競爭中的參考價格效應及承諾

周爾鳳，張廷龍，倪 蕾，方 丹，方 昶

(安徽師范大學經(jīng)濟管理學院，安徽 蕪湖 241000)

1 引言

根據(jù)Kahneman和Tversky于1991年提出的前景理論，在消費者做出購買決策之前，他們對將要購買的產(chǎn)品會有一個心理估價，然后將這個心理估價與產(chǎn)品的真實零售價進行對比—如果心理估價要大于產(chǎn)品真實的零售價，那么消費者存在額外的交易效用，并因而更可能做出購買該產(chǎn)品的決策；反之，若產(chǎn)品零售價要高于該心理估價，消費者更可能放棄購買該產(chǎn)品，導致產(chǎn)品銷量下降。學者們將這種心理估價稱為參考價格，把其對銷量的這種影響稱為參考價格效應。關于參考價格的形成因素，Mazumdaret等[3]則認為除了價格之外，廣告投入量、產(chǎn)品的質量、服務水平以及購物環(huán)境等因素也會影響消費者對產(chǎn)品的心理估價。皮德萍和胡燕娟[10]將參考效應引入到閉環(huán)供應鏈協(xié)調機制研究中，分析了其對兩種不同閉環(huán)供應鏈的影響。Zhang Juan等[7]研究了一個由制造商和零售商構成的供應鏈系統(tǒng)，探討了參考價格效應對廣告和價格策略的影響。另外，由于電子商務的興起，許多制造商通過傳統(tǒng)零售渠道銷售產(chǎn)品的同時還開辟了網(wǎng)上直銷渠道，此時兩個渠道上的價格互為參考，并對消費者決策產(chǎn)生影響，趙禮強和徐家旺[13]和曹曉剛等[8]探討了雙渠道下供應鏈的定價及協(xié)調決策等。王亮和王應明[12]基于前景理論的參考點效應，探討了應對突發(fā)事件的決策方法。基于類似的理論，郝晶晶等[9]建立了基于前景理論的多階段隨機多準則決策分析框架，并提出了一種基于階段發(fā)展特征的動態(tài)參考點設置方法。另外，與本文相關的文獻研究還包括：張廷龍和梁樑[14]指出消費者購買決策還會受到諸如廣告等銷售努力行為的影響，他們在考慮零售商銷售努力影響需求的情況下，探討了不同渠道權力結構和信息結構下供應鏈的分散決策；何麗紅等[9]在兩層供應鏈中，考慮需求受廣告努力水平和制造商提供的直接價格折扣的聯(lián)合影響，建立了供應鏈成員的合作廣告努力水平與價格折扣策略模型，并指出當制造商給予消費者最優(yōu)直接價格折扣時，制造商和零售商的廣告努力積極性與價格彈性正相關。

從企業(yè)的角度來看，廣告是企業(yè)向消費者傳遞信息的一種有效方式，通過溝通產(chǎn)銷信息，從而促進產(chǎn)品的銷售。廣告在企業(yè)開拓市場，爭奪份額，創(chuàng)造經(jīng)濟效益等方面的作用不可忽視，是企業(yè)競爭戰(zhàn)略中不可或缺的手段。對于廣告投入決策，我們了解到許多企業(yè)會在財政年初或新產(chǎn)品投入市場的時候公布一個廣告預算，F(xiàn)airhurst等[1]指出，大概有16%的服務性企業(yè)都會公布他們的廣告預算；Mitchell[5]研究了英國的制造業(yè)，發(fā)現(xiàn)27%的制造商會在財政年初或新產(chǎn)品投入市場之初宣布他們的廣告投入量—如佳潔士在其一款新產(chǎn)品投入市場的時候，就宣布了要為該產(chǎn)品投入的廣告預算。事實上，通過公布或承諾其廣告投入，不僅可以讓競爭雙方都會了解彼此的廣告投入以更好地做出各自的定價決策，同時也會對消費者對產(chǎn)品的參考價格產(chǎn)生影響。

另一方面，隨著產(chǎn)品種類及品牌的日益增加，許多企業(yè)在節(jié)假日會有促銷活動，消費者越來越聰明，他們會結合產(chǎn)品在不同階段的價格來決定產(chǎn)品的購買時機及購買決策。面對消費者的這種戰(zhàn)略行為，我們提出了價格承諾，即向消費者承諾價格在未來一段時間內或一直保持不變的話，那么在這個期間需要該產(chǎn)品的顧客就不會延遲他們的購買計劃，從而促進該時期的銷量及利潤增長。Su Xuanming和Zhang Fuqiang[6]在供應鏈的環(huán)境下研究了價格承諾與數(shù)量承諾的問題，并指出在一些情況下，價格承諾會增加制造商、零售商的利潤，而本文將在一個相互競爭的環(huán)境下研究價格承諾對利潤的影響。

本文在競爭的環(huán)境下建立一個關于參考價格的模型，考慮市場上的兩個企業(yè)是對稱的，并從廣告承諾及價格承諾的角度，尋求使企業(yè)長期利潤最大化的廣告及定價策略。我們分析了三種情形：雙方都選擇價格承諾、一方選擇價格承諾，而另一方選擇廣告承諾、雙方都選擇廣告承諾。首先分別研究了在這三種策略下參考價格效應對價格和廣告投入的影響，然后通過數(shù)值分析，研究了各種參數(shù)的變化對利潤的影響情況，并指出在不同情況下應該選擇的最優(yōu)策略。

2 模型建立

考慮市場中存在兩個生產(chǎn)和銷售同類產(chǎn)品的競爭企業(yè)1和2，他們需要在參考價格效應存在的背景下，思考各自的廣告投放和定價策略決策。其中，為了減少競爭，每個企業(yè)將在價格承諾和廣告投承諾等兩個策略中進行選擇。記ui(t)為企業(yè)i在t時刻的廣告努力水平，pi(t)為企業(yè)i在t時刻的零售價格。一旦企業(yè)i選擇價格承諾，其價格pi(t)將在整個銷售季節(jié)保持不變；反之，若企業(yè)i選擇廣告承諾，其廣告投入ui(t)也將是一個常數(shù)。由于價格承諾和廣告承諾等兩個策略是企業(yè)無任何承諾的特殊情形，因此本節(jié)在建模過程中暫時在一個更通用的框架下進行，即并不假定pi(t)和ui(t)固定不變。

為了描述參考價格效應，和先前文獻Zhang Juan等[7]一樣，本文采用以記憶和刺激相結合為基礎的參考價格模型，假設產(chǎn)品i的參考價格ri(t)之變化服從以下動態(tài)方程:

ri(0)=ri0

(1)

Si(t)=ai0-bipi+γi(ri-pi)+θipj,j≠i

(2)

其中,Si(t)為產(chǎn)品i在t時刻的銷量，ai0表示產(chǎn)品i的潛在市場，pj(t)為競爭產(chǎn)品j在t時刻的零售價格，γi表示消費者對i企業(yè)產(chǎn)品參考價格與零售價之間差異的敏感性，即參考價格效應對i企業(yè)銷量的影響程度，bi為消費者對i企業(yè)產(chǎn)品零售價格的敏感程度，θi表示j企業(yè)的產(chǎn)品對i企業(yè)產(chǎn)品的替代程度。

至于廣告成本，我們參考Zhang Juan等[7]，假設廣告成本與廣告努力水平之間成平方關系，即:

(3)

為了便于計算，本文進行以下假設：(1)銷售季節(jié)無限長；(2)兩個企業(yè)實力相當，相關參數(shù)是對稱的，即αi=α，βi=β，ri0=r0，ai0=a0，γi=γ，bi=b，θi=θ；(3)生產(chǎn)成本為零。

因此，企業(yè)i在時刻t的利潤為:

πi(t)=pi(t)Si(t)-C(ui(t))

(4)

其決策目標為:

(5)

其中，Ji是企業(yè)i利潤在時刻t=0的凈現(xiàn)值，ρ為貼現(xiàn)率。兩個企業(yè)需要在滿足式(1)中的約束條件下，最大化各自的利潤凈現(xiàn)值。

3 雙頭壟斷博弈均衡

針對兩個企業(yè)所有可能的策略組合，我們在本節(jié)分別分析三種不同的策略情形，即：(1)雙方都選擇價格承諾；(2)一方選擇價格承諾，而另一方選擇廣告承諾；(3)雙方都選擇廣告承諾。

3.1 雙方都選擇價格承諾

當雙方都做出價格承諾時，他們的價格將不再隨時間變化。這時，兩個企業(yè)的決策順序如下。首先在時刻t=0, 雙方獨立地在不知道對方?jīng)Q策的情況下選擇各自的零售價格p1和p2；然后，兩個企業(yè)根據(jù)p1，p2和當前的市場情況，動態(tài)地決定各自在時刻t的廣告投入。出于方便我們用下標“pp”記該情形下的均衡決策。

給定p1和p2,兩個企業(yè)的決策問題可簡化為：

(6)

ri(0)=ri0

命題3.1給出固定p1和p2時兩個企業(yè)動態(tài)博弈下的開環(huán)博弈均衡解。

命題3.1：當兩企業(yè)都選擇價格承諾策略且給定p1和p2時，兩個企業(yè)的均衡廣告投入為：

ui(t)=Npi,i=1,2

產(chǎn)品i參考價格隨時間的變化情況為：

ri(t)=M1i+(ri0-M1i)e-αt

其中N=γβ/(ρ+α),M1i={1+βN/α}pi均為常數(shù)。

命題3.2：在Stackelberg博弈框架及雙方都選擇價格承諾的情況下，兩企業(yè)均衡的廣告努力水平、零售價格和利潤如表1所示。

表1 雙方選擇價格承諾情況下的廣告水平、價格和利潤

其中N=γβ/(ρ+α)，n1=1+γβ2/(α(ρ+α))，F(xiàn)=(γβ2(1-2α(ρ+α))+2(ρ+α)2(b+γ-γα2))/((ρ+α)2ρ)，為確保pipp>0，則ρF-θ>0要滿足。

對pipp求關于a0和r0的導數(shù)可得到下面的結論：?pipp/?a0>0，?pipp/?r0>0，也即初始市場占有量或初始參考價格越高，產(chǎn)品的零售價格就越高。

將pipp代入到ri(t)=M1i+(r0-M1i)e-αt中，可得到穩(wěn)定的參考價格：

rippss=

(7)

對rippss求關于a0和r0的導數(shù)可得到下面的結論：?rippss/?a0>0，?rippss/?r0>0，也即初始市場占有量或初始參考價格越高，穩(wěn)定的參考價格就越高。另外，通過比較穩(wěn)定的參考價格和零售價格，我們發(fā)現(xiàn)rippss恒大于pipp，即穩(wěn)定的參考價格恒大于承諾的固定價格，因此我們可以推斷，在某一時期之后，參考價格效應會對銷量產(chǎn)生一個正的促進作用。

將pipp代入到命題3.1中，得到：

(8)

對uipp求關于pipp的導數(shù)即可得到?uipp/?pipp>0，即越高的零售價格會刺激企業(yè)投入更多的廣告，來增加產(chǎn)品在消費者心中的價值；對uipp求關于γ的導數(shù)即可得到 ?uipp/?γ>0，即消費者對參考價格與零售價格之間的差異越敏感，那么企業(yè)投入的廣告量也會越高，這主要是因為廣告可以通過提高產(chǎn)品在消費者心中的價值，即參考價格，從而增加銷量。另一方面，γ越大，通過增大廣告投入，銷量增加的程度也越大。

3.2 一方選擇價格承諾，而另一方選擇廣告承諾

當一方選擇價格承諾，而另一方選擇廣告承諾時，用1來標記選擇價格承諾的企業(yè)，用2來標記選擇廣告承諾的企業(yè)。這時，企業(yè)1的價格將不隨時間變化，企業(yè)2的廣告努力水平將不隨時間變化。這時，兩個企業(yè)的決策順序如下。首先在時刻t=0, 企業(yè)1和企業(yè)2在不知道對方?jīng)Q策的情況下分別選擇各自的零售價格p1和廣告努力水平u2；然后，兩個企業(yè)根據(jù)p1，u2和當前的市場情況，動態(tài)地決定各自在時刻t的廣告投入u1和零售價格p2。出于方便我們用下標“pu”記該情形下的均衡決策。

給定p1和u2,兩個企業(yè)的決策問題可簡化為：

(9)

(10)

命題3.3：當企業(yè)1選擇價格承諾，企業(yè)2選擇廣告承諾的策略下，且給定p1和u2時，兩個企業(yè)的均衡廣告努力水平u1和零售價格p2分別為：

u1(t)=u1ss=Np1

p2(t)=E1eA1t+B1

產(chǎn)品i參考價格隨時間的變化情況為：

r1(t)=M2+(r0-M2)e-αt

r2(t)=M3+(r0-M3)eA1t

其中A1,M2,M3,N,B1=p2ss,E1,c,d,g均為常數(shù)。

對p2ss求關于β，θ及b的導數(shù)可得到：?p2ss/?β>0，?p2ss/?θ>0，?p2ss/?b<0。首先，因為廣告對品牌形象有正的促進作用，對于同一單位的廣告投入，若β越大(即廣告效率越高)，則消費者對產(chǎn)品的參考價格就提高得越快，同時也會帶動零售價格的提高，從而穩(wěn)定的零售價格也越高。其次，θ越大，即產(chǎn)品之間的替代性越大，促使對方的零售價格對我方銷量的影響越大，并且對我方銷量是一種正的促進作用，因此也會促進穩(wěn)定零售價格的提高。最后，b反映的是消費者對產(chǎn)品零售價格的敏感程度，b越大，即消費者越容易受價格波動的影響，從而導致穩(wěn)定的零售價格越低。另外，穩(wěn)定的參考價格恒大于穩(wěn)定的零售價格。這主要是由于廣告會對參考價格有一個正的促進作用。

命題3.4：在Stackelberg博弈框架及企業(yè)1選擇價格承諾，而企業(yè)2選擇廣告承諾的情況下，兩企業(yè)均衡的廣告努力水平、零售價格和利潤如表3.2所示。

表2 混合情況下的各變量值

對u1pu,p1pu,u2pu,p2pu求關于a0和r0的導數(shù)，我們可以發(fā)現(xiàn)a0和r0對企業(yè)1廣告投入和價格的影響趨勢是相同的，而影響趨勢是正相關或負相關則取決于相關參數(shù)的大小。另外，當消費者對參考價格與零售價格之間的差異越敏感(即γ越大)或廣告努力對參考價格的影響程度越大(即β越大)時，廣告投入水平受價格的影響也就越大。而當價格差異對參考價格變化速率的影響越大(即α越大)時，廣告投入水平受價格的影響則越小。結合命題3.3的結論，我們發(fā)現(xiàn)當初始參考價格低于穩(wěn)定的參考價格(即r0

3.3 雙方都選擇廣告承諾

當雙方都做出廣告承諾時，他們的廣告努力水平將不再隨時間變化。這時，兩個企業(yè)的決策順序如下。首先在時刻t=0, 雙方獨立地在不知道對方?jīng)Q策的情況下選擇各自的廣告投入水平u1和u2；然后，兩個企業(yè)根據(jù)u1，u2和當前的市場情況，動態(tài)地決定各自在時刻t的零售價格。出于方便我們用下標“uu”記該情形下的均衡決策。

給定u1和u2,兩個企業(yè)的決策問題可簡化為：

(11)

命題3.5：當兩企業(yè)都選擇價格承諾策略且給定u1和u2時，兩個企業(yè)的均衡零售價格為：

pi(t)=E2eA2t+B2

產(chǎn)品i參考價格隨時間的變化情況為：

ri(t)=M4i+(r0-M4i)eA2t

其中A2,B2,M4i,E2i,k,l均為常數(shù)。

命題3.6：在Stackelberg博弈框架及兩企業(yè)都選擇廣告承諾的策略下，兩企業(yè)均衡的廣告努力水平、零售價格和利潤如下表3所示。

表3 雙方選擇廣告承諾情況下的各變量值

因為A2piuuss+βui/α，會導致一個價格戰(zhàn)的惡性循環(huán)，當一方降低價格時，會引導另一方把零售價格降得更低，最后，雙方可能發(fā)現(xiàn)，它們可能獲得了相當?shù)匿N量，但是以更低的價格及邊際利潤為代價的。若ro>piuuss+βui/α，此時兩企業(yè)采取的均為滲透定價的策略，當企業(yè)2增加其零售價格時，同時會增加企業(yè)1的銷量，考慮到企業(yè)2零售價格的影響，企業(yè)1會更快地增加其零售價格來適應企業(yè)2的策略。

其中：

A2=0.5(ρ-

T=(b+γ-θ)

4 數(shù)值分析

在本節(jié)，我們將采用數(shù)值分析的方法來比較不同情況下企業(yè)1的利潤大小(因為兩企業(yè)是對稱的，所以企業(yè)2的利潤也是相同的)，具體分析參數(shù)γ，θ，b，α及β的變化對利潤的影響。首先，我們定義情形ij，i=1表示企業(yè)2選擇價格承諾，i=2表示企業(yè)2選擇廣告承諾，j=1表示企業(yè)1選擇價格承諾，j=2表示企業(yè)1選擇廣告承諾，情形ij則表示在企業(yè)2選擇i決策的時候，企業(yè)1選擇j決策。本文使用的參數(shù)值分別為：a0=300，r0=10，γ=1，θ=5,b=8,ρ=0.1,α=0.5,β=0.5，通過變動γ，θ，b，α及β的值來分析其對利潤的影響情況。

4.1 消費者對參考價格與零售價格之間差異的敏感程度

如圖1所示，在給定的范圍內，J1會隨著γ的增大而增大，J2而會隨著γ的增大而降低。這主要是因為在雙方都選擇價格承諾時，企業(yè)1的零售價格是不變的，參考價格的變化率是固定的，并且在本例給的數(shù)值下是正數(shù)，從而會刺激銷量增長，因此企業(yè)1的利潤會隨著γ的增大而增大。而對于J2，在此情況下，企業(yè)1的價格及銷量均是變動的，都會受到參考價格效應及消費者對參考價格與零售價格之間差異的敏感程度(γ)的共同影響，其綜合結果導致企業(yè)1的利潤隨γ的增加而降低。

圖1 情形11及12中γ對利潤的影響

從圖2中可以看到，在企業(yè)2選擇廣告承諾的情況下，企業(yè)1選擇價格承諾的利潤(J1)變化趨勢與企業(yè)1選擇廣告承諾的利潤(J2)變化趨勢相似，均為先下降后上升。這主要是因為當γ很小的時候，與企業(yè)1的參考價格效應相比，由企業(yè)2引起的替代效應占主導，并且在γ很小時，企業(yè)2的價格會隨著γ的增大而變化，其綜合結果導致企業(yè)1的利潤下降。當γ超過某一臨界值時，企業(yè)1的參考價格效應及企業(yè)2的替代效應的綜合結果導致企業(yè)1的利潤隨γ的增大而增大。同時，從圖4.2中還可以看出，J2的變化速度要高于J1的變化速度。

圖2 情形21及22中γ對利潤的影響

4.2 產(chǎn)品之間的替代程度

如圖3所示，企業(yè)1的利潤在這兩種情況下的變化趨勢是相似的，均以恒定的速率上升，原因很簡單，在競爭對手選擇價格承諾的情況下，企業(yè)2的價格是不變的，那么企業(yè)2的價格對企業(yè)1銷量的影響(θp2)則會隨著θ的增大而增大，從而導致企業(yè)1的利潤隨θ的增大而增大。所不同的是，在企業(yè)1選擇廣告承諾的情況下利潤的上升速度要高于選擇價格承諾的情況。

圖3 情形11及12中θ對利潤的影響

從圖4中可以看出，在競爭對手(企業(yè)2)選擇廣告承諾的情況下，企業(yè)1在選擇價格承諾及廣告承諾下的利潤均呈上升趨勢，且企業(yè)1在選擇廣告承諾下的利潤上升速度要高于選擇價格承諾的情形。

圖4 情形21及22中θ對利潤的影響

4.3 消費者對零售價格的敏感程度

如圖5所示，在情形11下，J1受b的影響較小。由于在這種情形下，對方及自己的價格均保持不變，以及b變化較小，所以J1的變化較小。在情形12中，J2隨h的增大而上下波動，這主要是因為我方選擇了固定廣告的策略，價格隨時間變化，利潤同時受到參考價格效應、零售價格、替代效應的共同影響，從而導致J2隨b的增大而變化較大。并且從圖中可以看出，當競爭對手選擇固定價格策略，且b較小時，選擇固定廣告是我方最優(yōu)的決策。從圖6可看出，在情形21中，J1會隨著b的增大而減小，而在情形22中，J2隨b的增大而增大，但增大的幅度較小。

圖5 情形11及12中b對利潤的影響

圖6 情形21及22中b對利潤的影響

4.4 產(chǎn)品過去價格對參考價格的影響程度

如圖7所示，在情形11下，企業(yè)1的利潤會隨著α的增大而下降，而在情形12中，企業(yè)1的利潤先上升后下降。如圖8所示，當競爭對手(企業(yè)2)選擇廣告承諾時，企業(yè)1在價格承諾及廣告承諾兩種策略下的利潤均呈下降的趨勢。

圖7 情形11及12中α對利潤的影響

圖8 情形21及22中α對利潤的影響

4.5 廣告對參考價格的影響程度

如圖9所示，J1會隨著β的增大而增大，而J2隨著β的增大先下降后上升。對于情形11，由于企業(yè)1的廣告投入會隨著β的增大而增大，從而對參考價格產(chǎn)生正的影響，刺激銷量，導致企業(yè)1的利潤會隨著β的增大而增大。而在情形12中，企業(yè)2選擇價格承諾，β不僅會對廣告投入量產(chǎn)生影響，同時也會對產(chǎn)品零售價格及參考價格產(chǎn)生影響，那么這些因素的綜合結果則導致了圖中J2的變化趨勢。

如圖10所示，在情形21中，利潤的變化趨勢與情形11是類似的，均隨著β的增大而增大。而在情形22 中，企業(yè)1的利潤隨著β的增大先上升后下降，其影響因素與圖9中的類似，只不過在圖10中，競爭對手(企業(yè)2)選擇廣告承諾，那么為了應對競爭對手的策略，企業(yè)1的最優(yōu)決策也會作相應的調整來適應對方，以使自己的長期利潤最大化。

圖9 情形11及12中β對利潤的影響

圖10 情形21及22中β對利潤的影響

5 結語

本文在考慮消費者參考價格效應的情況下，提出了兩種策略，即廣告承諾和價格承諾，同時考慮了競爭對手的策略對我方最優(yōu)策略選擇的影響。通過最優(yōu)控制的方法，得到了三種不同情況下的均衡解。

本文的研究結果發(fā)現(xiàn)：首先，穩(wěn)定的參考價格總是要高于穩(wěn)定的零售價格，這主要是由于廣告會對參考價格產(chǎn)生一個正的影響；其次，在雙方都固定廣告的情況下，價格的變化速度要高于一方固定廣告而另一方固定價格的情形。并且當初始的參考價格很高時，前一種情況下價格下降的速度要高于后一種情況，這主要是由于雙方都選擇廣告承諾，而進行價格戰(zhàn)的結果；當初始的參考價格很低時，前一種情況下價格上升的速度要高于后一種情況，這主要是由于競爭產(chǎn)品之間的替代性，競爭對手的價格會對我的銷量產(chǎn)生正的影響，在初始的參考價格很低的情形下，對方采取一種滲透定價的策略，同時也會刺激我方銷量的增長及價格的快速上升，這主要是考慮(適應)對方策略的結果；最后，我們采用了數(shù)值分析的方法，發(fā)現(xiàn)價格承諾在一些情況下要優(yōu)于廣告承諾，而在另一些情形下，廣告承諾則更優(yōu)。

附錄：

命題3.1的證明

在動態(tài)環(huán)境下，兩企業(yè)要確定最優(yōu)的廣告投入水平，我們通過哈密爾頓方程求解最優(yōu)控制問題。首先構造企業(yè)i的現(xiàn)值哈密爾頓函數(shù)Hi：

(A.1)

給定價格，企業(yè)最優(yōu)控制問題的必要條件為：

(A.2)

(A.3)

化簡(A.2)得到

-ui+βλi=0,ui=βλi

(A.4)

對(A.4)等式的兩邊求一階導得到：

(A.5)

將(A.3)代入(A.5)中可得：

(A.6)

求解等式(A.6)的微分方程，可得到企業(yè)i的最優(yōu)廣告投入水平的通解為：

ui(t)=C1e(ρ+α)t+uiss

(A.7)

其中uiss=Npi，N=γβ/(ρ+α)。C1為需要確定的常數(shù)，為求得C1，我們假設ri(t)=M1i+(r0-M1i)e-m1t，ri(t)對t求一階導得到：

(A.8)

(A.9)

解上面的方程，我們得到兩個解：

解一：m1=ρ+α，M1i=(1+γβ2/(α(ρ+α)))p1，C1=(ρ+2α)(r0-M1i)/β；解二：m1=-α，M1i=(1+γβ2/(α(ρ+α)))p1，C1=0。

ui(t)=uiss=Npi

(A.10)

命題3.2的證明

將命題3.1的結果代入式(3.6)，我們得到了企業(yè)i在價格p1，p2下的利潤函數(shù)，利潤Ji對價格pi求一階導，并根據(jù)利潤最大化的條件，令?Ji/?pi=0，得到：

(A.11)

命題3.3的證明

在動態(tài)環(huán)境下，企業(yè)1為決策最優(yōu)的廣告投入水平，企業(yè)2為決策最優(yōu)的價格，首先構造兩企業(yè)的現(xiàn)值哈密爾頓函數(shù)H1，H2：

(B.1)

(B.2)

對于給定企業(yè)1的價格和企業(yè)2的廣告投入水平，企業(yè)1最優(yōu)控制問題的必要條件為：

(B.3)

按照命題3.1類似的求解步驟可得到企業(yè)1最優(yōu)的廣告投入水平及參考價格隨時間的變化函數(shù)：

(B.4)

r1(t)=M2+(r0-M2)e-αt

(B.5)

對于給定企業(yè)1的價格和企業(yè)2的廣告投入水平，企業(yè)2最優(yōu)控制問題的必要條件為：

(B.6)

(B.7)

化簡等式(B.6)可得：

(B.8)

化簡得：

(B.9)

首先，在等式(B.9)中求解p2關于時間t的一階導數(shù)并代入(B.7)中的結果，然后再對等式的左右兩邊同時求關于t的微分并再次代入(B.7)中的結果得到：

(B.10)

求解等式(B.10)的微分方程可得到企業(yè)2最優(yōu)的價格：

p2(t)=E0eA0t+E1eA1t+B1

(B.11)

其中E0，E1為需要確定的常數(shù)。類似于命題4.1的證明，我們得到均衡的價格為：

p2(t)=E1eA1t+B1

(B.12)

另外，為求得E1，我們設

r2(t)=M3+(r0-M3)e-m2t

(B.13)

r2(t)對時間t求一階導得到：

(B.14)

α(p2(t)-r2(t))+βu2=α(E1eA1t+B1-M3-(r0-M3)em2t)+βu2

(B.15)

解上述方程得到：

命題3.4的證明

采用逆推法來求出企業(yè)1最優(yōu)的固定價格，將命題3.3中的結果代入到利潤函數(shù)(3.9)中，利潤J1對價格p1求一階導，并根據(jù)利潤最大化的條件，令?J1/?p1=0得到：

(B.16)

其中I,J,K,H均為常數(shù)。

采用類似的方法，我們可以得到命題3.4的結論。