時(shí)就要想到轉(zhuǎn)化，方程要么轉(zhuǎn)化成函數(shù)，要么轉(zhuǎn)化成不等式，轉(zhuǎn)化成函數(shù)就可利用函數(shù)的性質(zhì)，轉(zhuǎn)化成不等式則經(jīng)常與求最值、求參數(shù)的取值范圍相聯(lián)系。

4.主元與次元的轉(zhuǎn)化

例4：對(duì)于滿足0≤p≤4的所有實(shí)數(shù)p，不等式x2+px>4x+p-3恒成立，則x的取值范圍是。

分析：本題如果把x看成主元，p為參數(shù)的一元二次不等式，則在求解過(guò)程中要對(duì)p進(jìn)行討論，過(guò)程比較麻煩。但如果把p看成主元，則計(jì)算變得簡(jiǎn)潔。

解：設(shè)f（p）=（x-1）p+x2-4x+3，則當(dāng)x=1時(shí)，f（p）=0所以x≠1。

f（p）在0≤p≤4上恒正，等價(jià)于f（0）>0，f（4）>0 解得x>3或x<-1

本題主元與次元的轉(zhuǎn)化正是打破人的習(xí)慣性思維，認(rèn)為 就是表示未知數(shù)，而其它字母則表示參變量或常量。

5.正與反的轉(zhuǎn)化

例5：若對(duì)于任意t∈[1，2]，函數(shù)g（x）=x3+（m2+2）x2-2x在區(qū)間（t，3）上總不為單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是。

分析：函數(shù)在區(qū)間總不為單調(diào)函數(shù)，按照題干正面來(lái)解題，要分成比較多的情況進(jìn)行討論，十分麻煩，但若能從問(wèn)題的反面入手，則一切變得簡(jiǎn)單明了。

略解：（1）g'（x）=3x2（m+4）x-2，若g（x）在區(qū)間（t，3）上總為單調(diào)函數(shù)，

則①g'（x）≥0在（t，3）上恒成立，或②g'（x）≤0在（t，3）上恒成立。

由①得可得m≥-5；由②可得m≤-373

∴可得m的取值范圍為 （-373，-5）

本題體現(xiàn)的是正面與反面的轉(zhuǎn)化，由于正面有多種情況，可以先求出反面，體現(xiàn)“正難則反”的轉(zhuǎn)化思想。

6.局部與整體的轉(zhuǎn)化

例6：函數(shù) y=sin（2x-π3）的圖像，只需把函數(shù)y=sin（2x+π6） 的圖像（）

A.向左平移π4個(gè)長(zhǎng)度單位

B.向右平移π4個(gè)長(zhǎng)度單位

C.向左平移π2個(gè)長(zhǎng)度單位

D.向右平移π2個(gè)長(zhǎng)度單位

分析：本題是三角函數(shù)圖像平移的內(nèi)容，題目不難，但基本功不扎實(shí)的同學(xué)對(duì)于常規(guī)解法容易犯迷糊，如果對(duì)于三解函數(shù)名不同的圖像平移，更是頭痛，其實(shí)如果注意到整體圖像平移的距離其實(shí)就是局部點(diǎn)平移的距離，那問(wèn)題就可以解決了。

解：y=sin（2x+π6）的圖像→y=sin（2x-π3）的圖像

令2x+π6=π2得x=π6，令2x-π3=π2，得x=5π12

得原點(diǎn)附近的最高點(diǎn)（π6，1）向右平移π4個(gè)單位→（5π12，1）

（∵5π12>π6，∴圖像向右移動(dòng)，且平移距離為5π12-π6=π4）

本題的解法正是利用了整體與局部之間的轉(zhuǎn)化，整體由局部構(gòu)成，局部與整體的步調(diào)是一致的，因此研究局部的性質(zhì)可以得到整體的性質(zhì)，是所謂的“窺一斑而知全豹”。

結(jié)束語(yǔ)

高中學(xué)生要提升數(shù)學(xué)解題的能力，絕對(duì)不能單純的記憶、模仿，不能機(jī)械的訓(xùn)練、做題，一定要重視數(shù)學(xué)思想方法，特別是轉(zhuǎn)化的思想在解題中的運(yùn)用。要懂得把數(shù)學(xué)問(wèn)題按幾種轉(zhuǎn)化的原則進(jìn)行解題操作，在轉(zhuǎn)化思想的指引下，定能在解題實(shí)踐中提高解題效率，從而提升數(shù)學(xué)解題能力。

【參考文獻(xiàn)】

[1]劉卓雄.論數(shù)學(xué)解題的本質(zhì)以及它在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)通訊（下半月），2016（1）：29-31

[2]羅勝蓮.也談運(yùn)用轉(zhuǎn)化方法解題[J].數(shù)理化解理研究（數(shù)學(xué)篇），2012（7）：11-12

[3]林新建.思想立意將數(shù)學(xué)解題臻于完美[M].吉林出版社，2016.9

作者簡(jiǎn)介：蔡維琛（1981.09-），男，福建晉江，現(xiàn)任晉江市毓英中學(xué)教務(wù)處副主任，中學(xué)一級(jí)教師。曾獲晉江市高中數(shù)學(xué)命卷比賽一等獎(jiǎng)，曾被評(píng)為“晉江市師德先進(jìn)個(gè)人”，多次被評(píng)為學(xué)校年度優(yōu)秀教師、優(yōu)秀班主任.

（作者單位：福建省晉江市毓英中學(xué)）