面齒輪磨削齒面齒形誤差修正

明興祖 方曙光 王紅陽

1.湖北文理學院機械工程學院，襄陽，441053 2.湖南工業大學機械工程學院，株洲，412007

0 引言

面齒輪傳動是一種圓柱齒輪與面齒輪相嚙合的傳動，可以實現兩齒輪軸垂直或非垂直、相交或交錯的運動，具有加工相對簡單、安裝方便、承載力大、噪聲低、易于實現裝置的輕量化等優點，在航空航天、精密傳動等對空間有嚴格限制及對傳動精度有較高要求的領域有廣闊應用前景［1］。

在實際的生產加工過程中，機床固有的運動誤差、夾具的幾何誤差、工藝系統受熱變形引起的誤差、調整誤差等機械加工誤差會導致實際加工齒面與設計齒面之間存在不可規避的誤差。面齒輪的傳動性能與齒面誤差的修正有很大關聯，而面齒輪齒面誤差與機床的加工參數之間又有密切的關系。面齒輪三維理論模型齒面的點集與實際齒面點集的匹配是面齒輪加工誤差評定的基礎。為了使實際齒面和設計齒面之間的誤差值最小，國內外學者對機床參數對齒面誤差的影響進行了相關研究。SIMON［2］討論了機床相關參數的設置和齒輪的相對位置誤差對齒面接觸性能的影響。LITVIN等［3］、LIN等［4］采用基于機床調整參數的單位增量建立了誤差敏感矩陣，并進一步建立了齒面誤差識別方程組，計算得到了誤差修正所需的加工參數的調整量。李麗霞等［5］研究了弧齒錐齒輪的齒形誤差與機床調整參數之間的聯系。王小椿等［6］提出了三坐標測量方法，并利用差曲面特征參數修正齒面，對誤差進行了分解分析。王軍［7］應用差曲面的空間參數對螺旋錐齒輪齒面誤差進行了修正，并根據增量空間的相關性計算得到了加工參數的最優調整量，但該方法易出現病態方程，對于超定方程的求解存在一定困難。蘇進展等［8］以齒面誤差平方和最小為目標函數，通過改變加權系數和優化，從而達到齒面誤差較高的精度修正要求。陳書涵等［9］采用截斷奇異值分解（truncated singular value decomposition，TSVD）方法與L曲線法求解齒面偏差識別方程，得到的求解結果更精確。

本文提出了一種基于序列二次規劃（sequential quadratic programming，SQP）的面齒輪齒面誤差修正方法，采用三坐標測量儀（coordinate measuring machine，CMM）對正交面齒輪的實際齒面誤差進行測量，建立和求解包含機床調整參數的齒面誤差識別方程，并優化機床調整參數以減小齒面誤差。通過對比最小二乘的求解方法，驗證了所提出方法在對誤差識別方程求解過程中的有效性。

1 含誤差參數的齒面數學方程的建立

本文采用格里森公司STADTFELD［10］提出的碟形砂輪磨削面齒輪方法，碟形砂輪磨削面齒輪具有結構簡單、設計制造和修整方便且不受面齒輪設計參數限制的優點［11-12］。

依據曲面共軛原理，建立了面齒輪齒面方程。面齒輪齒面是復雜的空間幾何形狀。面齒輪傳統精加工方法采用磨齒工藝，在磨齒過程中，碟形砂輪和齒坯進行正交面齒輪齒面的磨削過程是碟形砂輪與面齒輪齒坯做共軛運動的結果。通過碟形砂輪加工面的曲面方程，碟形砂輪與齒坯的相對位置關系，以及依據齒輪的嚙合原理可以得到包含機床調整參數的齒面數學方程。

1.1 正交面齒輪齒面的磨削原理

正交面齒輪是一種特殊的錐齒輪，目前多采用漸開線碟形砂輪進行磨削加工。碟形砂輪對面齒輪的磨削過程模擬了插齒刀具對面齒輪進行插齒加工時的所有動作，碟形砂輪對面齒輪齒面的磨削過程也存在虛擬的嚙合關系，可以視為虛擬的漸開線齒輪與面齒輪在空間中的包絡運動，工件和刀具在空間中的位置關系見圖1。

圖1 工件和刀具在空間中的位置關系Fig.1 Position relation of workpiece and tool in space

在磨床上對面齒輪進行磨削加工，工件繞自身的軸線旋轉時，碟形砂輪也繞自身的軸線做高速旋轉運動，并沿著繞虛擬插齒刀的軸線擺動。同時碟形砂輪做沿面齒輪齒長方向的徑向進給運動和沿面齒輪齒高方向的軸向進給運動，即可實現面齒輪齒廓的單齒展成加工，然后逐步對面齒輪進行分度，不斷重復以上工序，直至面齒輪的所有齒完成磨削加工，面齒輪磨削機床簡圖見圖2，其中{Sk}（Okxkykzk）為面齒輪的初始位置坐標系，{St}（Otxtytzt）為碟形砂輪的初始位置坐標系。

圖2 面齒輪磨削機床簡圖Fig.2 Surface gear grinding machine tool diagram

1.2 砂輪與齒坯的位置關系

碟形砂輪與齒坯的位置關系如圖3所示。{Sr}（Orxryrzr）為面齒輪的動坐標系，{Se}（Oexeyeze）為碟形砂輪的動坐標系，φr為面齒輪轉角，α為砂輪的擺動角度，{Sh}（Ohxhyhzh）為砂輪沿面齒輪齒高方向進給形成的動坐標系，{Sj}（Ojxjyjzj）為砂輪沿面齒輪齒長方向進給形成的動坐標系，L1為碟形砂輪初始位置坐標系{St}與齒高方向動坐標系{Sh}原點間的距離，L2為齒高方向動坐標系{Sh}與齒長方向動坐標系{Sj}原點間的距離，L為碟形砂輪的初始位置坐標系{St}與面齒輪的初始位置坐標系{Sk}原點間的距離，對刀后L值歸零。

坐標系之間的轉換矩陣可表示為

圖3 碟形砂輪與齒坯的位置關系Fig.3 Position relation between dish wheel and gear blank

動坐標系{Sj}到面齒輪轉動坐標系{Sr}的轉換矩陣Mjr可表示為

1.3 面齒輪齒面方程的建立

依據碟形砂輪磨削面齒輪原理，虛擬插齒刀是替代小圓柱齒輪與面齒輪嚙合展成加工出面齒輪齒面，因此漸開線圓柱齒輪的齒面方程可表示刀具的齒面方程。漸開線刀具的齒廓截面參數見圖4，設漸開線上任意一點的法矢為nf，插齒刀具的基圓半徑為rbf，任意一點的法矢與基圓切點到漸開線起始點之間的圓心角為θf，刀具在齒槽上的對稱線和漸開線起始點的夾角為θf0，ab、cd分別為對應于刀具兩側齒槽的漸開線，uf為沿刀具軸線zf的齒寬參數。

刀具加工面的曲面矢量方程可表示為

圖4 漸開線刀具齒廓截面參數Fig.4 The tooth profile section parameters of involute cutter

式中，“±”號分別對應于漸開線ab和漸開線cd；Nf為插齒刀具的齒數；αf為插齒刀的壓力角。

刀具齒面上任意一點的單位法矢nf可表示為

面齒輪展成坐標系見圖5，可以看出，對面齒輪和插齒刀具的運動坐標系作了重合處理，其中{Sk}（Okxkykzk）和{Sp}（Opxpypzp）分別為面齒輪和插齒刀具的初始位置坐標系，{Sr}（Orxryrzr）和{Sf}（Ofxfyfzf）分別為面齒輪和插齒刀具的動坐標系，γk為面齒輪與插齒刀具軸線間的夾角，φr、φf分別為加工時面齒輪和插齒刀具的轉角。

圖5 面齒輪的展成坐標系Fig.5 The generating coordinate system of face gear

插齒刀動坐標系{Sf}到面齒輪動坐標系{Sr}之間的轉換矩陣為

依據齒輪嚙合原理和坐標系轉換，將插齒刀具齒面方程進行轉換，得到面齒輪齒面的矢量方程為

式中，φθ為嚙合轉角；m為刀具模數；irf為面齒輪與刀具的傳動比。

1.4 含誤差的齒面方程的建立

根據嚙合方程和圖3所示的碟形砂輪和齒坯的位置關系，通過坐標變換和向量計算，可以推導出在加工坐標系下包含誤差的面齒輪齒面方程，方程的具體推導過程參考文獻［13］。根據4×4（Denavit-Hartenberg）齊次變換矩陣，含誤差的面齒輪齒面矢量方程可表示為

面齒輪齒面的法向矢量方程為

1.5 齒面的離散化

通過對正交面齒輪的理論齒面和實際齒面相同離散點的法向距離進行測量，可對正交面齒輪的實際齒面和其理論齒面的法向偏差進行測評。首先需要對齒面進行離散化處理。因面齒輪的齒面形狀是復雜的空間幾何曲面，該曲面由一個點集組成，該點集包含無窮個點元素，從而無法對這無窮個點集進行測量評價。為了方便檢測，需要在面齒輪齒面上規劃出一些網格點，并依據齒面方程計算出網格節點的坐標值。為了確保所選的網格節點可真實地反映面齒輪齒面的形狀，通常取軸截面齒長方向的9個點、齒寬方向的5個點，則投影在面齒輪齒面上的45個點即為所選取的離散點，如圖6所示。

圖6 單齒軸截面投影三維表示Fig.6 Three dimensional projection of the axial section of a single tooth

為了使測量點分布在齒面嚙合區域，規定在軸截面的齒高方向向內收縮5%，在齒長方向的大端和小端分別向內收縮10%［14］，面齒輪單齒軸截面網格的劃分見圖7，其中坐標軸原點為齒坯的三維坐標系的原點。

圖7 面齒輪單齒軸截面網格劃分Fig.7 Mesh division of axial section of single tooth of face gear

網格中任意一點的位置表達式如下：

式中，i（i=1，2，…，5）為行標；j（j=1,2，…，9）為列標；u為齒寬；R2為最大外半徑；R1為最小內半徑；H為面齒輪齒高。

得到了面齒輪理論齒面上的網格點的坐標，將正交面齒輪的理論坐標系與三坐標測量儀（CMM）的測量坐標系重合后，根據面齒輪齒面網格節點的理論坐標值和法向矢量可以測得齒面網格節點處的實際坐標值。由于分度誤差是機床的固有誤差，連續分度后齒輪同一側的齒距誤差是相同的，因而分度誤差引起的齒距誤差相對平穩，所以可通過提高機床分度精度的方式來減小齒距誤差對測量結果的影響。由此可見，齒形誤差是影響齒面誤差測量的主要因素。為了消除齒距誤差的影響，需要對測量的誤差進行處理，可將真實齒面繞齒坯軸線旋轉一定的角度，從而使得網格中間節點的誤差歸零。此外需要測量10個面齒輪齒面，以將偶然誤差對齒面誤差測量的影響降到最小。本文將測得的10組誤差值的平均值作為最終測量的結果，見表1。

表1 齒面的10組誤差值的平均值Tab.1 The average value of the 10 sets of error values mm

2 加工參數對齒面誤差的影響

根據插齒刀具加工面的曲面方程以及正交面齒輪齒面與刀具的相對位置關系，經由一系列的矩陣轉換可得到正交面齒輪的齒面方程，面齒輪在加工時參數是固定的，所以一組加工參數對應一組齒面誤差，因此對齒面誤差的修正實際上就是對面齒輪加工參數的調整。若將加工參數作為變量，則可得到包含齒面誤差參數的面齒輪齒面方程，即可根據方程優化加工參數，達到使齒面誤差減小的目的。根據碟形砂輪與齒坯的位置關系，將L1、L2、α作為影響面齒輪齒面誤差的3個主要參數。

根據含誤差的面齒輪齒面方程，可得到齒面網格節點處的誤差為

式中，Δθf、Δφf分別為θf和φf的誤差；dk為引起齒面偏差的機床加工參數，且d1=L1,d2=L2,d3=α；Δdk為機床加工參數的誤差。

其中，ξij為齒面偏差，且此處滿足

將通過CMM對正交面齒輪齒面誤差測量所得的45組誤差值代入式（11）后，可得到一系列的方程，聯立這些方程并對機床調整參數進行優化求解，從而達到減小正交面齒輪齒形誤差的目的。

3 基于序列二次規劃對機床調整參數的求解

對于線性方程組Ax=B，其中A∈Rpq，x∈Rq，B∈Rp，當p＞q(即方程組個數多于自變量個數)時，則稱此方程組為超定方程組。對于超定方程的求解，普遍采用最小二乘法進行求解，該計算方法往往會使計算的結果超出約束范圍，從而使求得的解沒有意義，即使沒有超出約束，也會使求得的方程組的誤差平方和非常大。而在面齒輪齒面的磨削加工中，機床調整參數包含砂輪在面齒輪齒高方向的位移距離L1、在面齒輪齒長方向的位移距離L2及砂輪的擺角參數α三個參數。方程組中包含代入45個齒面偏差后的45個方程，但作為未知數的機床調整參數只有3個，采用常規方法求解該超定方程組則無法求得方程組的精確解。本文采用序列二次規劃（SQP）［15］求解最優解的方法來求解該方程組，從而達到優化機床加工參數、減小面齒輪齒面誤差的目的。最優解的目標函數為

即通過代入測量的45個網格節點的誤差值后，計 算得到最優解 。其中 min(Δdk)＜Δdk＜max(Δdk)表示調整參數變化量的范圍，調整參數Δdk的迭代初始值為零。

機床調整參數的計算流程見圖8，計算過程中對三項機床調整參數選擇各自的搜索方向并確定各自的步長，即將SQP問題分解成二次規劃（quadratic programming，QP）子問題后，在三個搜索方向上進行搜索，從而找到符合條件的最優解。

圖8 機床調整參數求解流程圖Fig.8 The flow chart of solving machine adjustment parameters

4 實驗驗證

本文以面齒輪實際加工過程為例，對所提出的齒面誤差修正方法進行驗證。采用三坐標測量儀（CMM）Xorbit plus 77，其測頭直徑為0.5 mm，對面齒輪齒面進行檢測，見圖9。在CMM不替換裝夾方法的情況下，對同一面齒輪進行多次檢測，得到了齒面誤差基本一致的結果，因此可以排除CMM檢測不穩定的因素對面齒輪齒面誤差檢測產生的影響。本文選用六軸五聯動數控磨齒機QMK50A，碟形砂輪磨削正交面齒輪（材料為18Cr2Ni4WA）為例，其基本參數見表2。

修正前齒輪的檢測結果見圖10，由檢測報告可知，齒面最大誤差為0.371μm，最小誤差為0.207μm。

在MATLAB中實現基于SQP法對機床調整參數的修正。為了體現該方法的可行性和優勢，本文也采用傳統的最小二乘法對機床的調整參數進行求解。兩種方法的對比結果見表3。

圖9 面齒輪齒面誤差的檢測Fig.9 Face gear tooth surface error detection

表2 正交面齒輪基本參數Tab.2 The basic parameters of orthogonal face gear

圖10 修正前齒面誤差曲面圖Fig.10 The tooth surface error surface graph before correction

表3 采用不同方法優化機床調整參數的結果Tab.3 The results of correcting machine adjustment parameters by different methods

對兩種方法求解各自的誤差平方和，采用SQP法和最小二乘法求解的誤差平方和分別為P1=0.056，P2=0.178，顯然使用SQP法對機床調整參數進行求解更有效。使用SQP法優化后的參數，對該面齒輪進行修正后，再次檢驗其齒面誤差，修正后齒面誤差圖見圖11，通過與圖10進行對比可以明顯看出，采用SQP法對機床調整參數進行求解可使齒面誤差得到較大的改善，以達到較為理想的修正效果，進一步證實了該方法在生產應用中的可行性。

圖11 修正后齒面誤差曲面圖Fig.11 The tooth surface error surface graph after correction

5 結論

（1）根據面齒輪磨削過程中碟形砂輪與面齒輪之間的位置關系，建立了含有機床調整參數的齒面誤差識別方程。

（2）根據對面齒輪的實體齒面誤差的檢測結果，提出采用SQP法對機床的調整參數進行求解，并與最小二乘求解法的結果進行誤差對比，并再次對齒面誤差進行測量，驗證了本文提出方法的可行性和有效性。

（3）采用的對面齒輪齒面齒形誤差修正的方法為其他齒輪齒形誤差的修正或解決表面為曲面的零件誤差修正問題提供了一定的參考。