解題的有力抓手

鐘岳宏

【內(nèi)容摘要】日本著名數(shù)學(xué)教育家，學(xué)者米山國(guó)藏說過：在學(xué)校學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，畢業(yè)后若沒什么機(jī)會(huì)去用，一兩年后，很快就忘掉了。然而，不管他們從事什么工作，唯有深深銘刻在心中的數(shù)學(xué)的精神，數(shù)學(xué)的思維方法、研究方法、推理方法和看問題的著眼點(diǎn)等，卻隨時(shí)隨地發(fā)生作用，使他們終身受益?？梢姡莆樟藬?shù)學(xué)思想方法，便掌握了數(shù)學(xué)的精髓，在解題過程中，能進(jìn)一步挖掘和運(yùn)用思想方法，往往能事半功倍，立竿見影。

【關(guān)鍵詞】解題 數(shù)學(xué) 思想

前言

常見的數(shù)學(xué)思想方法有：換元思想、函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想。筆者以《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》（九年級(jí)上冊(cè)）為例，對(duì)常見幾種數(shù)學(xué)思想方法的解題運(yùn)用作簡(jiǎn)單分析，以求拋磚引玉，請(qǐng)教于同行。

一、換元思想

換元法也稱變量替換法，是數(shù)學(xué)中一個(gè)非常重要而且應(yīng)用廣泛的解題方法，即根據(jù)所要求解式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，巧妙地設(shè)置新的變量來替換原來表達(dá)式中某些式子或變量，對(duì)新的變量求出結(jié)果后，返回去再求原變量的結(jié)果。通過換元，使問題化難為易，化繁為簡(jiǎn)。

二、 函數(shù)與方程思想

函數(shù)、方程是兩個(gè)不同的概念，但又密不可分，是初中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，也是解答數(shù)學(xué)問題常用的數(shù)學(xué)思想。

1.方程思想

方程思想是通過對(duì)問題的觀察、分析、判斷等一系列的思維過程，適當(dāng)設(shè)定未知數(shù)，將問題化歸為方程的問題，利用方程的性質(zhì)、定理，實(shí)現(xiàn)問題與方程的互相轉(zhuǎn)化接軌，從而使問題得到解決。

例（教科書56頁(yè)復(fù)習(xí)題第7題）。某公司前年繳稅40萬(wàn)元，今年繳稅48.4萬(wàn)元。該公司這兩年繳稅的平均增長(zhǎng)率為多少？

分析：本題是平均增長(zhǎng)率問題，其中a為基數(shù)，b為終止時(shí)的數(shù)量，x為平均增長(zhǎng)率（降價(jià)率），n為增長(zhǎng)（降低）的次數(shù)。如果設(shè)平均增長(zhǎng)率為x，那么a是40萬(wàn)元，b是48.4萬(wàn)元，n等于2，即可建立方程，求出x的值。

解：設(shè)該公司這兩年繳稅的平均增長(zhǎng)率為x

答：該公司這兩年繳稅的平均增長(zhǎng)率為10%

2.函數(shù)思想

所謂函數(shù)思想，就是用運(yùn)動(dòng)、變化的觀點(diǎn)分析、研究具體問題中的數(shù)量關(guān)系，以函數(shù)的形式加以研究，轉(zhuǎn)化和解決問題。函數(shù)思想是函數(shù)概念、圖象和性質(zhì)等知識(shí)更高層次的提煉和概括。

例（教科書159頁(yè)習(xí)題6.4第2題）。某氣球內(nèi)充滿了一定質(zhì)量的氣體，當(dāng)溫度不變時(shí)，氣球內(nèi)氣體的氣壓p（kpa）是氣體體積v（m3）的反比例函數(shù)。

（1）寫出這一函數(shù)的表達(dá)式；

（2）當(dāng)氣體體積為1 m3時(shí)，氣壓是多少？

（3）當(dāng)氣球內(nèi)的氣壓大于140 kpa時(shí)，氣球?qū)⒈ā榱税踩鹨姡瑲怏w的體積應(yīng)不小于多少？

分析：本題考查了用待定系數(shù)法求函數(shù)表達(dá)式及運(yùn)用函數(shù)表達(dá)式解答實(shí)際問題，利用了函數(shù)思想。解不等式即可。

三、數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合思想是數(shù)學(xué)中重要的思想方法之一。它溝通了代數(shù)與幾何的內(nèi)在聯(lián)系，通過對(duì)圖形的認(rèn)識(shí)及數(shù)形結(jié)合的轉(zhuǎn)化，使問題化難為易，化抽象為具體，通過形可以解決數(shù)很難解決的問題。其解題特點(diǎn)是：具有直觀性、靈活性、深刻性，有較強(qiáng)的綜合性。加強(qiáng)這方面的學(xué)習(xí)和訓(xùn)練，能更好的提高學(xué)生的創(chuàng)新能力的培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維。

（1）寫出這個(gè)一次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）畫出函數(shù)圖象草圖，并據(jù)此寫出使一次函數(shù)值大于反比例函數(shù)值的x的取值范圍。

分析：本題將反比例函數(shù)與一次函數(shù)相聯(lián)系，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)表達(dá)式及觀察函數(shù)圖象的能力，解題過程中需要數(shù)形結(jié)合，具有一點(diǎn)的綜合性。（1）題是根據(jù)A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)及反比例函數(shù)的表達(dá)式求出m，n的值，然后用待定系數(shù)法求得一次函數(shù)的表達(dá)式；（2）題利用數(shù)形結(jié)合，當(dāng)一次函數(shù)的圖象在反比例函數(shù)圖象的上方時(shí)，對(duì)應(yīng)的x的范圍即為所求。

使一次函數(shù)值大于反比例函數(shù)值的x的取值范圍是x<-1或0

四、分類討論思想

所謂分類討論思想，就是當(dāng)問題所給的對(duì)象不能進(jìn)行統(tǒng)一研究時(shí)，根據(jù)數(shù)學(xué)對(duì)象本質(zhì)屬性的相同點(diǎn)與不同點(diǎn)，將其分成幾個(gè)不同種類的一種思想。 分類討論相當(dāng)于增加了求解問題的條件，它體現(xiàn)出化整為零，從部分到整體的思想方法。討論時(shí)一定要全面，做到不重不漏。

例（教科書102頁(yè)習(xí)題4.9第4題）。在ΔABC中，AB=8cm，BC=16cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿AB邊運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s；動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿BC邊運(yùn)動(dòng)，速度為4cm/s.如果P，Q兩動(dòng)點(diǎn)同時(shí)運(yùn)動(dòng)，那么何時(shí)ΔQBP與ΔABC相似？

分析：本題屬動(dòng)點(diǎn)型問題，考查了兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似的應(yīng)用。因?yàn)閷?duì)應(yīng)邊的不同得到不同的成比例線段，所以要分類討論。分類討論思想是實(shí)際解題中必須使用的方法，通過使用這種方法，可以明確問題答案的多種情況，可以全面思考問題，并且從多種情境的解析的得出最終的答案。對(duì)于學(xué)生來說，必須掌握這種方法，進(jìn)而提升自己的解題效率和全面性。學(xué)生如果不了解數(shù)學(xué)思想，只是一味地去記憶數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)公式、數(shù)學(xué)法則、數(shù)學(xué)定理，對(duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)和技能的認(rèn)知也浮于表面，無(wú)法掌握其精髓和核心。換言之，學(xué)生只掌握了表面的數(shù)學(xué)知識(shí)，沒有理解其核心和內(nèi)涵，沒有抓住其本質(zhì)內(nèi)容。當(dāng)數(shù)學(xué)問題換一種更為復(fù)雜的形式時(shí)，學(xué)生就難以解決。因此，數(shù)學(xué)教師在平時(shí)教學(xué)中既要做好基礎(chǔ)知識(shí)的傳授工作，同時(shí)還要做好數(shù)學(xué)思想的滲透工作。讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想有一定的感知，面對(duì)數(shù)學(xué)綜合題的時(shí)候能夠抓住其本質(zhì)，首先分析探求思路，接著優(yōu)化實(shí)施解答，最后再反思驗(yàn)證結(jié)論，讓數(shù)學(xué)思想貫穿整個(gè)過程，這樣可以將數(shù)學(xué)思想的功能和價(jià)值最大限度發(fā)揮出來。學(xué)生掌握了數(shù)學(xué)思想，就掌握數(shù)學(xué)的本質(zhì)，也就具備了舉一反三的能力，無(wú)論數(shù)學(xué)問題的形式如何改變，學(xué)生都能快速找到解題思路，理清楚各個(gè)已知條件之間的關(guān)系，并在已知條件和所求問題之間建立聯(lián)系，從而提升解題速度、解題正確率。

五、轉(zhuǎn)化與化歸思想

利用轉(zhuǎn)化和化歸思路，可以把數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為比較容易思考或者解決的形式，這樣可以顯著降低解題的難度，相應(yīng)的解題流程也能得到簡(jiǎn)化，這種方法是數(shù)學(xué)解題中比較常見的方法，具有較強(qiáng)的應(yīng)用價(jià)值。數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化與化歸思想方法是數(shù)學(xué)思想方法的靈魂，是“由一種形式轉(zhuǎn)換成另一種形式”的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)換，解題過程實(shí)質(zhì)就是由繁到簡(jiǎn)，由難到易，由已知到未知的轉(zhuǎn)換過程。匈牙利數(shù)學(xué)家波利亞把數(shù)學(xué)解題思維過程概括為理解、轉(zhuǎn)換、實(shí)施、反思?？梢姡D(zhuǎn)換是關(guān)鍵，也是一種手段。本冊(cè)中用配方法、公式法、因式分解法求解一元二次方程和相似三角形判定定理的證明，都充分利用了數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化與化歸思想。配方法解方程是把方程化為其它形式，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)形式的轉(zhuǎn)化；公式法解方程是直接利用公式把方程中的“未知”轉(zhuǎn)化為“已知”；因式分解法解方程是運(yùn)用“降次”，把一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程。而相似三角形判定定理的證明，換言之，數(shù)學(xué)思想是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的升華和融會(huì)貫通。這是一種觀念性的東西，同時(shí)也能在一定程度上標(biāo)志出一個(gè)人的數(shù)學(xué)素質(zhì)程度。在數(shù)學(xué)教學(xué)中融入數(shù)學(xué)思想，就如同教師在授學(xué)生“魚”的同時(shí)還授學(xué)生以“漁”，學(xué)生既掌握了數(shù)學(xué)知識(shí)，同時(shí)也形成了舉一反三、觸類旁通的能力。數(shù)學(xué)思想的滲透，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)的提升以及數(shù)學(xué)觀念的形成具有積極的作用和意義。對(duì)于數(shù)學(xué)解題而言，數(shù)學(xué)思想扮演者靈魂的角色。從新課程改革也可以看出，針對(duì)數(shù)學(xué)考試的評(píng)價(jià)也進(jìn)行了一定的調(diào)整。在傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)中，針對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)的評(píng)價(jià)主要看學(xué)生掌握了多少數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)技能，如今也增加了對(duì)數(shù)學(xué)思想的考察。隨著課程改革的深化，數(shù)學(xué)評(píng)價(jià)中對(duì)于這部分的考察分量也越來越重。這也在提醒數(shù)學(xué)教師要重視數(shù)學(xué)思想的滲透。

分析：本題考查了相似三角形的判定、角平分線的定義、等邊對(duì)等角等知識(shí)的綜合應(yīng)用，當(dāng)求證結(jié)論是乘積式或比例式時(shí)，常轉(zhuǎn)化為證兩個(gè)三角形相似，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化與化歸思想。

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)知識(shí)的靈魂，是我們解決數(shù)學(xué)問題的有力抓手，也是學(xué)好數(shù)學(xué)的一把金鑰匙。其實(shí)，在解題中許多數(shù)學(xué)思想方法既相輔相成又相互蘊(yùn)含，加強(qiáng)學(xué)生挖掘隱含在解題過程中的思想方法，舉一反三，觸類旁通，既發(fā)展了學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，又提高了學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

（作者單位：廣東省惠來縣隆江中學(xué)）