淺談平行四邊形的證明

李永環

【內容摘要】平行四邊形的教學難點在于學生要熟練運用平行四邊形的判定方法去證明四邊形是平行四邊形，而學生對平行四邊形的證明方法理解歸納不夠，思考時間過多，稍難點的題目就無從下手。為此，本人將對平行四邊形的證明進行歸類、總結。

【關鍵詞】平行四邊形 證明

平行四邊形性質判定歸納。從識記內容上面來看學生要記和用的內容偏多，易混淆。從記憶方法來說，性質和判定都可以從邊的角度、角的角度、對角線的角度三個方面來捋順。這些一般情況下，老師們都不成問題，所以具體不再贅述。

從具體證明類型來說，本人把證明類型分為三類：

一、證明截平行四邊形的邊所組成的四邊形是平行四邊形

例1.如圖，在平行四邊形ABCD中，BE平分∠ABC，交AD于點E，DF平分∠ADC，交BC于點F，那么四邊形BFDE是平行四邊形嗎？請說明理由。

分析：BE與DF是角的平分線，截已有平行四邊的邊AD、BC形成新的四邊形BFDF證明方法有幾種，可以用“對角相等”“對邊平行”、“對邊相等”、“一組對邊平行且相等”的方法去證明。其中較方便的是“對邊平行”的方法去證明。

變式1 題目中”BE平分∠ABC，交AD于點E，DF平分∠ADC，交BC于點F”的條件變為ED=BF后，證明方法和證明類型是差不多的。

變式2 已知：如圖，平行四邊形ABCD中，E、F分別是AB、CD上的點，AE=CF，M、N分別是DE、BF的中點。求證：四邊形ENFM是平行四邊形。

分析：四邊形DEBF就是在已有的平行四邊形外層被截所形成的四邊形，證明它是平行四邊形的方法與例題1相同。在已完成證明四邊形DEBF是平行四邊形的條件下，要證四邊形ENFM是平行四邊形還是與例題1方法一樣，只不過這道題要證兩次而已。

若把“M、N 分別是DE、BF的中點”，的條件變為ME=FN，或改成EN、MF分別平分∠DEB、∠DFB時，證明方法、類型仍然一樣。

變式3 如圖，在 平行四邊形ABCD中，E，F分別為AD，BC上的點，且BF=DE，連接AF，CE，BE，DF，AF與BE相交于M點，DF與CE相交于N點。求證：四邊形FMEN為平行四邊形。

分析：這道題我們可以先證四邊形AFCE是平行四邊形，再證四邊形BFDE是平行四邊形，分別得出MF∥EN，ME∥FN就可以說明四邊形FMEN為平行四邊形了。這些都可以讓學生去思考、探究、總結，從而形成學生對這類題目證明的快速反應。

二、證明截平行四邊形的對角線所形成的四邊形是平行四邊形

例題2，已知：如圖，E、F是平行四邊形ABCD的對角線AC上的兩點，AE=CF。求證：四邊形DEBF是平行四邊形。

分析：四邊形DEBF可以看成是被線段DE和BF所截而形成的四邊形。連接DB交AC與點O，因為四邊形ABCD是平行四邊形，所以AO=OC，DO=BO，又因為AE=FC，所以EO=FO所以四邊形DEBF是平行四邊形。這類問題方法簡單好用，就用“對角線互相平分”的判定方法即可。

變式1 如圖，已知：AB，CD相交于點O，AC∥DB，AO=BO，E，F分別是OC，OD的中點。求證：四邊形AFBE是平行四邊形。

分析：這道題我們可以先證四邊形ADBC是平行四邊形，易證△AOC≌△BOD，所以OC=OD，又AO=BO， 所以四邊形ADBC是平行四邊形。剩下的過程就跟例題差不多了。

三、證明過平行四邊形的對角線交點的直線所形成的四邊形是平行四邊形

例題3，已知：平行四邊形ABCD的對角線AC、BD交于點O， EF過點O與AB、CD分別交于點E、F。求證：四邊形AECF是平行四邊形。

分析：這道題的證明只需證△AOE≌△COF即可得出OE=OF（或 AE=FC），從而四邊形AECF是平行四邊形。

變式1 如圖①，平行四邊形ABCD中，點O是對角線AC的中點，EF過點O，與AD，BC分別相交于點E，F，GH過點O，與AB，CD分別相交于點G，H，連接EG，FG，FH，EH.（1）求證：四邊形EGFH是平行四邊形；

（2）如圖②，若EF∥AB，GH∥BC，在不添加任何輔助線的情況下，請直接寫出圖②中與四邊形AGHD面積相等的所有平行四邊形（四邊形AGHD除外）。

分析：過平行四邊形的對角線的直線現在變成了倆條，同樣可證△AOE≌△COF，△AOG≌△COH全等，從而得出OE=OF，OG=OH。就可以說明四邊形EGFH是平行四邊形了。第二問一般也學生不難解決。

學生如果能熟悉平行四邊形的三大類型以及它們的證明方法的話，相信學生在證明平行四邊形時，反應速度會比較快。

（作者單位：中建麥紹棠學校）