地球自轉對物體重力的影響

金秀河

摘要：在平時教學中，筆者發現很多學生對重力和引力的關系認識上含糊不清，似是而非，故撰文予以澄清。

關鍵詞：重力；引力；自轉；向心力

中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2018）01-0121

在平時教學中，筆者發現很多學生對重力和引力的關系認識上含糊不清，似是而非，故此撰文予以澄清。

我們知道物體的重力來源于地球的吸引，如圖（1）

設質量為m的物體，位于緯度為φ的地面上，相對地球靜止。

我問學生，物體受幾個力的作用？有的說三個力：重力、引力、支持力；有的說四個力：重力、引力、支持力、向心力等等錯誤的認識。其實，此時物體受兩個力的作用，即地球對它的引力F（方向指向地心），地面的支持力N，方向由地面指向地球之外。

由于物體隨地球自轉而做勻速圓周運動，所以F與N不是平衡力，N的方向不是沿半徑向外，F與N的合力提供物體做勻速圓周運動的向心力，即 + = n（1）

Fn是向心力，方向垂直轉軸，這時學生就會問物體怎么會不受重力 呢？重力哪里去了呢？

在實際生活中，人們對重力的認識，是從物體壓在支持物上的力或者拉緊懸繩的力來決定的，設物體的重力為G，顯然它是支持力的反作用力，由牛頓第三定律 =- （2）

代入（1）得 = - n（3）

下面我們先看重力G與地球引力F在大小上的差別

由（3）得 = + n

由上式可知引力的一個分力是重力，另一個分力是向心力.

如圖（2）所示，用M表示地球質量，R表示地球半徑，ω表示地球自轉角速度，表示物體所處的緯度，θ表示G與F的夾角。在矢量三角形中，由余弦定理

G= =F （4）

向心力Fn=Mω2Rcosφ

地球自轉的角速度ω=7.3×10-5rad/s

地球半徑R=6.4×106m

所以Fn=3.43×10-2cosφ·m

引力Fn= ≈9.77m

可見Fn<

（4）中略去（ ）2項，則G≈F

按二項式展開，略去（ ）高次項，由（1+x） ≈1+ x

得G≈F =F-Fncosφ

上式中F是地球的引力

Fncosφ=Mω2Rcos2φ是由于地球自轉而減小的重量

G是物體實際測得的重量

重力與引力的相對誤差δ= = （6）

在赤道φ=0，δ赤=3.4×10-3，物體由于地球自轉減小的重量最多，在兩極φ=90°，δ=0，地球自轉對物體重力無影響，重量最大，恰好等于地球對它的引力。

可見，隨著緯度的增大，地球自轉對物體重力的影響越來越小，即物體重力隨緯度的增大而增大。用重力來代替引力大小，相對誤差不超過0. 4%，所以在粗略的計算中，忽略地球的自轉，可以用重力大小來代替引力大小，G=F即mg= （7）

我們再看重力與引力方向上的差別，如圖（3）所示，在力的三角形中，由正弦定理 = （8）

sinθ= =

sinθ=

在赤道，φ=0 θ=0，重力方向指向地心

在兩極，φ=90°，θ=0 重力方向指向地心

其他位置重力方向不指向地心，當φ=45°時，θ角最大

sinθmax= ≈0.00172（9）

θmax≈6′，即用重力G代替引力F，方向的偏離不超過6′。

綜上所述，在粗略的計算中，是可以用重力來代替地球引力的，但若考慮地球的自轉，就要考慮因自轉物體所需的向心力，此時重力不等于引力。

例1. （2014年全國高考理綜卷18題）.假設地球可視為質量均勻分布的球體，已知地球表面的重力加速度在兩極的大小為g0，在赤道的大小為g；地球自轉的周期為T，引力常數為G，則地球的密度為：

A. B. C. D.

解析：題目已告知兩極與赤道處的重力加速度不同，顯然是由于地球自轉造成的，因此本題 必須考慮地球的自轉。

在兩極mg0= （1）

在赤道mg0= -m R（2）

ρ= （3）

聯立可得ρ= ，故選B

對于人造衛星繞地球做勻速圓周運動的問題，地球的自轉對衛星無影響，對于地面上的拋體運動，由于拋體運動的時間遠小于地球自轉的周期，也可近似認為重力等于引力，且在給定的空間內該力是恒力。

（作者單位：甘肅省靖遠縣第二中學 730600）