基于卓越工程師計劃數學能力培養的探索

朱婧　陳學慧　張志剛

摘 要：針對卓越工程師教育培養計劃，設計培養學生應用數學能力的教學模式：優化教學內容、與卓越計劃相關專業對接、問題驅動教學、滲透交叉案例、開辟第二課堂等。通過各個環節提高學習的主動性，激發學習興趣，實現人才培養過程中素質提高與能力培養的協調發展。以期為大學數學課程體系和教學模塊的改革提供建議和參考。

關鍵詞：卓越工程師；問題驅動；教學改革；創新能力

中圖分類號：O17 文獻標志碼：A 文章編號：2096-000X（2018）06-0080-03

Abstract： In view of the excellent engineer education and training plan， we design and develop the teaching mode of applying students' ability of applying mathematics： optimizing the teaching contents， matching professional programs related to excellence plan， problem-driven teaching， penetrating cross-case studies and opening up the second class. Through all aspects of learning， it can improve the initiative to stimulate interest in learning to achieve the quality of personnel training and capacity-building in the coordinated development. We hope to provide suggestions and references for the reform of university mathematics curriculum system and teaching modules.

Keywords： excellent engineer； problem-driven； teaching reform； innovation ability

一、概述

北京科技大學作為教育部“卓越工程師教育培養計劃”首批實施高校，以四個優勢學科為依托，選擇鋼鐵冶金專業方向、材料成型及控制工程專業方向、采礦工程專業方向、冶金機械專業方向作為首批“卓越計劃”專業方向，開創具有北京科技大學特色的工程師培養工作。

“卓越計劃”的重要特點是強化培養學生的創新和工程能力[1]，這些能力的培養不能僅僅依賴于專業課，從基礎課就應該打下良好的基礎。數學是從事基礎研究和高科技研究的必備基礎和有力工具，數學能力是卓越工程師開拓創新的動力之源。卓越工程師數學基礎要扎實，工程技術的大量問題都要用到數學，許多在工程實踐中取得卓越成就的科學家，都有著深厚的數學基礎。因此提高運用工程數學解決實際問題的能力是卓越工程師培養的重要一環[2]。

作為能激發人創造本能的數學學科，在傳授數學基礎知識的同時，如何在卓越工程師的教育培養中，培養學生優異的數學能力，具有重要理論意義和實際應用價值[3]。如何圍繞卓越計劃的培養目標進行數學教學內容的設計、教學方法的改革與實踐？如何提高課堂教學質量？ 又如何提高卓越工程師的工程數學能力？是擺在所有數學與教學工作者面前的首要問題。筆者多年來一直工作在教學第一線，擔任多門本科生和研究生基礎課的教學，多年指導本科生參加全國與美國大學生數模競賽，并且筆者在機械學院熱能方向獲得工學博士學位。筆者在教學中始終滲透一些具有實際應用背景的例子，注意引導學生應用數學，加強學生數學能力與創新能力的培養。下面以機械、控制工程專業方向為例，對數學能力的培養進行了探索與實踐。

二、圍繞卓越計劃的培養目標，著手數學類課程的教學內容改革

大學數學教育不僅要注重基本知識、基本技能、基本能力掌握，而且要注重數學素養、數學能力的綜合教育?；凇白吭接媱潯敝械呐囵B目標，要對大學數學類課程進行優化整合，構建以增強學生工程數學能力培養為核心的大學數學類課程體系，探索與工程實際緊密聯系的大學數學類課程的教學模式，以培養學生的工程能力和創新能力。

（一）整合優化教學內容

大學數學類課程是以經典的數學理論為基礎[1]，包括微積分、線性代數與概率統計等內容，要為未來的卓越工程師建立起數學概念，傳授數學工具。在設計教學時，要講清楚問題的來龍去脈，突出概念的應用背景，讓學生感受到數學的概念和理論源于實踐，我們的生活之中能看到數學的身影，意識到學數學就是為了用數學，因此在數學教學的設計中充分體現“數學模型”“生活情景”和“數學應用”。

比如通過案例“報童的訣竅”引出概率論與數理統計的數學期望，通過案例“保險公司賠償金的確定問題”講解中心極限定理等。概率論與數理統計課程除了講解概率論的一些內容外，還要加強學生統計方法的教學，比如開展統計模型的有關內容的研究，可適當增加實驗設計、多元統計分析、抽樣調查和可靠性統計分析等內容。例如計算方法增加插值算法等內容教學，優化方法課程增加非線性規劃的教學。線性代數課程除了講解經典的矩陣理論、方程組理論外，可適當地介紹矩陣分析的一些內容。通過對教學內容的調整使數學課成為一門全新意義的課程，不僅要培養學生的動手能力，將重點放在加強應用和實踐上，而不是放在大量地訓練運算和解題技巧上，這一點與卓越計劃中對工程師的培養目標相符合，為適應卓越計劃的發展要求，應該專門開展數學類課程各模塊的教學內容在卓越工程師培養中作用的研究，并進行嘗試。

（二）與卓越計劃相關專業對接

高等數學、線性代數和概率統計這些課程相互聯系，而且這些課程也與其他學院的學科專業課程相互聯系。所以在設計課程的教學內容時對課程進行合理安排，在選擇內容上考慮與專業課的銜接。數理學院和卓越計劃相關專業學院共同研討，聽取專業教師對大學數學課程的意見和要求，比如專業老師建議使用什么教材，有什么樣的教學大綱、重點講解哪些模塊等，探索大學數學類課程的優化整合，為實現卓越工程師培養計劃提出的強化培養學生的工程能力和創新能力起到重要作用。例如工程力學這門課程需要先修微積分基礎知識，然后再學習課程中的相關內容。流體運動微分方程是工程流體力學中的核心方程，是牛頓第二定律的流體力學表達式，這個方程建模的基本方法是高等數學中介紹的“微元分析法”。在高等數學中，我們已經利用“微元分析法”求過面積、體積、弧長、側壓力、功、引力等，為了更好的掌握和為專業課打好基礎，進一步引導學生采用“微元分析法”建立流體運動微分方程。

案例1 建立流體運動微分方程[5]

假設流體是無粘的理想流體，流體屬性是連續變化的。在直角坐標系描述的流場中取邊長分別為dx，dy，dz的微元立方體，如圖1所示。

這就是理想流體在x方向微分形式動量方程。通過這個案例，大家進一步熟悉和體會了“微元分析法”的廣泛應用，為工程流體力學專業課進一步用“微元分析法”建立納維-斯托克斯方程奠定了基礎，上述公式的建模過程也是一個從實踐到認識的辯證思維過程。

三、根據卓越工程師培養的過程，深入進行教學方法的改革

（一）問題驅動

問題驅動的案例教學不僅可以為學生提供鍛煉發散思維的環境和空間，而且能使學生思維活動得到充分發揮，并逐步認識、應用和發現數學規律，提升學生的創造性思維；同時，問題驅動的案例教學還有助于學生相互滲透各學科知識，感受數學的廣泛應用性，進而形成敢于創新、勇于探索的科學精神。因此我們介紹一個定義、定理之前，要從實際問題出發，通過一些實際問題抽象出我們要介紹的知識點。比如在介紹傅立葉級數之前，我們通常要介紹傅立葉級數的背景與廣泛應用。

案例2 傅立葉級數的引入[6]

周期現象廣泛地存在于物理以及各個領域中的許多問題之中。例如弦振動，機械振動，電路震蕩，行星繞太陽旋轉，以及潮漲潮落等等。

在一定條件下，可以將周期函數表示為三角函數構成的無窮級數。例如，用x表示時間，用f（x）表示小提琴的弦隨時間作周期振動的規律。如果f（x）是以2？仔為周期的函數，則可以將f（x）表示為下述三角函數級數：

其中Ao表示弦的平衡位置，A1sin（x+？準1）是小提琴聲音的基調，A2sin（2x+？準2）是泛音，Ansin（nx+？準n）（n=3，4，…）是高階泛音。小提琴的聲音可以表示成簡諧振動的組合。泛音系數An（n=2，3，4，…）反映該泛音在小提琴的聲音中的權重。？準n是該泛音的相位。各個泛音的權重的不同、相位的差異就決定了小提琴音質音色的區別。

考慮兩個同樣以2？仔為周期的函數f（x）和g（x），可以從表達式或者圖形來區分它們。但是這樣的區分可能看不到兩者區別的本質，或者沒有應用價值。但是，如果將f（x）和g（x）表示成三角函數級數，則可以由級數中的各個簡諧振動的系數以及各個簡諧振動的相位看出兩個函數的本質區別。傅立葉級數和傅立葉變換將函數的研究從時域轉到頻域。在物理、電學和控制理論中，這是一種重要的方法。在許多應用問題中，周期函數的表達式是未知的，或者比較復雜而不便于研究。這時需要將這些函數表示為三角函數的級數，運用函數級數的有關理論研究這些實際問題。數學是人類文明發展史中的一個偉大創舉，它來源于人們認識世界的實踐活動。當同學們了解到傅立葉級數的廣泛應用后，就有動力與興趣學好相應的知識點。

（二）通過課堂討論帶動學生暢所欲言發表意見

課堂討論是數學學習的一個重要環節。首先要重視課堂討論的設計和組織，討論題目應源于工程實踐或企業項目。其次要鼓勵學生暢所欲言充分發表不同意見。在探究案例的過程中，培養學生發現分析和解決工程問題的能力，為日后開展工程創新實踐活動打下了基礎。最后在反復爭論之后由教師進行點評，并提出意見、建議以便學生進一步研究。

四、根據卓越工程師培養的過程，提高解決實際問題的能力

數學教育應該培養學生兩種能力[7]： 一種是“算數學能力”，另一種是“用數學能力”，兩種能力的培養同等重要[8]。數學建模作為溝通現實世界和數學科學之間的橋梁，是數學走向應用的必經之路，能夠鍛煉學生的“用數學能力”[9]。學科的交叉是工程學科的重要特征。鑒于此，介紹數學課程時，要選擇一些多學科交叉的案例[9]，讓學生真正感到數學和專業知識在實際課題都很有用。同時，數學中許多定義、定理的產生都有其深刻的實際背景，數學的產生和發展又為科學技術的發展和進步提供了強有力的工具。在數學課程知識的傳授中， 教師要時刻注意這兩者的關系， 引導和培養學生逐漸形成科學的思維方法。這應作為教學活動中最重要的工作之一。

格林公式、高斯公式和斯托克斯公式是多元函數積分學中的三個重要公式。這些公式的產生與電磁學、流體力學以及熱學的研究是分不開的[6]。德國數學家高斯曾經在地球磁場和引力場的研究中使用過高斯公式，所以在西方將這個公式成為“高斯公式”。在同一個年代，俄羅斯數學家奧斯特羅格拉得斯基在研究三重積分與曲面積分的相互關系時得到了這個結果，并且將這個公式用于熱流的研究。因此，在俄羅斯以及某些東歐國家，人們仍然將這個公式稱為奧斯特羅格拉得斯基公式。高斯公式在電學和流體力學中有非常清楚的物理意義。教師從流體力學出發，引出高斯公式，在介紹完公式之后，引導學生在其他的方面應用高斯公式，比如煙霧的擴散與消失、電磁學中的高斯定理等。

五、開辟第二課堂

第一課堂忽略了工程教育的個性，重視的是大學數學知識與能力的培養[10]。因此有必要根據學生專業的特點，充分利用第二課堂，讓一些有能力的學生完成大學數學課程的專項應用論文，這就需要教師按不同專業設計論文題目，比如給機械學院的學生設計題目為 “制動器試驗臺的控制策略”“嫦娥三號軟著陸軌道設計與控制策略”“城市表層土壤重金屬污染分析”等，這些實際問題通常同時運用幾種數學方法、一些專業知識和一些計算機技術綜合地去解決。這些問題的練習有利于提高學生面對復雜事物的想象力、洞察力、創造力和獨立進行科學研究的能力。以第二課堂獨立性、靈活性、多樣性彌補第一課堂的不足，實現第一課堂與第二課堂多維度有機結合。同時，多鼓勵學生參加相關的學科競賽，北科大注重以賽促教，以賽促學，通過學科競賽培養學生的合作精神、團隊意識和自律精神，這也是卓越計劃培養出的工程師必須具備的品質[10-11]。

六、結束語

“卓越計劃”既是機遇又是挑戰，所以要探索出一種大學數學教學模式，探索面向卓越工程師的機自專業人才培養模式，促進能力培養和素質提高的協調發展，為國家經濟發展做出貢獻。

參考文獻：

[1]林健.面向卓越工程師培養的課程體系和教學內容改革[J].高等工程教育研究，2011，5：65-67.

[2]蔡志杰，曹沅，譚永基.培養具有數學修養的通識人才[J].中國大學教學，2013，2：25-27.

[3]馬曉峰，畢漁民.卓越工程師教育培養計劃視閾下的大學數學教學模式構建[J].黑龍江高教研究，2012，10：167-170.

[4]李石濤，滕勇.基于卓越工程師計劃的數學類課程教學改革[J]. 長春工程學院學報，2013，1：120-122.

[5]L.朗特.流體力學概論[M].郭永懷，陸士嘉譯，北京：科學出版社，1984.

[6]韓云瑞，扈志明.微積分教程（下冊）[M].北京：清華大學出版社，2002：257-262.

[7]張安富.改革教學方法——探索研究型教學[J].中國大學教學，2012，1：65-67.

[8]朱婧，明春英，鄭連存.基于研究型教學理念的數學建模和最優化課程建設[J].大學數學，2014，30：143-147.

[9]李大潛.中國大學生數學建模競賽（第四版）[M].北京：高等教育出版社，1998.

[10]姜啟源，謝金星.一項成功的高等教育改革實踐——數學建模教學與競賽活動的探索與實踐[J].中國高教研究，2011，12：79-83.

[11]肖春.面向卓越工程師培養的學科競賽體系探索[J].浙江工業大學學報，2010，10（2）：205-209.