試論中學數學分類討論思想及應用

李偉振

【摘 要】本文通過對分類的重要性、分類的必要性、分類的原則性、分類的原因 、分類的步驟、在教學中如何滲透分類討論思想等進行討論，以培養學生思維的條理性和嚴密性，提高分析問題和解決問題的能力，從而提高教學質量和學生的數學素養。

【關鍵詞】中學數學 分類討論思想 必要性 原則性

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2018）06B-0038-03

中學階段的數學基礎知識，主要是指課本中有關的概念、法則、性質、公理、定理以及由其內容反映出來的數學思想和基本方法。其中分類討論思想是中學數學中的一個重要策略思想，也是一個重要的數學方法，縱觀全國各地中考、高考試題，分類討論思想是運用頻率最多的思想之一。下面就中學數學中的分類討論思想與應用作探討。

一、分類的重要性

在中學階段很多數學問題不僅在涉及的知識范圍上帶有綜合性，而且就問題本身來說，也受到多種條件的交叉制約，形成錯綜復雜的局面，很難從整體上著手解決。這時就從“分割”入手，把“整體”劃分為若干個局部，轉而去解決局部問題，最后達到整體上的解決，這是具有哲學意義的思想方法。而分類討論思想就是科學合理地劃分類別，通過“各個擊破”再求整體解決的策略思想。從邏輯學上講，分類就是指概念外延，也就是指同屬于被分概念的各類概念的邏輯活動，是根據數學對象的異同，將數學對象劃分為不同的種類，分別進行研究和求解的一種數學思想方法。通過分類，一方面可使有關概念的知識系統化、完整化；而另一方面對該概念的外延有深刻的認識。很多數學問題很難用統一的方法解決，但若將其劃分為若干個局部問題，每個局部問題解決了，整個問題就解決了。從某種意義上說，分類討論思想就是化整為零，各個擊破的方法。

二、分類的必要性

（一）從教材的內容看分類討論的必要性

教材是教學的藍本，學生獲得基礎知識主要是從課本中得來，而在中學教科書中，從初一的有理數的概念到高中的立體幾何圖形的分類和位置關系再到高三的總復習，整個階段都滲透了分類思想的內容。這就要求教師站在一個較高的層次上，根據數學知識的內部結構自覺地有意識地向學生滲透分類思想。

（二）從高考趨勢看分類思想的必要性

數學分類思想，已廣泛滲入自然科學乃至社會科學的各個領域，成為現代知識文明的一個重要組成部分。讓學生在中學階段掌握這一思想武器，無疑是十分必要的。在高三的第二階段復習中，分類討論思想作為一個專題復習，凸顯分類討論思想在高考中的重要性。分類討論的試題已大量滲透到高考中，下面看看分類討論在高考中的應用。

（四）分類不能越級

不能越級是把被分概念分為最鄰近的類概念。

例如，把復數分實數和虛數，而實數又分有理數和無理數是正確的，但是，如果把復數分虛數、整數、分數、無理數就越級了。

四、分類的原因

（一）涉及的數學概念是分類定義的

五、分類步驟

（一）確定討論的對象以及被討論對象的全域；

（二）合理分類，統一標準，不重不漏；

（三）逐段逐類討論，分級進行；

（四）歸納總結，得出整個題目的結論。

應用分類討論的思想方法一般都可以按以上步驟進行，下面舉例說明。

分析：本題的關鍵是去掉絕對值符號，絕對值的定義是以零點為界分類的，所以就應確定每一個絕對值符號的零點。|x-5|和|2x+3|的零點是 x=5 和 ，這樣就可以確定被討論的全域是 ，，x≥5，按這三段逐類討論，分級進行，就可以做到不重不漏。

六、如何滲透分類思想

（一）增強分類意識

分類思想是一種重要的數學思想，它是高考試題的熱點之一，它在整個中學數學的學習中經常運用。在傳統的教學中，我們比較注重基本概念、性質、定理、法則的教學，很少注重引導學生從數學思想的角度去總結、歸納、升華，從而忽視了數學思想的教學，對其中的分類思想更談不上靈活運用。如果能夠將許多復雜的數學問題進行適當分類，問題就變得相對簡單明確，而且解出的結果不易重復和遺漏，故要增強分類討論的意識。

（四）做好專題分類討論的學習和訓練

在學習分類思想的初始階段時，可以從一些簡單的現象分類或學生比較熟悉的數學問題分類入手，逐步提高要求。當學生初步了解一些分類方法后，要做好專題的分類討論課，多講解和訓練一些常見的分類方法，特別到了高三總復習，那時有專題的分類討論思想復習，更要把握好，使學生真正掌握數學分類思想。

以上是筆者對分類討論思想的一些探討，筆者研究發現考查分類討論思想的題型在高考中不斷出現，說明分類討論思想不僅是高考的重點與熱點，而且是高考的難點，故教師更應該重視和加強分類討論思想教學，它是一種深層次的新教學改革，它不但可以提高教學質量，而且更能提高學生的數學素養。

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（責編 盧建龍）