基于卓越工程師計(jì)劃數(shù)學(xué)能力培養(yǎng)的探索

朱婧　陳學(xué)慧　張志剛

摘 要：針對(duì)卓越工程師教育培養(yǎng)計(jì)劃，設(shè)計(jì)培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)能力的教學(xué)模式：優(yōu)化教學(xué)內(nèi)容、與卓越計(jì)劃相關(guān)專業(yè)對(duì)接、問(wèn)題驅(qū)動(dòng)教學(xué)、滲透交叉案例、開(kāi)辟第二課堂等。通過(guò)各個(gè)環(huán)節(jié)提高學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，實(shí)現(xiàn)人才培養(yǎng)過(guò)程中素質(zhì)提高與能力培養(yǎng)的協(xié)調(diào)發(fā)展。以期為大學(xué)數(shù)學(xué)課程體系和教學(xué)模塊的改革提供建議和參考。

關(guān)鍵詞：卓越工程師；問(wèn)題驅(qū)動(dòng)；教學(xué)改革；創(chuàng)新能力

中圖分類號(hào)：O17 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：2096-000X（2018）06-0080-03

Abstract： In view of the excellent engineer education and training plan， we design and develop the teaching mode of applying students' ability of applying mathematics： optimizing the teaching contents， matching professional programs related to excellence plan， problem-driven teaching， penetrating cross-case studies and opening up the second class. Through all aspects of learning， it can improve the initiative to stimulate interest in learning to achieve the quality of personnel training and capacity-building in the coordinated development. We hope to provide suggestions and references for the reform of university mathematics curriculum system and teaching modules.

Keywords： excellent engineer； problem-driven； teaching reform； innovation ability

一、概述

北京科技大學(xué)作為教育部“卓越工程師教育培養(yǎng)計(jì)劃”首批實(shí)施高校，以四個(gè)優(yōu)勢(shì)學(xué)科為依托，選擇鋼鐵冶金專業(yè)方向、材料成型及控制工程專業(yè)方向、采礦工程專業(yè)方向、冶金機(jī)械專業(yè)方向作為首批“卓越計(jì)劃”專業(yè)方向，開(kāi)創(chuàng)具有北京科技大學(xué)特色的工程師培養(yǎng)工作。

“卓越計(jì)劃”的重要特點(diǎn)是強(qiáng)化培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新和工程能力[1]，這些能力的培養(yǎng)不能僅僅依賴于專業(yè)課，從基礎(chǔ)課就應(yīng)該打下良好的基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)是從事基礎(chǔ)研究和高科技研究的必備基礎(chǔ)和有力工具，數(shù)學(xué)能力是卓越工程師開(kāi)拓創(chuàng)新的動(dòng)力之源。卓越工程師數(shù)學(xué)基礎(chǔ)要扎實(shí)，工程技術(shù)的大量問(wèn)題都要用到數(shù)學(xué)，許多在工程實(shí)踐中取得卓越成就的科學(xué)家，都有著深厚的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。因此提高運(yùn)用工程數(shù)學(xué)解決實(shí)際問(wèn)題的能力是卓越工程師培養(yǎng)的重要一環(huán)[2]。

作為能激發(fā)人創(chuàng)造本能的數(shù)學(xué)學(xué)科，在傳授數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)，如何在卓越工程師的教育培養(yǎng)中，培養(yǎng)學(xué)生優(yōu)異的數(shù)學(xué)能力，具有重要理論意義和實(shí)際應(yīng)用價(jià)值[3]。如何圍繞卓越計(jì)劃的培養(yǎng)目標(biāo)進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的設(shè)計(jì)、教學(xué)方法的改革與實(shí)踐？如何提高課堂教學(xué)質(zhì)量？ 又如何提高卓越工程師的工程數(shù)學(xué)能力？是擺在所有數(shù)學(xué)與教學(xué)工作者面前的首要問(wèn)題。筆者多年來(lái)一直工作在教學(xué)第一線，擔(dān)任多門本科生和研究生基礎(chǔ)課的教學(xué)，多年指導(dǎo)本科生參加全國(guó)與美國(guó)大學(xué)生數(shù)模競(jìng)賽，并且筆者在機(jī)械學(xué)院熱能方向獲得工學(xué)博士學(xué)位。筆者在教學(xué)中始終滲透一些具有實(shí)際應(yīng)用背景的例子，注意引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)，加強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)能力與創(chuàng)新能力的培養(yǎng)。下面以機(jī)械、控制工程專業(yè)方向?yàn)槔瑢?duì)數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)進(jìn)行了探索與實(shí)踐。

二、圍繞卓越計(jì)劃的培養(yǎng)目標(biāo)，著手?jǐn)?shù)學(xué)類課程的教學(xué)內(nèi)容改革

大學(xué)數(shù)學(xué)教育不僅要注重基本知識(shí)、基本技能、基本能力掌握，而且要注重?cái)?shù)學(xué)素養(yǎng)、數(shù)學(xué)能力的綜合教育?；凇白吭接?jì)劃”中的培養(yǎng)目標(biāo)，要對(duì)大學(xué)數(shù)學(xué)類課程進(jìn)行優(yōu)化整合，構(gòu)建以增強(qiáng)學(xué)生工程數(shù)學(xué)能力培養(yǎng)為核心的大學(xué)數(shù)學(xué)類課程體系，探索與工程實(shí)際緊密聯(lián)系的大學(xué)數(shù)學(xué)類課程的教學(xué)模式，以培養(yǎng)學(xué)生的工程能力和創(chuàng)新能力。

（一）整合優(yōu)化教學(xué)內(nèi)容

大學(xué)數(shù)學(xué)類課程是以經(jīng)典的數(shù)學(xué)理論為基礎(chǔ)[1]，包括微積分、線性代數(shù)與概率統(tǒng)計(jì)等內(nèi)容，要為未來(lái)的卓越工程師建立起數(shù)學(xué)概念，傳授數(shù)學(xué)工具。在設(shè)計(jì)教學(xué)時(shí)，要講清楚問(wèn)題的來(lái)龍去脈，突出概念的應(yīng)用背景，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的概念和理論源于實(shí)踐，我們的生活之中能看到數(shù)學(xué)的身影，意識(shí)到學(xué)數(shù)學(xué)就是為了用數(shù)學(xué)，因此在數(shù)學(xué)教學(xué)的設(shè)計(jì)中充分體現(xiàn)“數(shù)學(xué)模型”“生活情景”和“數(shù)學(xué)應(yīng)用”。

比如通過(guò)案例“報(bào)童的訣竅”引出概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的數(shù)學(xué)期望，通過(guò)案例“保險(xiǎn)公司賠償金的確定問(wèn)題”講解中心極限定理等。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程除了講解概率論的一些內(nèi)容外，還要加強(qiáng)學(xué)生統(tǒng)計(jì)方法的教學(xué)，比如開(kāi)展統(tǒng)計(jì)模型的有關(guān)內(nèi)容的研究，可適當(dāng)增加實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)、多元統(tǒng)計(jì)分析、抽樣調(diào)查和可靠性統(tǒng)計(jì)分析等內(nèi)容。例如計(jì)算方法增加插值算法等內(nèi)容教學(xué)，優(yōu)化方法課程增加非線性規(guī)劃的教學(xué)。線性代數(shù)課程除了講解經(jīng)典的矩陣?yán)碚?、方程組理論外，可適當(dāng)?shù)亟榻B矩陣分析的一些內(nèi)容。通過(guò)對(duì)教學(xué)內(nèi)容的調(diào)整使數(shù)學(xué)課成為一門全新意義的課程，不僅要培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手能力，將重點(diǎn)放在加強(qiáng)應(yīng)用和實(shí)踐上，而不是放在大量地訓(xùn)練運(yùn)算和解題技巧上，這一點(diǎn)與卓越計(jì)劃中對(duì)工程師的培養(yǎng)目標(biāo)相符合，為適應(yīng)卓越計(jì)劃的發(fā)展要求，應(yīng)該專門開(kāi)展數(shù)學(xué)類課程各模塊的教學(xué)內(nèi)容在卓越工程師培養(yǎng)中作用的研究，并進(jìn)行嘗試。

（二）與卓越計(jì)劃相關(guān)專業(yè)對(duì)接

高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)和概率統(tǒng)計(jì)這些課程相互聯(lián)系，而且這些課程也與其他學(xué)院的學(xué)科專業(yè)課程相互聯(lián)系。所以在設(shè)計(jì)課程的教學(xué)內(nèi)容時(shí)對(duì)課程進(jìn)行合理安排，在選擇內(nèi)容上考慮與專業(yè)課的銜接。數(shù)理學(xué)院和卓越計(jì)劃相關(guān)專業(yè)學(xué)院共同研討，聽(tīng)取專業(yè)教師對(duì)大學(xué)數(shù)學(xué)課程的意見(jiàn)和要求，比如專業(yè)老師建議使用什么教材，有什么樣的教學(xué)大綱、重點(diǎn)講解哪些模塊等，探索大學(xué)數(shù)學(xué)類課程的優(yōu)化整合，為實(shí)現(xiàn)卓越工程師培養(yǎng)計(jì)劃提出的強(qiáng)化培養(yǎng)學(xué)生的工程能力和創(chuàng)新能力起到重要作用。例如工程力學(xué)這門課程需要先修微積分基礎(chǔ)知識(shí)，然后再學(xué)習(xí)課程中的相關(guān)內(nèi)容。流體運(yùn)動(dòng)微分方程是工程流體力學(xué)中的核心方程，是牛頓第二定律的流體力學(xué)表達(dá)式，這個(gè)方程建模的基本方法是高等數(shù)學(xué)中介紹的“微元分析法”。在高等數(shù)學(xué)中，我們已經(jīng)利用“微元分析法”求過(guò)面積、體積、弧長(zhǎng)、側(cè)壓力、功、引力等，為了更好的掌握和為專業(yè)課打好基礎(chǔ)，進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生采用“微元分析法”建立流體運(yùn)動(dòng)微分方程。

案例1 建立流體運(yùn)動(dòng)微分方程[5]

假設(shè)流體是無(wú)粘的理想流體，流體屬性是連續(xù)變化的。在直角坐標(biāo)系描述的流場(chǎng)中取邊長(zhǎng)分別為dx，dy，dz的微元立方體，如圖1所示。

這就是理想流體在x方向微分形式動(dòng)量方程。通過(guò)這個(gè)案例，大家進(jìn)一步熟悉和體會(huì)了“微元分析法”的廣泛應(yīng)用，為工程流體力學(xué)專業(yè)課進(jìn)一步用“微元分析法”建立納維-斯托克斯方程奠定了基礎(chǔ)，上述公式的建模過(guò)程也是一個(gè)從實(shí)踐到認(rèn)識(shí)的辯證思維過(guò)程。

三、根據(jù)卓越工程師培養(yǎng)的過(guò)程，深入進(jìn)行教學(xué)方法的改革

（一）問(wèn)題驅(qū)動(dòng)

問(wèn)題驅(qū)動(dòng)的案例教學(xué)不僅可以為學(xué)生提供鍛煉發(fā)散思維的環(huán)境和空間，而且能使學(xué)生思維活動(dòng)得到充分發(fā)揮，并逐步認(rèn)識(shí)、應(yīng)用和發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律，提升學(xué)生的創(chuàng)造性思維；同時(shí)，問(wèn)題驅(qū)動(dòng)的案例教學(xué)還有助于學(xué)生相互滲透各學(xué)科知識(shí)，感受數(shù)學(xué)的廣泛應(yīng)用性，進(jìn)而形成敢于創(chuàng)新、勇于探索的科學(xué)精神。因此我們介紹一個(gè)定義、定理之前，要從實(shí)際問(wèn)題出發(fā)，通過(guò)一些實(shí)際問(wèn)題抽象出我們要介紹的知識(shí)點(diǎn)。比如在介紹傅立葉級(jí)數(shù)之前，我們通常要介紹傅立葉級(jí)數(shù)的背景與廣泛應(yīng)用。

案例2 傅立葉級(jí)數(shù)的引入[6]

周期現(xiàn)象廣泛地存在于物理以及各個(gè)領(lǐng)域中的許多問(wèn)題之中。例如弦振動(dòng)，機(jī)械振動(dòng)，電路震蕩，行星繞太陽(yáng)旋轉(zhuǎn)，以及潮漲潮落等等。

在一定條件下，可以將周期函數(shù)表示為三角函數(shù)構(gòu)成的無(wú)窮級(jí)數(shù)。例如，用x表示時(shí)間，用f（x）表示小提琴的弦隨時(shí)間作周期振動(dòng)的規(guī)律。如果f（x）是以2？仔為周期的函數(shù)，則可以將f（x）表示為下述三角函數(shù)級(jí)數(shù)：

其中Ao表示弦的平衡位置，A1sin（x+？準(zhǔn)1）是小提琴聲音的基調(diào)，A2sin（2x+？準(zhǔn)2）是泛音，Ansin（nx+？準(zhǔn)n）（n=3，4，…）是高階泛音。小提琴的聲音可以表示成簡(jiǎn)諧振動(dòng)的組合。泛音系數(shù)An（n=2，3，4，…）反映該泛音在小提琴的聲音中的權(quán)重。？準(zhǔn)n是該泛音的相位。各個(gè)泛音的權(quán)重的不同、相位的差異就決定了小提琴音質(zhì)音色的區(qū)別。

考慮兩個(gè)同樣以2？仔為周期的函數(shù)f（x）和g（x），可以從表達(dá)式或者圖形來(lái)區(qū)分它們。但是這樣的區(qū)分可能看不到兩者區(qū)別的本質(zhì)，或者沒(méi)有應(yīng)用價(jià)值。但是，如果將f（x）和g（x）表示成三角函數(shù)級(jí)數(shù)，則可以由級(jí)數(shù)中的各個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的系數(shù)以及各個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的相位看出兩個(gè)函數(shù)的本質(zhì)區(qū)別。傅立葉級(jí)數(shù)和傅立葉變換將函數(shù)的研究從時(shí)域轉(zhuǎn)到頻域。在物理、電學(xué)和控制理論中，這是一種重要的方法。在許多應(yīng)用問(wèn)題中，周期函數(shù)的表達(dá)式是未知的，或者比較復(fù)雜而不便于研究。這時(shí)需要將這些函數(shù)表示為三角函數(shù)的級(jí)數(shù)，運(yùn)用函數(shù)級(jí)數(shù)的有關(guān)理論研究這些實(shí)際問(wèn)題。數(shù)學(xué)是人類文明發(fā)展史中的一個(gè)偉大創(chuàng)舉，它來(lái)源于人們認(rèn)識(shí)世界的實(shí)踐活動(dòng)。當(dāng)同學(xué)們了解到傅立葉級(jí)數(shù)的廣泛應(yīng)用后，就有動(dòng)力與興趣學(xué)好相應(yīng)的知識(shí)點(diǎn)。

（二）通過(guò)課堂討論帶動(dòng)學(xué)生暢所欲言發(fā)表意見(jiàn)

課堂討論是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)重要環(huán)節(jié)。首先要重視課堂討論的設(shè)計(jì)和組織，討論題目應(yīng)源于工程實(shí)踐或企業(yè)項(xiàng)目。其次要鼓勵(lì)學(xué)生暢所欲言充分發(fā)表不同意見(jiàn)。在探究案例的過(guò)程中，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)分析和解決工程問(wèn)題的能力，為日后開(kāi)展工程創(chuàng)新實(shí)踐活動(dòng)打下了基礎(chǔ)。最后在反復(fù)爭(zhēng)論之后由教師進(jìn)行點(diǎn)評(píng)，并提出意見(jiàn)、建議以便學(xué)生進(jìn)一步研究。

四、根據(jù)卓越工程師培養(yǎng)的過(guò)程，提高解決實(shí)際問(wèn)題的能力

數(shù)學(xué)教育應(yīng)該培養(yǎng)學(xué)生兩種能力[7]： 一種是“算數(shù)學(xué)能力”，另一種是“用數(shù)學(xué)能力”，兩種能力的培養(yǎng)同等重要[8]。數(shù)學(xué)建模作為溝通現(xiàn)實(shí)世界和數(shù)學(xué)科學(xué)之間的橋梁，是數(shù)學(xué)走向應(yīng)用的必經(jīng)之路，能夠鍛煉學(xué)生的“用數(shù)學(xué)能力”[9]。學(xué)科的交叉是工程學(xué)科的重要特征。鑒于此，介紹數(shù)學(xué)課程時(shí)，要選擇一些多學(xué)科交叉的案例[9]，讓學(xué)生真正感到數(shù)學(xué)和專業(yè)知識(shí)在實(shí)際課題都很有用。同時(shí)，數(shù)學(xué)中許多定義、定理的產(chǎn)生都有其深刻的實(shí)際背景，數(shù)學(xué)的產(chǎn)生和發(fā)展又為科學(xué)技術(shù)的發(fā)展和進(jìn)步提供了強(qiáng)有力的工具。在數(shù)學(xué)課程知識(shí)的傳授中， 教師要時(shí)刻注意這兩者的關(guān)系， 引導(dǎo)和培養(yǎng)學(xué)生逐漸形成科學(xué)的思維方法。這應(yīng)作為教學(xué)活動(dòng)中最重要的工作之一。

格林公式、高斯公式和斯托克斯公式是多元函數(shù)積分學(xué)中的三個(gè)重要公式。這些公式的產(chǎn)生與電磁學(xué)、流體力學(xué)以及熱學(xué)的研究是分不開(kāi)的[6]。德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯曾經(jīng)在地球磁場(chǎng)和引力場(chǎng)的研究中使用過(guò)高斯公式，所以在西方將這個(gè)公式成為“高斯公式”。在同一個(gè)年代，俄羅斯數(shù)學(xué)家?jiàn)W斯特羅格拉得斯基在研究三重積分與曲面積分的相互關(guān)系時(shí)得到了這個(gè)結(jié)果，并且將這個(gè)公式用于熱流的研究。因此，在俄羅斯以及某些東歐國(guó)家，人們?nèi)匀粚⑦@個(gè)公式稱為奧斯特羅格拉得斯基公式。高斯公式在電學(xué)和流體力學(xué)中有非常清楚的物理意義。教師從流體力學(xué)出發(fā)，引出高斯公式，在介紹完公式之后，引導(dǎo)學(xué)生在其他的方面應(yīng)用高斯公式，比如煙霧的擴(kuò)散與消失、電磁學(xué)中的高斯定理等。

五、開(kāi)辟第二課堂

第一課堂忽略了工程教育的個(gè)性，重視的是大學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)與能力的培養(yǎng)[10]。因此有必要根據(jù)學(xué)生專業(yè)的特點(diǎn)，充分利用第二課堂，讓一些有能力的學(xué)生完成大學(xué)數(shù)學(xué)課程的專項(xiàng)應(yīng)用論文，這就需要教師按不同專業(yè)設(shè)計(jì)論文題目，比如給機(jī)械學(xué)院的學(xué)生設(shè)計(jì)題目為 “制動(dòng)器試驗(yàn)臺(tái)的控制策略”“嫦娥三號(hào)軟著陸軌道設(shè)計(jì)與控制策略”“城市表層土壤重金屬污染分析”等，這些實(shí)際問(wèn)題通常同時(shí)運(yùn)用幾種數(shù)學(xué)方法、一些專業(yè)知識(shí)和一些計(jì)算機(jī)技術(shù)綜合地去解決。這些問(wèn)題的練習(xí)有利于提高學(xué)生面對(duì)復(fù)雜事物的想象力、洞察力、創(chuàng)造力和獨(dú)立進(jìn)行科學(xué)研究的能力。以第二課堂獨(dú)立性、靈活性、多樣性彌補(bǔ)第一課堂的不足，實(shí)現(xiàn)第一課堂與第二課堂多維度有機(jī)結(jié)合。同時(shí)，多鼓勵(lì)學(xué)生參加相關(guān)的學(xué)科競(jìng)賽，北科大注重以賽促教，以賽促學(xué)，通過(guò)學(xué)科競(jìng)賽培養(yǎng)學(xué)生的合作精神、團(tuán)隊(duì)意識(shí)和自律精神，這也是卓越計(jì)劃培養(yǎng)出的工程師必須具備的品質(zhì)[10-11]。

六、結(jié)束語(yǔ)

“卓越計(jì)劃”既是機(jī)遇又是挑戰(zhàn)，所以要探索出一種大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)模式，探索面向卓越工程師的機(jī)自專業(yè)人才培養(yǎng)模式，促進(jìn)能力培養(yǎng)和素質(zhì)提高的協(xié)調(diào)發(fā)展，為國(guó)家經(jīng)濟(jì)發(fā)展做出貢獻(xiàn)。

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