基于熱力學規律對熱傳導正反問題的求解

安亞帥 張鵬程 武暢

摘要：目前我國有很多工作需要在高溫環境中作業，高溫作業專用服作為人與環境的中間體，充當人體保護層，由此對熱防護服內部熱傳遞規律的研究是問題的關鍵.通過數據的分析，從I層到IV層建立熱傳遞模型. 基于假設，主要考慮一種熱傳遞形式——熱傳導.熱量由高溫環境向人體傳導需要穿過構成專用服 裝的三層織物材料以及III層與皮膚的間隙.分別建立I、II、III和IV層的導熱偏微分方程式及定解的邊界條件.根據差分法對偏微方程先進行離散化處理，再逐層計算，求得 每層材料的溫度分布.然后，將得到的溫度分布實際測的數據進行比較，優化模型，得到最優溫度分布.

關鍵詞：偏微分方程；有限差分法

模型的建立與求解

本文主要考慮一種熱傳遞形式——熱傳導.傳熱即由溫差而引起的能量的轉移，在 任何時候，只要在某個介質或者是兩個介質之間存在溫差，便會發生傳熱，這種傳熱我們稱為熱傳導，也叫熱擴散.傅里葉定律描述了熱傳導的基本定律，即在導熱現象中，單位時間內通過給定截面的熱量，正比例于垂直于該截面方向上的溫度變化率和截面面積，而熱量傳遞的方向則與溫度升高的方向相反.熱傳導率是描述材料導熱能力的屬性.為簡便建立模型，假設熱傳導率不隨溫度變化，看成一個常量[1].

1模型的建立

I 層高溫作業專用服中的熱傳遞

在假設的基礎上，建立高溫作業專用服第 I 層的導熱微分方程 [2]：

I 層初始條件為：

第 I 層邊界條件為：

這里，CA 為第 I 層材料的顯熱容；T 是溫度；t 是時間；x 是垂直于高溫作業專用 服水平坐標；kI 是第 I 層的熱傳導率；LI 是第 I 層的厚度.

II 層高溫作業專用服中的熱傳遞

在假設的基礎上，建立高溫作業專用服第 II 層的導熱微分方程：

第二層的邊界條件為：

這里，CA 為第 II 層材料的顯熱容；T 是溫度；t 是時間；x 是垂直于高溫作業專用 服水平坐標；kII 是第 II 層的熱傳導率；LII 是第 II 層的厚度.

III 層高溫作業專用服中的熱傳遞

在假設的基礎上，建立高溫作業專用服第 III 層的導熱微分方程：

第三層的邊界條件為：

這里，CA 為第 II 層材料的顯熱容；T 是溫度；t 是時間；x 是垂直于高溫作業專用 服水平坐標；kII 是第 II 層的熱傳導率；LII 是第 II 層的厚度.

IV 層高溫作業專用服中的熱傳遞

在假設的基礎上，可以得到空氣層的熱傳遞模型：

第四層的初始條件：

第四層的邊界條件為：

這里，CA為 IV 層材料的顯熱容；T 是溫度；t 是時間；x 是垂直于高溫作業專用服水平坐標；kIV 是 IV 層的熱傳導率；LIV 是 IV 層的厚度；Lsum =LI+ LII+LIII；tmax是暴露在高溫環境中的時間.

2模型的求解

一維非穩態熱傳導的偏微分方程，求解偏微分方程一般都很復雜，利用有限差值法，先對一維非穩態熱傳導的偏微分方程進行離散，確定每層邊界.由左邊界已知溫度，對 其進行逐層迭代，然后代入所給的數據求得每次材料邊界的溫度.

建立有限差分方程組，上文我們已經確定了函數邊界條件，由中心差分 公式可得到下面的顯函數方程：

由此建立起 n 個 m 元線性方程組，由迭代法解該方程組即可獲得各節點的函數值.根據有限差分法對偏微分方程先進行離散化處理，再逐層計算，求得每層材料的溫 度分布.對于不同的時刻，溫度分布如圖 2所示：

圖 2 中：X 是垂直于高作業專用服水平坐標，T 為溫度. 由圖可知：當時間為零時，高溫作業專用服各層的溫度都為 37?C，隨時間的增加，熱量逐漸向防護服內傳導，高溫 作業專用服各層溫度逐漸升高. 當達到某一溫度時，溫度達到平衡. 溫度變化趨勢及溫度 分布與實際的數據相吻合.

參考文獻

[1] 朱方龍，服裝的熱防護功能 [M]，北京，中國紡織出版社，2015.10.

[2] 楊能彪. 一維非穩態導熱問題的數值計算 [J]. 青海師范大學學報（自然科學 版），2006（04）：24-26.

[3] 李恒熹. 關于傅立葉（Fourier）定律的表述 [J]. 益陽師專學報，1988（06）：79-81+85.

（作者單位：1.河北工程大學機械與裝備工程學院；

2.河北工程大學數理學院）