運用構造思想提升高中生數學解題效率

朱海玲

【摘 要】本文簡要介紹構造思想的思維特征，梳理構造法的主要類型，以例講解構造法在高中數學中的應用，從已知條件和結論入手，通過構造新的數學形式將復雜的問題簡單化，將陌生的問題熟悉化，從而巧妙地解決相關數學問題。

【關鍵詞】高中數學 構造思想 多維發散 數量關系

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2018）06B-0159-02

構造法在高中數學中占據及其重要的位置，其核心方法是從已知條件和結論入手，并在此基礎上構造出一些新的數學形式，借助此形式來解決一些相關問題。筆者在多年的教育教學經驗中發現，構造法在高中數學的多個章節的知識中都有所體現，應用構造思想能夠較好地提高高中生的解題效率，并不斷促進其創造性思維能力的提升。

一、拔絲抽繭，認識構造思想的思維特征

構造法作為一種常見的數學解題方法，具有直觀性、靈活性等諸多優點。對于高中階段的學生來說，構造法能夠極大地鍛煉和培養其思維的多樣性。教師在教學過程中應當通過對比構造、聯想構造、歸納構造以及逆向構造等多種構造方式來逐步提升學生的思維活力，促進其創造性思維能力的提升。

在運用構造法進行解題時，應當認識到兩點：第一，構造出的方程或者是命題等數學形式應當是在滿足題中已知條件的基礎上；第二，學生在構造時不能盲目構造，應當有明確的方向，并在此基礎上進行構造。這樣學生才能夠深入認識到構造法的本質，并利用相關結論進行解題，不斷促進其解題效率的提升以及數學核心素養的不斷升華。

二、多維發散，梳理構造法的主要類型

構造法能夠較大地培養學生的思維發散性能力，因此教師在教學當中要有意識地梳理構造法的主要類型，使學生能對號入座，見題知意。

（一）構造命題法，證明等價命題。對于某些命題來說，對其直接證明時學生可能會感覺無從下手，此時教師可以引導學生構造等價命題再進行證明。學生可以根據命題的某些特性，比如原命題與逆否命題等價來進行證明，或者是根據命題構造出熟悉的模型來解決問題，這樣能夠極大地簡化證明過程。

對于這個題目來說，學生可以構造一個新的命題，原命題可以等價為把 10 個相同的小球分為四份，即在 9 個空中插入三個隔板，即 種。

由此可見，對于這種命題證明類型的題目，學生剛接觸時不要操之過急，可以先認真思考是否可以構造其等價命題將其轉化。這樣做不僅能夠極大地簡化解題過程，而且能夠全面提升學生解題效率和數學成績。

（二）構造新元法，求解三角問題。對于某些題目來說，其在解題時需要構造新的變量代入原式，尤其是三角函數，其諸多特性使得其經常作為新元被代入解決相關問題。這樣可以將不熟悉的題目轉化為熟悉的數學模型進行解答。這樣做，在增強了學生的思維活力的同時也減小其思維跨度，促進其良好思維方式的形成。

對于這類相似的問題，教師可以引導學生構造新元，引入三角函數代換解決。這樣不僅使思路清晰明了，而且能極大地簡化解題過程，因此這種方法非常值得推廣。值得一提的是，教師應當對題目中的注意事項和關鍵點給予重視和強調，爭取做到萬無一失。

（三）構造反例法，選擇特殊實例。在某些題目中，尤其是選擇、填空類型的題目，往往只需要學生得到最終結果，不需要太過詳細的解答過程。對于這種題目，構造法無疑是一種很好的選擇，學生可以通過構造一兩個反例的方式來快速解題。

在教學選修 2-1 的 2.3《充要條件》的相關內容時，有這樣一道題：

兩條線段 PA、PB 與平面成角相等的充要條件是 PA=PB，試判斷該命題是否正確。

對于這種題目來說，學生只要構造出一個范例證明該結論不成立，那么該命題即為假命題。在筆者的啟發下，學生積極思考，舉出了以下這兩種反例推翻了該命題。如圖所示，左圖說明該命題的充分性不成立，右圖說明該命題的必要性不成立。所以說對待這種類型的題目時，學生可以選取特殊值法構造反例來進行求解。這樣做不僅節省時間，而且更有助于學生思維能力的發展。

通過這個實例不難看出，反例的構造能夠快速地推翻該命題，得到該命題為假命題的結論。除此之外，學生還可以通過代入一些特殊值、點等來直接選擇答案，提高解題效率。

三、多元實踐，強化構造法的廣泛應用

構造法在高中數學中的應用非常廣泛，在向量、三角以及數列等多個章節都有所體現，教師在教學時應當對這種類型的題目進行歸納整理，使學生在應用的時候能做到得心應手、舉一反三。

（一）構造向量，加強知識聯系。知識之間往往是相通的，教師在教學時要注重對知識之間的聯系進行梳理。比如，通過構造向量，學生能夠巧妙地將三角函數的相關知識與向量相結合，靈活地解題，提升學生的解題效率，促進學生全面發展。

在教學必修 4 第二章《平面向量》時，有這樣一道例題：

某平面上有三個向量 a，b，c，這三個向量都是單位向量，且 a，b 兩向量相互垂直，問（a-c）（b-c）的最大值和最小值分別是多少。

在解答這道題時，學生可以根據題目中的“單位向量”“相互垂直”和“最值”等字眼聯想到學過的三角函數的相關知識，這樣學生就可以設 a（1，0），b（0，1），其數量積為零說明其相互垂直，滿足題意，然后設 c 為（sinα，cosα），則（a-c）（b-c），再結合三角函數的相關知識不難得出：該式的最大值為 ，最小值為 。因此在遇到這種類型的題目時，教師要多引導學生學會構造向量，促進其對知識的遷移和應用，全面提升其解題效率。

（二）構造函數，培養創新精神。方程與函數向來都是緊密聯系、密不可分的，所以在遇到與方程或者函數相關的題目時，可以在這二者之間進行靈活轉化、構造。比如，將方程零點問題轉化為函數交點問題等，這樣不僅可以促進學生的知識遷移能力的提升，而且更有助于培養學生的創新精神。

在教學必修 1 第二章《指數函數》的相關知識時，由于指數函數相比于其他函數來說較為復雜，學生不好理解。于是筆者引導學生應用構造方程法來解決相關問題，比如：

x 滿足方程 ex=3x+a，若此方程有實數根，求 a 的范圍。

這種題目用以前的常規思路是不容易解答的，所以教師可以引導學生另辟蹊徑。比如，構造兩個函數，令 ex=f（x），3x+a=g（x），這樣可以將 f（x）求導后求出斜率等于 3 時的切線方程，這樣 a 的范圍也就呼之欲出了。經過這個過程，把方程有實數解的問題巧妙地轉化為函數有交點的問題，化抽象為具體，學生理解起來也更容易，更能有效促進學生創新性思維能力的提升。

（三）構造數列，探求解題捷徑。構造數列法一般應用于數列求和問題中，該方法的應用能夠極大地簡化解題過程，提高學生的解題效率。這種類型的題目并不難做，我們需要讓學生依據題干給出的關系式進行變形和構造，爭取將其改造成我們熟悉的等差和等比數列的形式就行。這樣我們就可以選擇套用公式的方法來進行求解。

總之，構造法在高中數學中的應用非常廣泛，對此教師應當分類進行總結，使學生掌握構造法在各種類型題目中的應用方法。通過構造新的數學形式的方式將復雜的問題簡單化，將陌生的問題熟悉化。在解題時對癥下藥，巧妙解決相關數學問題。掌握這種方法能較快地提升學習效率，使數學成績得到提高，使數學核心素養得到提升。

【參考文獻】

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[3]劉良華.數學構造思想方法的探索與實踐[D].武漢：華中師范大學，2004

（責編 盧建龍）